考慮不確定性的復合材料加筋壁板后屈曲分析模型驗證方法

王彬文，艾森，張國凡，聶小華，吳存利

中國飛機強度研究所，西安 710065

復合材料加筋壁板在軸壓載荷作用下，主要的失效模式為屈曲破壞[1-2]。在實際工程應用中，受加工精度及材料性能的影響，復合材料的力學性能較金屬材料分散性大，其幾何尺寸、物理屬性等參數具有不可忽視的不確定性[3]。雖然每個參數的波動很小，但其綜合作用可能會改變加筋壁板的后屈曲特性。因此，在復合材料加筋壁板的設計中應充分考慮各種不確定性因素。

目前，考慮不確定性因素對結構模型驗證問題，國內外已有大量的學者開展了相關的研究工作。Ben和Thacker對不確定性模型和試驗結果比較的度量方法進行了梳理和分析[4]。Christopher和William對考慮不確定性的科學計算研究框架進行了綜述，并通過一個超聲速噴管流動模型論述了不確定性分析的主要流程[5]；Lee等針對機身結構所用的復合材料加筋壁板進行了參數不確定性和結構魯棒性研究[6]；李湘郡等針對C-C復合材料的分散性進行了詳細的研究[7]；Li等考慮了邊界不確定性，對一個承受軸向載荷的梁進行了試驗與分析方法的驗證[8]。同樣考慮邊界不確定性的研究工作還有Isaac[9]、Marc[10]等。而Daniel和Sonny針對一個通訊衛星結構進行了不確定性傳播的研究[11]。

近年來，國內相關學者在不確定性問題和模型驗證方面也表現出了極大的興趣，如李維重點論述了主、客觀不確定性在模型中的傳播問題，開展了靈敏度分析、不確定性量化等研究工作[12]；聶小華和吳存利總結了考慮不確定性因素的模型驗證常用方法，并針對一個化銑整體壁板的屈曲問題，采用面積度量法進行了有限元模型的驗證[13]。解江等開展了T700/環氧3234的復合材料圓管吸能特性不確定性研究，獲得了對吸能特性具有顯著影響的參數[3]。陳學前等討論了工程普遍存在的裝配不確定性問題，并以組合梁和根部柔性梁為例，開展了不確定性參數識別、量化、模型驗證等問題的研究[14-15]。張冬冬和鄭宗勇等采用響應面方法對復雜結構的不確定性分析進行了深入研究[16-17]。張保強等采用貝葉斯模型進行不確定性的分析和模型修正[18-21]。

對于考慮不確定性因素的復合材料加筋壁板分析模型的驗證問題，由于構件在服役條件下需要考慮的不確定性因素較多，開展相關的工程實驗具有復雜性，目前現有的相關文獻仍然缺乏。本文針對復合材料加筋壁板后屈曲有限元模型，建立了一種考慮不確定性因素模型評估方法，并系統介紹了分析方法和流程。最后利用該分析方法和流程，對加筋壁板分析模型進行實驗驗證和確認。本文研究形成的模型驗證方法為大型飛機虛擬試驗高精度建模提供參考。

1 考慮不確定性參數模型驗證方法

1.1 參數顯著性分析

復合材料加筋壁板結構的不確定性參數較多，需要選取那些對分析結果影響較大的參數。本文利用正交試驗設計方法構建正交表，并采用方差分析法進行參數的顯著性分析。

在方差分析中，對因素xi(i=1,2,…,n)，給定顯著水平α(通常取α=0.01和α=0.05)，從F分布表上查Fα值，即求上α分位點。如果F值Fi>Fα，則認為因素xi對結果的影響是顯著的[22]。

1.2 代理模型

不確定性分析實質上是一個大量、隨機模擬的過程，基于傳統有限元方法對結構后屈曲分析時，其單次分析成本較高，若直接采用有限元模型進行不確定性分析，耗時昂貴。在工程中，一般采用代理模型進行不確定性分析。為獲得滿足精度的代理模型，通常需要選擇樣本點，構建樣本空間。

中心組合試驗設計作為代理模型研究中常用的構造樣本空間的試驗設計方法，其試驗點分布見圖1。通常由3部分試驗組成，首先是對每個因素(n個)2個水平值(最高和最低水平)，共2n次試驗；其次在相對于中心點單個因素偏移±α處各進行一次試驗，試驗次數為2n次；第3部分試驗是在中心點(0，0，…，0)作nc次重復試驗，由于數值計算試驗的結果不存在物理試驗那樣的不確定性，所以對數值試驗來說，這一步只作一次試驗，即nc=1，3部分試驗次數共為N=2n+2n+nc次。由于該方法設計時可分批進行，在某種程度上降低了試驗次數。

圖1 兩因素和三因素中心組合試驗點分布

代理模型構建采用Kriging模型。雖然二階多項式響應面模型表達形式直觀、操作方便，但若參數較多，采用多項式響應面時，響應面方程較為復雜，反而降低預測精度，而Kriging模型可以很好地解決多參數的代理模型。該方法在描述非線性程度較高的問題中具有更好的預測效果，尤其針對本文所涉及的后屈曲特性的分析計算。

