地球衛星星光折射導航量測量及其性能對比

寧曉琳，梁曉鈺，孫曉函，王帆，王龍華，房建成

1. 北京航空航天大學 前沿科學技術創新研究院，北京 100083

2. 北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100083

地球衛星實現自主導航，一方面可以減輕地面站的負擔，在測控系統發生信息阻塞或受到干擾時，提高地球衛星的生存能力；另一方面，可以為自主控制和自主管理等提供支持。天文導航是一種重要的地球衛星自主導航方法[1]，而地平測量精度則是影響地球衛星自主天文導航性能的一個重要因素[2]。根據敏感地平方式的不同，地球衛星的自主天文導航可分為直接敏感地平法和利用星光折射間接敏感地平法[3]。直接敏感地平的天文導航方法是利用地球敏感器直接測量地球邊緣從而獲得地心方向[4]，其原理簡單易于實現，但是受地球敏感器測量精度的限制，導航精度不高，此外，大氣層的覆蓋會導致地球邊緣位置難以精確確定，也會導致導航精度下降[5]。星光折射間接敏感地平的方法是20世紀80年代初發展起來的一種低成本、高精度衛星自主天文導航方法[6]。該方法利用星敏感器觀測被地球大氣邊緣折射的恒星，從而間接獲得地心方向信息，由于現階段星敏感器的測量精度遠高于地球敏感器[1]，因此可大大提高導航精度。

早在1960年初，美國Draper實驗室(Charles Stark Draper Laboratory，CSDL)在Apollo計劃實施之前，就對利用天體掩星、星光大氣折射、星光大氣衰減等自主導航方案進行了研究[2]。1975年，CSDL研究了星光折射/色散自主導航方案，提出了幾種星光折射敏感器的設計方案。CSDL于1979年開展的關于大氣星光折射能否提供真實數據的研究是星光折射自主導航方法發展過程中的重要一步。結合地面測控站提供的精確的衛星軌道參數，CSDL利用掌握的2顆NASA衛星(OAO-3和HEAO-2)的高精度在軌觀測數據對大氣平流層的密度變化量進行了深入分析。1980年，OAO-3衛星成功獲取了折射數據，CSDL在研究了許多觀測數據后，推斷星光折射導航可能獲得較高的精度。1984年，CSDL對星光折射自主導航方案進行了誤差分析和仿真研究，假定大氣折射高度為25 km，以視高度作為觀測量，一個軌道周期內觀測40次折射星，利用卡爾曼濾波(KF)得到優于100 m的導航精度[7]。20世紀80年代初，法國國家空間研究中心以低軌觀測衛星SPOT為研究對象，進行了基于星光折射的自主導航的研究，通過多次平流層氣球試驗對大氣折射的特性進行了研究，預計此方法的導航精度可達300 m[8]。上述關于星光折射自主天文導航技術的研究均為理論研究，一直沒有得到實際的應用驗證，直到多任務姿態確定和自主導航(Multi-mission Attitude Determination and Autonomous Navigation，MANDAN)系統在空間進行試驗才開始得到實際工程應用[9]。

國內關于星光折射自主導航的相關研究一直在開展。1995年，董云峰和章仁為[5]初步研究了利用星敏感器實現衛星自主導航的方法，其中包括利用星光折射實現衛星自主導航的內容。周鳳岐等[10]和唐瓊[11]對利用星光折射自主天文導航實現衛星自主定軌進行了研究。薛申芳等[12]根據組合大視場星敏感器衛星自主定軌的需要，對組合大視場星敏感器觀測的星光折射有關參量進行了研究。王國權等[13]根據衛星、地球和星光折射視高度間的幾何關系，建立了星光折射模型，給出了20～60 km視高度范圍的星光折射角隨星光折射視高度變化的經驗公式。胡靜和楊博[14]建立了視高度范圍為20～50 km的星光折射觀測模型，同時進行了仿真研究。Wang和Ma[15]在考慮所有大氣折射模型影響因素的基礎上，建立了一種更為精確的連續高度(20～50 km)大氣折射模型的經驗公式。文獻[1]系統地研究了星光折射自主導航方法，對導航系統進行了詳細的誤差影響因素分析，給出了部分可供參考的結論。王海涌等[16]根據視場內平流層條帶所占視場面積的比例，建立了折射星數在星敏感器視場內的概率分布模型，并提出了一種星光折射解析定位方法。武鵬飛等[17]進一步對星光大氣折射模型進行了研究，利用光線追跡方法，建立了一種考慮大氣空間不均勻性的星光大氣折射模型，使星光折射導航的理論精度進一步提高。楊博和苗峻[18]等針對星敏感器接收折射光線的過程中，太陽、地氣光等雜光造成星圖背景增強，使星光折射導航系統觀測缺失提出了一種航天器星光折射連續導航方法，該方法利用觀測的折射星解算航天器位置的同時建立即時神經網絡權值，進入星光空白段時，導航系統通過神經網絡補償算法實現導航延續，該方法下的“空白段”的導航合方向精度誤差在10%之內，保證了星光折射導航的精度。

