“旋轉(zhuǎn)”中的最值問題

王春玲

一、旋轉(zhuǎn)中線段的最值

例1如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD=12DC=2，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE、AG。若將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時(shí)，AG的長(zhǎng)為。

【解析】由△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，BD=1/2DC=2，我們可以知道等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)是6，所以正方形DEFG的邊長(zhǎng)也為6。將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心，6為半徑的圓上旋轉(zhuǎn)一周，顯然，當(dāng)正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E、A、D在同一條直線上（如圖2，此時(shí)AD+AE=DE）時(shí)，AE取最小值，此時(shí)△ADG是直角三角形。要求AG的長(zhǎng)，已經(jīng)有了DG的長(zhǎng)，則必須求出AD的長(zhǎng)。過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，由已知得DC=4，得BC=BD+DC=6，由等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC=BC=6，BM=1/2BC=1/2×6=3，所以DM=BM-BD=1。在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM=33，進(jìn)而Rt△ADM中，由勾股定理得AD=27，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得AG=8。故答案為8。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，討論AE的最小值，首先要能發(fā)現(xiàn)線段AE中端點(diǎn)A是定點(diǎn)，端點(diǎn)E是動(dòng)點(diǎn)，而動(dòng)點(diǎn)E是在以點(diǎn)D為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)一周。發(fā)現(xiàn)了端點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑，則問題不難解決，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)（正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及線段最小值問題等）即可解決。由旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圓，是解決問題的關(guān)鍵突破口。

二、旋轉(zhuǎn)中角的最值

例2如圖3，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，連接BF、DE。若△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABF最大時(shí)，S△ADE=。

【解析】我們先明確條件：正方形ABCD是確定的，△AEF是等腰直角三角形，它是繞直角頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的。在Rt△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，∠ABF是變化的，但變化中有不變的，那就是邊BA是不變的，變化的是點(diǎn)F。例1告訴我們，由旋轉(zhuǎn)聯(lián)想到圓，動(dòng)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑就是在以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓上，由此立即發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BF為此圓的切線時(shí)，∠ABF最大，如圖4、圖5。本題也就是當(dāng)BF⊥AF時(shí)，求△ADE的面積。已知AE=4，則過點(diǎn)D作DH⊥AE于H，問題轉(zhuǎn)化為求高DH的長(zhǎng)。觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)：△ADH≌△ABF，DH=BF，而在Rt△ABF中，AB=5，AF=4，利用勾股定理可得BF=3，因此問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為探索△ADH≌△ABF。

∵∠EAF=90°，

∴∠HAF=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠DAH=∠BAF。

在△ADH和△ABF中，

∴△ADH≌△ABF（AAS），

∴DH=BF=3，

故答案為6。

【點(diǎn)評(píng)】本題同樣考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。由旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)圓，當(dāng)BF為此圓的切線時(shí)，∠ABF最大，這是解決問題的關(guān)鍵突破口。

（作者單位：陜西師范大學(xué)出版總社）