Kriging模型是基于統計的插值模型[23]，包含回歸部分與隨機過程2部分：

Y=FT(x)β+Z(x)

(1)

式中：F(x)為x的多項式，用于模擬全局近似；β為回歸系數；Z(x)為正態隨機函數，用于模擬局部偏差，Z(x)具有以下統計特性，均值、方差、協方差分別為：

E(Z(x))=0

(2)

var(Z(x))=σ2

(3)

i,j∈{1,2,…,m}；k∈{1,2,…,n}

(4)

其中：σ2為方差；Rij(θ,xi,xj)為以θ為參數的相關系數矩陣，本文取高斯函數作為相關系數矩陣，即

(5)

由最大似然估計可以得到方差σ2、相關系數矩陣參數θk和回歸系數β*：

(6)

β*=(FTR-1F)-1(FTR-1Y)

(7)

式中：R為相關系數矩陣。參數θk可以視為因素xk對響應影響程度的測量。用Kriging模型對非樣本點xnew的預測響應與方差為

(8)

(9)

式中：

(10)

γ*=R-1(Y-FTβ*)

(11)

D=fT-FTR-1r

(12)

式中：r、f為將預測點處值xnew分別代入相關系數矩陣R和回歸部分F得到的向量或矩陣。

無論選用何種代理模型，都需要對代理模型的擬合程度進行檢驗。這里選用R2檢驗，R2越接近1說明響應面方程擬合度越好。即

(13)

1.3 蒙特卡羅模擬

通過構建顯著參數與結構響應指標之間的響應面，就確定了兩者之間的函數關系，對顯著參數進行大量抽樣，并利用蒙特卡羅模擬可獲得響應指標的概率分布。

1.4 基于試驗數據的模型驗證方法

對復合材料加筋壁板模型的驗證可從2個層面比較分析：第1個層面，從模型本身上講，可選取典型試驗件的試驗結果作為對比對象，通過分析屈曲破壞試驗的失效模式和典型的載荷-應變曲線來確定分析與試驗的一致性。

第2個層面，從具有統計意義的量化指標上進行驗證分析。在工程應用中，常用的驗證指標主要有：均值比較、假設檢驗、貝葉斯方法以及面積度量方法[4,13]。由于本文所研究的復合材料加筋壁板試驗數據較少，不具有統計特征，因此，在進行模型驗證時，將主要采取均值比較的方法，并結合假設檢驗進行驗證。

均值比較可采用如下方式計算：

(14)

通過均值比較可獲得模型預測值Ymod與試驗值Yexp的集中程度[13]，在此基礎上，利用響應指標的概率分布，獲得95%置信度時置信區間，從而確定預測值與試驗值的離散情況。

1.5 模型驗證流程

綜合以上分析方法，考慮不確定性參數的模型驗證流程如圖2所示。首先對不確定參數進行顯著性分析，進行參數的篩選。然后借助中心組合試驗設計和Kriging模型構建代理模型，并基于該模型進行蒙特卡羅隨機模擬，獲取結構響應特性概率分布。最后，基于試驗數據進行模型驗證，以確定模型的可靠性。

圖2 模型驗證流程

2 復合材料加筋壁板有限元模型驗證

基于上述模型驗證方法和流程，對復合材料加筋壁板后屈曲模型進行驗證。

2.1 結構簡介

復合材料加筋壁板由蒙皮和4個“工”字形筋條組成。幾何尺寸如圖3所示，縱向長度為950 mm，橫向長度為534 mm，筋條間距為146 mm，筋條和蒙皮采用膠接連接。各個部位鋪層如表1所示，單層厚度為0.12 mm。

圖3 加筋壁板幾何參數

表1 復合材料加筋壁板試件鋪層信息

試件材料為復合材料CCF300/BA9916，界面膠層為J116。

2.2 試驗結果

對復合材料加筋壁板進行軸壓試驗，采用在試驗件端部加壓方式進行，為防止試件受壓兩端壓劈和保證壓力分布均勻，試驗件端部采用玻璃鋼加強片及專用夾具將試件端頭側面夾緊，并在翼肋的位置上由刀口對試件提供支持。將試驗件及夾具放在壓力試驗機平臺上，試驗件加載形心位置調正壓心，使試驗機平臺的中心線與加筋壁板橫截面形心軸對齊。試驗加載方式及支持狀態如圖4所示。

圖4 試驗加載方式及支持

共進行了5個試驗件的破壞試驗，獲得了5組破壞載荷，相關結果如表2所示。本試驗數據來源于中國飛機強度研究所研發的加筋壁板試驗數據庫，該數據庫收錄了各類試驗產生的模型數據、試驗數據以及對應的描述性報告[24]。

表2 復合材料加筋壁板試驗結果

2.3 有限元模型構建

筋條和蒙皮選用殼單元模擬，界面膠層采用內聚力單元模擬，內聚力單元與殼間采用共節點連接方式模擬。為了準確模擬復合材料的失效過程，采用Hashin失效準則，并設置損傷演化規律。