隨著星光折射導航理論研究的發展，其在中國得到了大量的應用。近幾十年，中國開展近地星光導航技術研究，先后研制出多種星光導航設備，這些設備自動化程度高，可直接輸出載體相對于慣性坐標系之間的相對姿態信息，極大的提高了航天器自主導航的性能[19]。隨著技術的發展，星光折射導航在艦船自主定位[20]、彈道導彈導航[21]等方面的應用也逐漸發展了起來。

上述研究均以星光折射視高度為量測量，但星光折射視高度存在獲取困難、無法反映折射方向信息的不足，針對上述問題，近年來北京航空航天大學先后提出了基于星光折射角[22-23]和折射星像素坐標(折射星矢量)[24]的星光折射導航方法。本文結合星光折射導航的基本原理對這3種量測量的獲取方法和量測模型進行了綜述，并通過仿真比較了相同條件下3種量測量的導航性能和可觀性。仿真結果表明，由于折射星像素坐標(折射星矢量)可以同時反映星光折射的大小和方向，而星光折射角和折射視高度僅能反映星光折射的大小，無法反映其方向，因此折射星像素坐標的導航性能優于星光折射角和折射視高度。此外，還對星敏感器精度、衛星軌道高度、星敏感器安裝夾角3種因素對3種方法的性能影響進行了分析。

1 星光折射導航的基本原理和量測量的獲取

1.1 星光折射導航的基本原理

星光折射自主導航是利用大氣的光學折射特性實現衛星的自主導航，如圖1所示，當恒星星光經過地球邊緣的大氣層時，由于大氣密度不均勻且隨高度下降而增大，此時，星光會發生折射并朝地心方向彎曲，在這個過程中，星光折射的大小和方向是衛星位置矢量的函數[25]。因此利用星敏感器觀測經過大氣邊緣被大氣折射的恒星，能夠觀測到其星點位置相對未發生折射的恒星發生了明顯的變化，如圖2所示，其中Nx和Ny表示點在這個圖里的位置。利用這一特點可以實現折射星的識別，并根據其折射前后的像素坐標，得到其未折射的真實星光方向S和折射后的視方向Sr，進而得到折射后的視方向與未折射的真實星光方向之間的夾角——星光折射角R。此外，從衛星上觀測到的折射光線相對于地球表面的高度為視高度ha，是R和大氣模型的函數。大氣密度分布決定了星光的折射軌跡，而地球衛星的位置決定了可觀測到的折射星和星光折射角R和折射視高度ha的大小。以傳統的星光折射導航量測量折射視高度ha為例，由圖1所示的幾何關系可以得到ha與地球衛星的位置矢量r具有如式(1)所示的函數關系，圖中hg為實際折射星光的大氣切線高度。

圖1 基于星光折射的地球衛星自主導航基本原理

圖2 星圖

(1)

因此，利用折射星像素坐標(折射星矢量)、星光折射角R和折射視高度ha為觀測量，結合軌道動力學模型[27]進行濾波，可以精確估計出地球衛星的位置信息。

1.2 星光折射導航量測量的獲取

最原始的星光折射信息來自于星敏感器拍攝的折射星圖，從中可以提取出折射星的像素坐標，通過坐標轉換，可以得到折射星的矢量方向，進而得到星光折射角和折射視高度。

1.2.1 折射星像素坐標(折射星矢量)的獲取

(2)

式中：f為星敏感器的焦距。

1.2.2 星光折射角的獲取

(3)

1.2.3 折射視高度的獲取

折射視高度是最早使用，也是目前研究最多的一種星光折射量測量，其獲取方法比較成熟[6,30-31]。根據大氣折射模型的經驗公式[15,32]，折射視高度hai可由式(4)通過星光折射角Ri計算得到:

hai=-21.740 898 77-6.441 326lnRi+

69.211 770 57Ri0.980 5i=1,2,…,nr

(4)

