基于改進(jìn)MRNSD算法的電阻抗層析成像

范文茹，李靚瑤，王勃

（中國民航大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，天津300300）

碳纖維增強復(fù)合材料（Carbon Fiber Reinforced Polymer，CFRP）因其高比模量、高比強度、耐腐蝕、抗疲勞等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、國防軍工、民用工業(yè)等領(lǐng)域，被公認(rèn)為先進(jìn)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域不可或缺的新材料［1-2］。然而，CFRP在制造和使用過程中可能造成結(jié)構(gòu)損傷，損傷可能存在于纖維本身或聚合物基體內(nèi)［3］，可能位于材料表面也可能隱藏于材料內(nèi)部，造成致命損傷。

傳統(tǒng)的復(fù)合材料損傷檢測方法如超聲、渦流和紅外成像等在檢測時間和應(yīng)用場景上有一定的局限性［4-7］。根據(jù)碳纖維自傳感特點及結(jié)構(gòu)損傷電學(xué)敏感特性提出的電學(xué)阻抗檢測方法，具有非侵入、無輻射、響應(yīng)快等優(yōu)點，在碳纖維復(fù)合材料無損檢測領(lǐng)域已逐步受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［8］。而基于電阻抗檢測原理的電阻抗層析成像（Electrical Impedance Tomography，EIT）方法［9］，近年來也被應(yīng)用于碳纖維增強復(fù)合材料無損檢測。

在電阻抗層析成像過程中，電阻抗場域內(nèi)邊界電壓數(shù)據(jù)遠(yuǎn)小于網(wǎng)格刨分的數(shù)量，這使得EIT逆問題表現(xiàn)出嚴(yán)重的欠定性和病態(tài)性［10］。目前，一般采用正則化的方法來提高EIT逆問題的穩(wěn)定性和抗噪能力。Clay和Ferree［11］通過奇異值分解正則化并對不同深度的靈敏度矩陣進(jìn)行歸一化處理來研究成像逆問題。Gonzalez等［12］將全變差正則化運用于EIT逆問題中，提高了圖像中目標(biāo)邊界的分辨率。李星等［13］將對角權(quán)重正則化應(yīng)用于EIT逆問題，有效提高了EIT的抗噪能力和重建圖像的質(zhì)量。范文茹等［14］采用稀疏正則化的方法，減少了EIT逆問題的重建圖像的偽影，提高了EIT逆問題的重建圖像損傷邊緣分辨率。

本文利用CFRP層壓板發(fā)生結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致其電導(dǎo)率值單向變化的特點，結(jié)合逆問題求解的非負(fù)特性，研究基于修正殘差范數(shù)最陡下降法（Modified Residual Norm Steepest Descent，MRNSD），以改善重建圖像質(zhì)量。同時，為進(jìn)一步提高成像精度、抑制噪聲以及解決迭代算法的半收斂現(xiàn)象，結(jié)合靈敏度映射的預(yù)處理方法和軟閉值方法，提出改進(jìn)的MRNSD算法，并通過仿真和實驗對該算法進(jìn)行驗證。

1 CFRP層壓板特性

CFRP是由碳纖維和樹脂聚合物組成的復(fù)合材料，而樹脂聚合物是絕緣材料，碳纖維是導(dǎo)電材料，且碳纖維的纖維方向的電導(dǎo)率較高，纖維方向的垂直方向和層壓板的厚度方向的電導(dǎo)率較低，因此CFRP的導(dǎo)電性具有各向異性的特點［15］。

通常將CFRP簡化為單層均質(zhì)連續(xù)各向異性材料，定義電導(dǎo)率張量為

圖1 正交型CFRP層壓板模型Fig.1 Orthogonal CFRP laminate model

2 電阻抗層析成像正問題

EIT圖像重建是通過邊界電壓V和輸入電流I得到電導(dǎo)率分布σ′。通過建模和有限元離散化就得到了EIT問題的確定性觀測模型為

式中：U（σ′；I）為σ′和I到V映射的正演模型；R（σ′）為σ′到電阻的映射模型。V=R（σ′）I模型與σ′呈非線性關(guān)系，與I呈線性關(guān)系。在電導(dǎo)率變化很小的情況下，可以考慮通過線性化方程組的方法來精確地求解EIT反問題。

式中：δσ∈Rn×1為電導(dǎo)率張量模值變化量的分布矩陣，n為重建圖像中的像素數(shù)；δUv∈Rm×1為材料損傷前后電壓測量差值，m為測量值個數(shù)；σ0為材料初始電導(dǎo)率分布；J∈Rm×n為Jacobian矩陣。