復合材料加筋壁板有限元邊界如圖5所示，遠離加載端邊界固支，次端部邊界約束U1、U2，翼肋邊界約束壁板節點Y向自由度，非加載邊自由。有限元模型節點總數為13 181個，單元總數為10 368個。

圖5 復合材料加筋壁板有限元模型邊界條件

2.4 模型驗證

2.4.1 不確定性參數及其分布確定

為確定對指標具有顯著影響的參數，選取復合材料加筋壁板的幾何參數、材料參數以及加載參數(加載點X方向坐標、形心高度)等作為不確定性參數。對于材料參數，本研究所對復合材料CCF300/BA9916按照相關標準進行了測試，獲得了統計測試結果；對于幾何參數分布取為公差范圍內的正態分布；加載參數的取值根據加載設備的精度來確定。各個參數的均值和標準差見表3。

表3 不確定性參數均值和標準差

2.4.2 參數顯著性分析

復合材料加筋壁板后屈曲特性的計算，初始參數共計19個，包含幾何參數、材料參數以及加載參數。針對這19個變量，選用L54(326)型正交表進行顯著性參數分析，選取極限載荷作為試驗指標，利用有限元分析計算設計矩陣的試驗結果。

通過正交表的方差分析，獲得各個參數的F值如圖6所示，查表Fα的區間為[3.251 9,5.229]， 根據此區間，判斷對極限載荷具有顯著影響的參數分別為：① 沿纖維方向彈性模量E11；② 壁板單層厚度Tl；③ 纖維方向壓縮強度XC；④ 筋條間距B；⑤ 筋條上緣條寬度Ws3；⑥ 剪切模量G12；⑦ 筋條下緣條寬度Ws1。

圖6 不確定性參數顯著性分析

2.4.3 Kriging模型構建

通過以上分析，獲得對后屈曲極限載荷具有顯著影響的參數有7個，采用中心組合試驗設計方法進行試驗設計時，需要安排79次試驗。將試驗矩陣對應的參數值輸入有限元模型，得到樣本點對應的后屈曲載荷。

利用上述獲得的樣本，建立Kriging模型。對應Kriging模型，回歸部分采用二次回歸模型，相關函數為Gauss函數。在模型建立后，對模型進行R2檢驗，可得R2=1.00，滿足精度要求。針對該模型設計10組樣本進行測試，測試結果，見表4。由表4可見，選取10組樣本進行測試，其相對誤差均在10%以內，說明構造的Kriging模型具有較高的精度，可代替復合材料加筋壁板后屈曲有限元的計算。

表4 復合材料加筋壁板后屈曲Kriging模型測試結果

2.4.4 驗證分析

根據1.4節所述模型驗證方法，首先從第1個層面進行驗證。圖7、圖8分別為1#試驗件的破壞狀態和典型部位的載荷-應變曲線。分析圖7可見，在軸壓載荷作用下，復合材料加筋壁板最終的失效狀態為中間2根筋條發生壓潰斷裂，而且第2根筋條比第3根筋條更早的出現壓潰。有限元分析的破壞區域和破壞順序與試驗結果保持一致。

圖7 試驗與分析破壞狀態對比

由圖8分析可知，載荷-應變曲線首先是線性發展，在達到一個較大的載荷1 033 kN后，曲線斜率發生小幅變化，這意味著結構開展出現初始屈曲。當載荷繼續增大時，結構逐步向后屈曲模式演變，直到結構發生屈曲破壞，載荷-應變曲線開始拐折。此時即為結構最終的承載能力，極限載荷為1 148 kN。從曲線上看，試驗與分析破壞模式基本一致，且關鍵部位的應變數據對比較好。

圖8 試驗與分析的載荷-應變曲線

從統計意義上進行驗證，利用表3的參數分布進行多次抽樣，并代入Kriging模型進行計算。當抽樣次數達到30 000次時，后屈曲載荷均值可獲得穩定的統計結果。此時，后屈曲載荷分布直方圖如圖9所示，圖中“*”為試驗結果。對計算結果統計分析，獲得后屈曲載荷平均值為1 174.77 kN，標準差47.80 kN，95%置信度時置信區間為[1 081.1，1 268.5] kN。試驗均值為1 188.4 kN，分析與試驗均值的相對誤差為1.15%，可見，具有較高的一致性。

圖9 后屈曲載荷直方圖和試驗結果

3 結 論

1) 模型驗證中充分考慮了材料組分和幾何尺寸的不確定性，從而避免因隨機因素干擾對模型可靠與否做出錯誤的判斷。

2) 不確定參數的選擇通過參數顯著性分析來實現。為了保證計算精度和效率，選取對模型預測結果具有較大影響的參數，而去除影響小的參數。

3) 文中提出了考慮不確定因素的復合材料加筋壁板后屈曲分析有限元模型驗證方法和流程，從模型本身和統計學2個層面對模型進行了驗證，具有一定工程實用性，可以對復合材料結構線性和非線性有限元模型進行確認。