1.3 星敏感器安裝方位的確定方法

星敏感器是獲取星光折射量的重要敏感器，由于只有通過地球邊緣大氣層的星光才會發生折射，為了觀測到折射星，星敏感器的光軸需要指向地球邊緣，因此需要確定星敏感器的安裝方位。星敏感器安裝方位的定義如圖3所示，θ為星敏感器光軸與地心矢量之間的夾角。星敏感器光軸應在錐線為地心矢量、錐角為θ的圓錐面上，并確保其始終指向地球邊緣。φ為星敏感器光軸在地球衛星本體坐標系XOZ平面內的投影與本體坐標系的OZ軸(速度方向)的夾角，由于星敏光軸安裝在軌道平面內導航精度較高，φ最好設為0°或180°[25]。

圖3 星敏感器安裝方案

星敏感器光軸與地心矢量間的夾角θ決定了星敏感器能否探測到折射星以及探測到的折射星的數量，應該保證星敏感器的視線不被地球邊緣遮擋，并盡可能多的觀測到折射星。夾角θ與衛星軌道高度h的范圍及星敏感器視場FOV有關，夾角θ的計算方法如下：

1) 根據軌道高度h與地球遮擋確定星光角距范圍

考慮到地球邊緣的遮擋，只有星光角距α滿足式 (5) 的恒星才能被星敏感器觀測到:

(5)

2) 由星敏感器視場確定折射星觀測范圍

星光折射的程度隨折射視高度ha的增大而減弱，ha>50 km時，大氣密度稀薄，折射效果弱，星敏感器難以捕獲折射星；若ha太低，星光穿過存在各種劇烈的氣象現象的對流層，同樣不利于折射星的捕獲；而折射高度在20～50 km的平流層內，溫度變化緩慢，大氣密度適中，無強烈對流，不含水蒸汽、氣溶膠等隨機性大的成分[30]，大氣折射角合適，可以取得較高的導航精度，是折射星較為理想的觀測范圍。

(6)

則根據式(6)，可得ha在20～50 km范圍內的恒星對應的折射角R范圍為3″

3) 夾角θ的最終確定

由于折射星光來自地平方向，為了盡可能多的觀測到折射星，星敏感器視場可以適當被地球邊緣遮擋。因此，結合星敏感器視場FOV和星光角距α，夾角θ應滿足(α-FOV/2)≤θ≤(α+ FOV/2)。綜上所述，對于軌道高度范圍440～450 km的衛星，當星敏感器的視場為10°×10°時，夾角θ的范圍為[65.2°, 74.4°]，可設置為72°。該角度保證星敏感器能夠同時觀測折射星和非折射星，這也是折射星識別的基礎[22]。

2 量測模型的建立

折射量測模型的建立過程與量測量的獲取過程相反，因此本節先從最簡單的折射視高度開始介紹。

2.1 折射視高度的量測模型

由式(1)可得折射視高度的量測模型可表示為

Z1=ha=h1(r)+v1

(7)

式中：v1為折射視高度的誤差。

2.2 星光折射角的量測模型

構造基于星光折射角R的量測模型，實質上是建立星光折射角R與衛星導航參數之間的函數關系。聯合式(4)和式(6)，可得

-21.740 899-6.441 33lnR+

69.211 77R0.980 5

(8)

由式(8)可知，星光折射角R與衛星位置矢量的模r和星光角距α三者有確定的函數關系，而星光角距α是位置矢量r與星光矢量S的夾角，因此星光折射角R與衛星位置矢量r存在函數關系。令Z2=R,其量測模型可表示為

h2(r,Z2+v2)=0

(9)

式中：v2為折射角誤差，包括測量誤差和式(8)的模型計算誤差。

顯然，星光折射角R的量測模型是一個隱函數，折射角R和衛星的位置矢量約束在一個隱函數中，無法獲得顯式的量測模型，解決這類含有隱式量測模型的估計問題，需要隱式量測模型濾波方法[23]。

2.3 折射星像素坐標(折射星矢量)的量測模型

折射星像素坐標(折射星矢量)的量測模型的建立主要包括3個重要步驟：星光折射角的計算，慣性坐標系下的折射星矢量計算，以及星敏感器坐標系下的折射星矢量和折射星像素坐標的計算[24]。

(10)

(11)

式中：C為旋轉矩陣，表達式為

(12)

q1，q2，q3，q4為四元數，表達式分別為

(13)

(14)

(15)

(16)