根據(jù)四端口網(wǎng)絡(luò)的Geselowitz靈敏度定理，靈敏度圖的快速計算方法如下：

式中：u（Id）和u（If）分別為第d次和第f次驅(qū)動模式的電勢分布；Jdfe為第d次和第f次驅(qū)動的靈敏度矩陣；Vdf為邊界測量電壓；σe為電導(dǎo)率分布矩陣；Ωe為被測區(qū)域；d V為對體積的積分。

3 電阻抗層析成像逆問題

3.1 MSRND算法

根據(jù)式（3），EIT采用差分成像方法。當(dāng)CFRP層壓板發(fā)生沖擊、分層、裂紋等損傷時，即會出現(xiàn)碳纖維斷裂，進(jìn)而導(dǎo)致材料電導(dǎo)率減小。因此，差值成像中的δσ可認(rèn)為是單向變化量。根據(jù)先驗信息，保證δU是損傷前與損傷后的電壓差，則式（3）中δσ具有非負(fù)特性。利用該特點，結(jié)合MSRND算法對CFRP層壓板的EIT圖像重構(gòu)進(jìn)行深入研究。

常用的求解EIT逆問題算法，比如共軛梯度算法等無約束Krylov子空間方法，但常用方法沒能考慮到解的非負(fù)性［16］，導(dǎo)致成像精度較低。Nagy和Strakos［17］提出了一種非負(fù)約束極小化算法，設(shè)極小化函數(shù)為

式中：σreg為目標(biāo)電導(dǎo)率分布。

強制非負(fù)約束性條件為δσ≥0。令δσ=ez，通過參數(shù)化公式（5）可得

式中：G（z）為變換后的最小化函數(shù)，z為z域。根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，有

令gradzG（z）=0，可以得到該約束極小化問題在δσ空間上的非線性規(guī)劃最佳解的必要條件（Karush-Kuhn-Tucker，KKT），得到以下迭代格式：

進(jìn)一步假設(shè)sk=JTrk和pk=Fksk，則可進(jìn)一步推出

因此，第k＋1次迭代的殘差向量為

算法1MRNSD算法。

輸入：Jacobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導(dǎo)率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δUv-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=Jp

δσ=δσ＋αp

F=diag（δσ）

y=JTu

s=s-αy

γ=sTFs

如滿足終止條件，則迭代停止，否則繼續(xù)迭代。

其中：s為中間變量；α為搜索參數(shù)。

3.2 預(yù)處理改進(jìn)

預(yù)處理經(jīng)常被用來加速迭代算法的收斂以及提高計算精度。在線性化算法中，由于EIT的非線性和不適定性，靈敏度矩陣直接影響重建圖像的質(zhì)量。在靈敏度矩陣的計算中采用一些先驗信息，可以使場域靈敏度更加均勻，改善求解的不適定性。靈敏度的歸一化方法在電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）中得到了廣泛的應(yīng)用［18］。在此基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的基于靈敏度映射的預(yù)處理器。

靈敏度矩陣J在測量區(qū)域邊界附近的靈敏度最大，這導(dǎo)致了物理項的不定性，導(dǎo)致重建圖像的誤差更大。因此，使用平滑預(yù)條件校正方案，即

令C =diag（ω1，ω2，…，ωk）且ωk≠0，來保證矩陣C是非奇異，而ωk的有效求法是通過如下求和操作，從而將每個像素的總靈敏度標(biāo)準(zhǔn)化，

式（5）中極小化問題的預(yù)處理優(yōu)化則可描述為：在每次迭代中使靈敏度矩陣J右乘非奇異矩陣C，邊界測量電壓變化值向量δσ左乘非奇異矩陣的逆矩陣C-1。然后將迭代法應(yīng)用于預(yù)處理系統(tǒng)，就可以得到算法2，即預(yù)處理修正殘差范數(shù)最陡下降法（Pretreatment Modified Residual Norm Steepest Descent，PMRNSD）。

算法2PMRNSD算法。

輸入：Jacobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導(dǎo)率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δUv-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=C-1Jp

δσ=δσ＋αp

F=diag（δσ）

y=JTC-Tu

s=s-αy

γ=sTFs

如滿足終止條件，則迭代停止，否則繼續(xù)迭代。

3.3 軟閉值改進(jìn)

