變換——讓拋物線演繹新的精彩

崔恒劉

平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換，近年來(lái)，它們攜手拋物線，共同演繹了新的精彩。

一、平移

例1（2019·山東淄博）將二次函數(shù)y=x2-4x+a的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位。若得到的函數(shù)圖像與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）。

A.a>3B.a<3C.a>5D.a<52

【解析】我們應(yīng)先利用配方法將y=x-4x+a化為頂點(diǎn)式，即y=x2-4x+a=（x-2）2-4+a，得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4+a）。圖像向左平點(diǎn)為（1，-3+a），因此得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）2-3+a=x2-2x+a-2。再將y=2代入，得2=x2-2x+a-2，即x2-2x+a-4=0。由題意“函數(shù)圖像與直線y=2有兩個(gè)交點(diǎn)”，所以Δ=4-4（a-4）>0，解得a<5。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】幾何圖形平移變換后，改變的只是位置，而形狀、大小都沒(méi)有變。對(duì)于二次函數(shù)拋物線而言，平移不改變拋物線的開(kāi)口方向、大小（二次項(xiàng)系數(shù)不變）。同學(xué)們解題時(shí)要抓住拋物線平移的關(guān)鍵——頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)的平移判斷整個(gè)拋物線的平移，據(jù)此求出函數(shù)解析式。

二、翻折

例2（2019·四川資陽(yáng)）圖1是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖像，直線l∥x軸且過(guò)點(diǎn)（0，m），將該函數(shù)在直線l上方的圖像沿直線l向下翻折，在直線l下方的圖像保持不變，得到一個(gè)新圖像。若新圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5，則m的取值范圍是（）。

【解析】已知圖像是二次函數(shù)y=x2-2x-3上的一部分。我們先求出圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)：由y=（x-1）2-4，得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）。當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，所以A（0，-3）;當(dāng)x=4時(shí)，y=5，所以C（4，5）。

直線l與x軸平行，移動(dòng)直線l，觀察：當(dāng)m=0時(shí)，如圖2所示，D（4，-5），此時(shí)最大值為0，最小值為-5;當(dāng)m=1時(shí)，如圖3所示，此時(shí)最小值為-4，最大值為1;當(dāng)1

【點(diǎn)評(píng)】此題將幾何變換的翻折引入二次函數(shù)的問(wèn)題中，解題時(shí)我們應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖像，借助幾何直觀，不斷嘗試操作，改變動(dòng)直線的位置，找出最大值和最小值的差剛好為5的m的臨界值。

例3（2019·遼寧大連）把函數(shù)C1：y=ax2-2ax-3a（a=?0）的圖像繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)C2的圖像，我們稱C2是C1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)。C2的圖像的對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0）。

（1）填空：t的值為;（用含m的代數(shù)式表示。）

（2）若a=-1，當(dāng)12≤x≤t時(shí)，函數(shù)C1的最大值為y1，最小值為y2，且y1-y2=1，求C2的解析式;

（3）當(dāng)m=0時(shí)，C2的圖像與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)D。把線段AD繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到它的對(duì)應(yīng)線段A′D′，若線段A′D′與C2的圖像有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍。

【解析】（1）C1：y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，頂點(diǎn)（1，-4a）繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)稱點(diǎn)為（2m-1，4a），C2：y=-a（x-2m+1）2+4a，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=2m-1，所以t=2m-1，故填2m-1。

（2）當(dāng)a=-1時(shí)，C1：y=-（x-1）2+4。

1當(dāng)12≤t<1時(shí)，則x=12時(shí)，有最小值y=15;x=t時(shí)，有最大值y=-（t-1）2+4，則y-y=-（t-1）2+4-15=1，無(wú)解。

2當(dāng)1≤t≤32時(shí)，則x=1時(shí)，有最大值y1=4;x=1時(shí)，有最小值y=15，y-y=1=?1（舍去）。

3當(dāng)t>32時(shí)，則x=1時(shí)，有最大值y1=4;x=t時(shí)，有最小值y2=-（t-1）2+4，則y1-y2=（t-1）2=1，解得t1=0（舍去），t2=2。

故C2：y=（x-2）2-4=x2-4x。（3）m=0，C2：y=-a（x+1）2+4a。

則各點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0）、B（-3，0）、D（0，3a）、A′（0，1）、D′（-3a，0）。

當(dāng)a>0時(shí)，a越大，則OD越大，點(diǎn)D′越靠左。

當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)A′時(shí)，y=-a（0+1）2+4a=1，解得a=13;當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，同理可得a=1，故0

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)C2過(guò)點(diǎn)D′時(shí)，-3a=1，解得a=-13，故a≤-13。

綜上，得0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及中心對(duì)稱，圖形全等，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）