則基于折射星像素坐標或折射星矢量的量測模型可以簡化為

(17)

式中：v3為折射星像素坐標量測噪聲。

2.4 旋轉矩陣C的誤差分析

由于旋轉矩陣C的四元數是由估計的折射角計算得到，因此當折射角估計存在誤差時，矩陣C的計算必然存在誤差，因此這一節對矩陣C的誤差進行分析。

對式(12)左右兩邊同時微分有

(18)

(19)

式(18)和式(19)表明矩陣C的誤差不僅受折射角估計誤差的影響，還受折射角R本身的影響。

當n確定時，可以確定C的誤差與折射角R之間的關系，圖4為轉換矩陣C各個元素與R的大小和精度之間的關系，其中ΔCij(i=1,2,3;j=1,2,3)為C陣各個元素誤差，可以看出隨著折射角精度ΔR的減小，轉換矩陣C的精度也相應的減小，并且隨著折射角的改變，矩陣C的精度變化很小。

圖4 折射角精度與轉換矩陣C精度之間的關系

3 仿真比較

本節對上述折射視高度、星光折射角、折射星像素坐標(折射星矢量)3種量測量的星光折射導航系統性能進行了仿真比較。

3.1 仿真條件

3.1.1 軌道參數設置

衛星的軌道數據由STK軟件[33]生成，軌道坐標系設置為J2000.0地心赤道慣性坐標系。軌道參數如表1所示，仿真時間為5個軌道周期的時間。衛星運行軌道如圖5所示。

表1 仿真軌道參數

圖5 衛星運行軌道圖

3.1.2 星敏感器參數設置

星敏感器視場大小為10°×10°，所選星等為6.95m， 星敏感器精度1″對應的像素誤差為0.711 pixels， 星敏感器光軸與地心矢量之間的夾角為72°。

3.1.3 濾波參數設置

1) 濾波周期為3 s。

2) 初始狀態誤差

ΔX0=

[1 000 m，1 000 m，1 000 m，1 m/s，1 m/s，1 m/s]T

3) 初始系統噪聲協方差陣

4) 系統噪聲方差陣

5) 量測噪聲方差陣

① 折射星像素坐標的量測噪聲方差陣Rk

Rk=diag{(0.711)2, (0.711)2, …, (0.711)2}

其中，由于每個量測量對應的是二維坐標，Rk的維數是觀測到的折射星數目的2倍。

② 星光折射角的量測噪聲方差陣R′k

假設第i顆折射星的折射角Ri及其星點像素坐標間關系可以表示為

Ri=hR(ui,vi)

(20)

則星光折射角量測對應的量測噪聲方差陣為

R′k=diag(HiRkHiT)

(21)

式中：

(22)

③ 折射視高度的量測噪聲方差陣R′k

根據式(4)可知

hai=fha(R)

(23)

則折射視高度對應的量測噪聲方差陣為

R″k=diag(Hi′R′kH′iT)

(24)

式中：

(25)

3.2 仿真結果及分析

3.2.1 仿真結果

圖6為3種量測量的仿真結果圖，圖6(a)和圖6(b)分別為位置估計誤差曲線和速度估計誤差曲線。表2為3種量測量的位置和速度估計誤差曲線在濾波收斂后的平均值和最大值。由圖6可以看出3種量測量曲線的估計誤差在100 min后開始收斂，且3條曲線都隨著衛星的軌道周期出現周期性的變化。3種量測量的位置估計誤差曲線、速度估計誤差曲線波動趨勢基本一致。由圖6和表2 可以看出，折射視高度的導航性能最差，星光折射角次之，折射星像素坐標的導航性能最好。相比較于折射視高度作為量測量，折射星像素坐標作為量測量時的導航位置精度和速度精度分別提高了38%和32%；相比較于星光折射角作為量測量，折射星像素坐標作為量測量時的導航位置精度和速度精度分別提高了36%和25%。這是因為折射星像素坐標作為量測量能夠同時利用星光折射的大小和方向2個重要導航信息，而折射視高度和星光折射角作為量測量只利用星光折射大小一種折射信息，因此折射星像素坐標具有更好的導航精度。