使用共軛梯度等無約束迭代正則化算法求解EIT反問題會出現(xiàn)半收斂現(xiàn)象，MRNSD算法相對較為穩(wěn)定，但因噪聲的影響，仍然會存在半收斂現(xiàn)象。即重建圖像的質(zhì)量隨著迭代的進(jìn)行收斂到某個最優(yōu)值后，近似解逐漸趨近于一個無意義的被噪聲高度污染的向量，圖像的質(zhì)量隨之快速下降。如果沒有選擇一個合適的迭代數(shù)則可能求解出無意義的解。MRNSD算法出現(xiàn)半收斂現(xiàn)象的主要原因是邊界測量電壓中的噪聲會隨著迭代而擴散，改進(jìn)算法通過在每步迭代中添加去噪聲算法來抑制噪聲的擴散。

軟閉值方法是一種常用的去噪算法。對任意的向量x∈RN，對于給定μ值，定義軟閉值算子Sμ為

在每步迭代中，將軟閉值方法作用于殘差向量中，得到以下迭代過程：

δσk=δσk＋αkpk

Fk＋1=diag（δσk＋1）

sk＋1=JTrk＋1

pk＋1=Fk＋1sk＋1

另外，根據(jù)式（15）中的迭代格式可以得到sk=JTrk和pk=Fksk，則有

改進(jìn)算法通過在每步迭代中結(jié)合正則化方法與軟閉值方法來抑制噪聲的擴散，進(jìn)而克服傳統(tǒng)算法的半收斂現(xiàn)象，記為算法3，即快速預(yù)處理修正殘差范數(shù)最陡下降法（Fast Pretreatment Modified Residual Norm Steepest Descent，F(xiàn)PMRNSD）。

算法3FPMRNSD算法。

輸入：Jocobian矩陣J，迭代初始向量δσ0和迭代終止條件。

輸出：重建電導(dǎo)率δσ。

初始化：δσ=δσ0；s=JT（δU-Jδσ）；F=diag（δσ）；γ=sTFs。

如果k=1，2，…，則迭代：

p=-Fs

u=C-1Jp

δσold=δσ

δσ=δσold＋αp

F=diag（δσ）

r=Sμ（r-αp）

y=JTC-Tu

s=s-αy

γ=sTFs

其中：σold為上一次迭代的電導(dǎo)率矩陣；τ為給定參數(shù)。

4 實驗及對比

為驗證算法的有效性，分別引入相關(guān)系數(shù)和相對誤差2個指標(biāo)對重建圖像進(jìn)行評價。相關(guān)系數(shù)re定義為

利用相對誤差對不同算法的收斂性能以及重建圖像的優(yōu)劣進(jìn)行評估。

4.1 仿真實驗對比

構(gòu)建8層各向異性CFRP層壓板模型（見圖1），采用16電極EIT結(jié)構(gòu)。根據(jù)CFRP常見損傷類型，構(gòu)建4種損傷模型，如圖2所示。在板材表面中心區(qū)域設(shè)置一個高0.16 cm，半徑0.5 cm的圓錐體為沖擊損傷模型1；在板材表面一條對角線上設(shè)置2個高0.16 cm，半徑0.5 cm 的圓錐體為沖擊損傷模型2；在板材內(nèi)部中心區(qū)域設(shè)置一個半徑為0.5 cm，高為0.12 cm的圓柱體為分層損傷模型；在板材表面中心區(qū)域設(shè)置一個4 cm×0.2 cm×0.08 cm的長方體形狀為裂紋損傷模型。其中4種模型損傷位置的電導(dǎo)率改變量均為50%。選取被測材料厚度方向中心層XY截面計算靈敏度矩陣J，根據(jù)邊界電壓值的變化，利用CGLS、Tikhonov、MRNSD、PMRNSD 和FPMRNSD算法進(jìn)行圖像重建，結(jié)果如圖2所示。

圖2中的小圓圈表示模型的損傷位置輪廓。從對比圖中可以看出，4種算法均可有效地顯示出損傷區(qū)域，但相比Tikhonov和CGLS算法，MRNSD算法的重建圖像中的偽影明顯減少，損傷圖像輪廓更準(zhǔn)確，邊緣分辨率更高，有效地提高了重建圖像質(zhì)量。表1給出了圖2中使用不同算法重建圖像的相關(guān)系數(shù)?？梢钥吹?，非負(fù)約束算法有效提高了重建圖像與真實分布的相關(guān)系數(shù)，提高了圖像質(zhì)量。

