空時分數階Burgers方程的新精確解

黃春

（四川職業技術學院 教師教育系，四川 遂寧 629000）

分數階偏微分方程是由整數階微分方程推廣而來,它能更準確地描述實際現象和深刻反映物體內部的性質.分數階偏微分方程在流體力學、等離子物理學、生物學、通信、化學等許多領域有著廣泛的應用.因此分數階偏微分方程的精確解和數值解對于研究現實生活中的非線性現象有著重要意義.構建分數階偏微分方程精確解的方法主要包括：exp-函數法[1-2],(G'/G)-展開法[3-4],首次積分法[5-6],Riccati函數展開[7-8]等.

本文擬用Riemann-Liouville分數階導數[9]與Riccati函數展開法相結合,構建空時分數階Burgers方程精確解,該方法簡潔高效.文中的分數階微分算子是修正的Riemann-Liouville分數階導數：

其中Γ(·)為Gamma函數,定義為Riemann-Liouville分數階導數具有如下性質：

1 方法描述

給定分數階偏微分方程：

步驟1 作分數階復變換

其中K,L為常數,方程(4)轉化為只含變量ξ常微分方程

步驟2 假設方程(5)有如下形式的解：

其中Ф=Ф(ξ)滿足如下形式的Riccati方程

這里的σ為任意常數,ai(i=0,1,2,...,n)為待定系數.正整數n可由齊次平衡原則確定.

根據常數σ的不同取值,確定如下三種類型的解：

(1)當σ＜0時,

(2)當σ＞0時,

(3)當σ =0時,

步驟3 將(7)式和(6)式代入(5)式后合并Ф的同冪次項,得到關于ai(i=1,2,....,n)的代數方程組,利用Maple計算參數,進而得到原方程不同類型的精確解.

2 運用與結果

考慮如下的空時分數階Burgers方程[10]：

其中ω,η是常數,x表示空間位置,t表示時間.

對方程(9)作復變換,原方程轉化為整數階常微分方程：

其中C為積分常數,平衡方程(10)中的u2和u',得n=1.

將(11)式和(7)式代入(10)式,令Фi的系數為0,得到關于a0,a1的代數方程組,借助Maple軟件得到a0,a1,σ的值；

于是得到原方程在不同情形下的解：

情形1 當σ＜0時,方程(9)有如下孤立波解：

情形2 當σ＞0時,方程(9)有如下周期波解：

情形3 當σ=0時,方程(9)有如下有理函數解：

圖1 孤立波解u1(ξ)

圖2 孤立波解u2(ξ)

圖3 周期波解u3(ξ)

圖4 周期波解u4(ξ)

為了更直觀的理解這些解,借助Maple軟件得到部分解的數值模擬圖像如圖1-4所示.系數α==1,ω =1,C=1,K=1,L=4,圖 1、圖 2分別為孤立波解 u1(ξ)、u2(ξ).系數=1,ω =1,C=1,K=1,L=1,圖3、圖4分別為周期波解u3(ξ)、u4(ξ).

3 結論

文中借助修正的Riemann-Liouville分數階導數結合Riccati函數展開法構建空時分數階Burgers方程的新精確解,其中包括孤立波解,周期波解,有理函數解.并對部分解作出三維圖示,這些解對于理解復雜的非線性物理現象和分數階偏微分方程的原理很有幫助,該方法簡潔高效,是求解一類分數階偏微分方程行之有效的方法.