圖6 3種量測導航結果對比圖

表2 3種量測量的導航結果

3.2.2 影響因素

為了進一步分析3種量測量的導航性能，該部分對不同星敏感器精度、不同軌道高度、不同安裝夾角θ下的3種量測量的導航性能進行仿真對比。

表3為不同星敏感器精度下的3種量測量的導航結果。可以看出隨著星敏感器精度的降低，3種 量測量的導航性能都有一定程度的降低，但是折射星像素坐標(折射星矢量)仍然保持最佳的導航性能。表4為不同軌道高度下的3種量測量的導航結果，可以看出隨著軌道高度的增加，由于可觀測到的折射星數量減少，量測信息相應地減少，從而導致了3種量測量的導航性能的降低，但是折射星像素坐標(折射星矢量)然保持最佳的導航性能。表5為不同安裝夾角θ下的3種量測量導航結果，可以看出，在1.3節所求出的夾角范圍內，該夾角的改變對3種量測量的導航性能影響相對較小，且本文所選擇的72°夾角能夠表現出較好的導航性能。

表3 不同星敏感器精度下的3種量測量的導航結果

表4 不同軌道高度下的3種量測量的導航結果

表5 不同安裝夾角θ下的3種量測量導航結果

3.2.3 可觀性分析

1) 可觀測度的計算

由于狀態估計的精度與系統的可觀測度密切相關[34]，為了進一步的分析3種量測量的導航性能，本小節對基于3種量測量的導航系統的可觀測度進行分析。

可觀測矩陣可構造為[35]

(26)

式中：Φk,k-1為狀態轉移矩陣，表達式為

(27)

Hk為等效量測矩陣，以折射視高度為量測量時，由于其量測模型為一般的非線性量測模型，因此可利用式(28)進行求解[1]；以星光折射角和折射星像素坐標為量測量時，由于前者量測模型為隱式量測模型，后者量測模型建立過程復雜，因此采用式(29)進行求解[23]。

(28)

Hk=(Pxy,k)T·(Pk|k-1-1)T

(29)

式中：Pxy,k，Pk|k-1分別可由隱式無損卡爾曼濾波的狀態估計誤差協方差陣[23]和經典無損卡爾曼濾波方法狀態估計誤差協方差陣的計算方法獲得。

可觀測矩陣Mk(k=1,2,…)含有m維，其中m大于狀態量Xk的維數。當且僅當可觀測性矩陣Mk對所有的m均為滿秩時，系統可完全觀測。

本文以條件數的倒數作為系統可觀性好壞的標準參數，可觀測度的定義為[36]

(30)

式中：σmax(M)和σmin(M)分別代表可觀測矩陣M的最大和最小奇異值。

可觀測度D(M)滿足條件0≤D(M)≤1，當D(M)=0時，表明此時系統是不可觀測的；當D(M)>0時，表明系統是可觀測的，且可觀測度越大，系統的估計精度也就越大。

2) 仿真結果

圖7分別為以折射視高度、星光折射角、折射星像素坐標為量測量的星光折射導航系統的可觀測度。表6為3種量測量整個濾波周期內的平均可觀測度，可以看出以折射星像素坐標為量測量的導航系統具有較高的可觀測度，導航精度較高。

表6 3種量測量的可觀測度

圖7 3種量測量的可觀測度

4 結 論

1) 本文對星光折射導航中折射星像素坐標(折射星矢量)、星光折射角、折射視高度3種量測量的獲取以及量測模型的建立進行了介紹，將基于3種量測量的星光折射導航方法應用于星光折射導航系統中進行仿真驗證與分析。

2) 折射星像素坐標(折射星矢量)作為一種比折射視高度和星光折射角都更為直接的量測量，能夠同時包含星光折射大小和折射方向反映這兩個折射信息，具有更好的導航性能。仿真結果和可觀測性分析都證明，以折射星像素坐標(折射星矢量)為量測量的星光折射導航系統在幾種仿真條件下都具有最好的導航性能，基于星光折射角的導航系統的導航性能次之，基于折射視高度的導航系統性能最差且具有較大的實際應用限制。

3種量測量的導航性能都隨著星敏感器精度減小而變差，因此在實際應用過程中，可以根據實際的指標要求選擇合適精度的星敏感器；同樣地，3種量測量的導航性能都隨著衛星軌道高度的增加而變差。同時，本文也驗證了，只要星敏感器光軸與地心矢量間的夾角在合理的范圍內，夾角的選擇不會對系統性能產生較大影響。在實際應用中，應綜合考慮衛星軌道高度與星敏感器精度，選擇滿足需要的導航方法。

3)星圖識別過程中“閾值”的設定，目前仍根據定位精度和星圖精度通過經驗和測試進行人工設定，該“閾值”能夠自設定的方法是需要待進一步研究的問題。