4.2 抗噪聲對比

邊界測量電壓中的噪聲會直接影響成像質(zhì)量。為驗證改進(jìn)算法抗噪聲的有效性，在成像仿真實驗中對測量數(shù)據(jù)施加高斯噪聲，即

式中：L為噪聲水平；randn為高斯分布的隨機矩陣。L=1%高斯隨機噪聲是實際測量中的典型噪聲級，將其添加到邊界測量電壓中，通過不同算法得到的重建圖像如圖3所示。為了進(jìn)一步驗證5種算法對噪聲的魯棒性，將測量電壓中的噪聲水平增加到5%，得到重建圖像如圖4所示。在1%和5%噪聲影響下，不同算法在迭代過程中隨迭代次數(shù)增加而變化的相對誤差和殘差范數(shù)如圖5和圖6所示。

圖2 CFRP層壓板損傷仿真實驗結(jié)果Fig.2 Experimental results of CFRP laminates damage simulation

表1 不同算法的相關(guān)系數(shù)值Table 1 Value of correlation coefficients for different algorithms

圖3 在1%噪聲下CFRP層壓板損傷仿真實驗結(jié)果Fig.3 Experimental results of CFRP laminates damage simulation under 1% noise

圖4 在5%噪聲下CFRP層壓板損傷仿真實驗結(jié)果Fig.4 Experimental results of CFRP laminates damage simulation under 5% noise

如圖3、圖4所示，在測量數(shù)據(jù)中混入了1%噪聲后，傳統(tǒng)算法CGLS和Tikhonov的重建圖像比較算法MRNSD、PMRNSD和FPMRNSD算法更為平滑、模糊，成像目標(biāo)的輪廓和區(qū)域均變大，其抗噪聲能力明顯低于本文中的改進(jìn)算法。在5%噪聲水平下，傳統(tǒng)算法的重建圖像偽影明顯增多，圖像更加模糊。而本文中的改進(jìn)算法的重建圖像更加穩(wěn)定，目標(biāo)位置更加準(zhǔn)確，在高噪聲下具有更好的質(zhì)量。

4.3 CFRP層壓板實驗

搭建EIT損傷檢測實驗平臺（見圖7）對CFRP層壓板進(jìn)行損傷檢測。板材長10 cm，寬10 cm，厚0.3 cm，在板材四周均勻放置16個電極，將電流注入和電壓測量的多路復(fù)用器與電極相連，實現(xiàn)對電極的循環(huán)激勵和循環(huán)測量。實驗中，使用精密電流源（KEITHLEY 6221）在相鄰電極施加100 mA 電流，使用多功能開關(guān)測量單元（KEYSIGHT 34980A）和電樞矩陣開關(guān)（KEYSIGHT 34932）進(jìn)行其他電極電位的采集，基于LabVIEW 使用系統(tǒng)軟件根據(jù)量協(xié)議進(jìn)行開關(guān)量的切換。通過接線端子模塊（KEYSIGHT 34932T）將電位數(shù)據(jù)導(dǎo)入成像程序得到最終的成像結(jié)果。

損傷的CFRP層壓板及不同算法的損傷重建圖像如圖8所示。改進(jìn)算法的重建圖像效果更好，損傷輪廓邊緣分辨率有明顯提高。圖9為CFRP層壓板損傷檢測實驗中不同算法的相關(guān)系數(shù)對比。可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)算法明顯提高了重建圖像的相關(guān)系數(shù)，提高了重建圖像質(zhì)量。

圖7 EIT碳纖維損傷檢測實驗平臺Fig.7 EIT experimental platform for carbon fiber damage detection

圖8 CFRP層壓板損傷檢測實驗結(jié)果Fig.8 Experimental results of damage detection for CFRP laminates

圖9 CFRP層壓板損傷檢測實驗相關(guān)系數(shù)對比Fig.9 Correlation coefficient comparison of damage detection experiment of CFRP laminates

5 結(jié) 論

本文通過仿真和實驗研究，分析和驗證了MRNSD及其改進(jìn)算法對提高CFRP材料的EIT檢測重建圖像質(zhì)量的有效性，得到如下結(jié)論：

1）MRNSD算法強制執(zhí)行非負(fù)性約束使逆問題產(chǎn)生更精確的近似解，有效地減少了重建圖像的偽影，提高了圖像質(zhì)量。

2）基于PMRNSD算法，使得靈敏度更加均勻，進(jìn)一步提高了求解精確度。

3）基于FPMRNSD算法，在不同噪聲強度的影響下均實現(xiàn)了最佳迭代次數(shù)的自動更新，有效地克服了迭代中的半收斂現(xiàn)象。改進(jìn)算法的殘差范數(shù)值和相對誤差值均小于其他算法，表明改進(jìn)算法有效地抑制了噪聲。