橢圓內接三角形面積最值研究

◇ 新疆 范雅芳

筆者曾研究過橢圓上任意兩點與原點連線構成的三角形面積最大值為ab,現進行深入探究.

1 拓展思考

在橢圓內部由橢圓的中心點O 和橢圓上任意兩點A,B 構成的△OAB 面積的最大值是定值ab,那么構成△OAB 的這三個頂點中有一個定點O 和兩個動點A,B,若將此結論推廣一下,讓點O 也變成一個動點C,即在橢圓上任意取三個點構成△ABC,則△ABC 的面積的最大值是否也會是一個定值呢?

2 問題引入

經過筆者之前的研究發現向量坐標的運算在整個問題的研究中有著簡捷且運算方便的特點,因此要研究三個都是動點的三角形面積問題,也可以考慮從向量的坐標運算出發,先引入兩種方法,將三角形的面積表示出來.

圖1

證法1(向量坐標法)

設橢圓上三點的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則＝(x2－x1,y2－y1),＝(x3－x1,y3－y1),那么

證法2(解析法)

因為lAB的方程為(y2－y1)x－(x2－x1)y＋x2y1－x1y2＝0,則點C(x3,y3)到lAB的距離是

所以S△ABC＝AB·d ＝|x1y2－x1y3＋x2y3－x2y1＋x3y1－x3y2|.

3 問題求解

上述式子給出了一個計算的方向,但是如果用坐標直接進行運算是非常煩瑣的,計算難度也很大,所以在接下來的研究中,我們可以嘗試利用參數方程、三角代換的方法.

設u＝sin(α－β)＋sin(β－γ)＋sin(γ－α),令x－t＝α－β,x＋t＝β－γ,則α－γ＝2x,所以u＝sin(x＋t)＋sin(x－t)－sin2x＝2sinx(cost－cosx).

下面求u 的最大值.

當sinx≥0,

當sinx＜0,

4 問題再思考

進一步思考,橢圓上的三個動點形成的橢圓內接三角形的面積有最大值,那么達到最大值時的三角形會不會是一個特殊的三角形,是否具有某些特征呢?

定理已知△ABC 內接于橢圓(a＞b＞0),若其重心G 與橢圓的中心O 重合,則△ABC 的面積為定值,此值為

證明(仿射變換法)

由于△ABC 的重心G 與橢圓的中心O 重合,因而△A′B′C′的重心G′與圓心O′重合,所以△A′B′C′是圓O′：x′2＋y′2＝a2的內接正三角形,易知

這個定理只是為我們提供了一種可能性,意思是滿足重心與橢圓中心重合的三角形的面積就是內接于橢圓的三角形中面積的最大值,那么反之是不是面積是此值的三角形就一定會是重心與橢圓中心重合的三角形呢? 這個問題在此提出來,希望各位數學愛好者能夠進一步解答,靜待讀者對此問題的更多見解.