一道中考反比例函數試題的解法探究

祝明基

[摘? 要] 一份好的中考試卷應該與考試說明要求相吻合，知識點覆蓋合理;貼近教材，應用性和開放性適度;突出數學知識的基礎性和綜合性;主干知識考查到位，核心知識重點考查;注重“雙基”，側重能力評價;以人為本，促進學生發展. 全卷應充分體現新課程標準的評價理念，試卷中所滲透出的教育信息既要對今后初中數學教學起到良好的導向作用，又應體現選拔功能.

[關鍵詞] 反比例函數;中考;試題解法

試題呈現

試題如圖1，函數y=x的圖像與函數y=■的圖像在第一象限交于點B，點C是函數y=■在第一象限圖像上的一個動點. 當△OBC的面積為3時，點C的橫坐標為______.

試題考查要點分析

本題是一道創新題，入口低，具有多種解題方法，體現了命題的層次性，是一道老題新做. 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有反比例函數中k的幾何意義，梯形、三角形的面積求法，坐標與圖形性質，解方程，相似三角形等. 考查分類討論思想，分類討論時注意不重不漏，考慮問題要全面. 據了解，該題在桂林全市的得分相當低，難度系數只有0.18，在全卷中算是一道小綜合題，具有很強的選拔功能.

試題解法探究

按分類思想，點C的位置有兩種情況：在直線OB的左邊或右邊. 本題的解法主要分為如下兩大類型.

1. 面積變換法

（1）填補法

當點C在直線OB左邊時，如圖2，過點C作CF⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，垂足分別為F，E. 聯立y=x與y=■可求得B（2，2）. 由函數y=■圖像上的點的幾何意義可得△OCF與△OBE的面積均為2，又△OBC的面積為3，所以S■+S■= S■+S■=5. 由條件令Cc，■，則有2+■·■+2·（2-c）=5，解得c=-4（舍去）或c=1，此時c=1.

當點C在直線OB右邊時，如圖3，過點C作CF⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，垂足分別為F，E. 同理可求出c=-1（舍去）或c=4.

綜上可知，滿足條件的點C的橫坐標為1或4.

（2）分割法

如圖4，當點C在直線OB的右邊時，過點B作BD⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為D，H，BD交OC于點E. 易求得B（2，2），S■=S■+S■=■BE·OH. 令Cc，■，由△ODE∽△OHC，得■=■，即■=■，所以DE=■. 所以3=■·2-■·c，解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當點C在直線OB的左邊時，c=1. 綜上可知，滿足條件的點C的橫坐標為1或4.

（3）等積法

容易求得B（2，2）. 當點C在直線OB的右邊時，過點B作BD⊥x軸，CH⊥x軸，垂足分別為D，H，BD交OC于點E，如圖5. 因為S■+S■=S■+S■，又S■=S■=2，所以S■=S■. 由條件設Cc，■，則3=■·■+2·（c-2），解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當點C在直線OB的左邊時，可求得c=1. 綜上可知，滿足條件的點C的橫坐標為1或4.

（4）構造三角形法

當點C在直線OB的右邊時，如圖6，過點C作CD⊥x軸，與x軸交于點D，與直線OB交于點H，則S■=S■-S■. 容易求得B（2，2），令Cc，■，則H（c，c），HC=c-■. 所以3=■·c-■c-■·c-■（c-2）=c-■，解得c=4或c=-1（舍去）. 同理，當點C在直線OB的左邊時，可求得c=1. 綜上可知，滿足條件的點C的橫坐標為1或4.

2. 函數解析法

當點C在直線OB的右邊時，如圖7. 過點C作直線CD∥OB交x軸于點D，過點B作BE⊥x軸，垂足為E，過點D作DH⊥OB，垂足為H，過點C作CN⊥OB，垂足為N. 因為B是直線OB與雙曲線的交點，所以B（2，2）. 所以OB=2■. 由S■=■OB·CN得3=■×2■×CN，所以CN=■. 所以DH=■. 在Rt△DOH中，因為∠DOH=45°，所以OH=DH=■，OD=3. 所以點D的坐標為（3，0）. 因為CD∥OB，所以可設直線CD的解析式為y=x+b，將（3，0）代入后可解得b=-3，所以直線CD的解析式為y=x-3. 聯立y=■，y=x-3， 可解得x=4或x=-1（舍去）. 所以此時滿足條件的點C的橫坐標為4.

當點C在直線OB的左邊時，如圖8，過點C作直線CD∥OB交y軸于點D，分別過點C和點D作直線OB的垂線段. 同上述解法，可求得點D的坐標為（0，3），于是直線CD的解析式為y=x+3. 聯立y=■，y=x+3， 解得x=1或x=-4（舍去）. 所以此時滿足條件的點C的橫坐標為1.

綜合可知，滿足條件的點C的橫坐標為1或4.

教學建議

1. 強化對反比例函數中k的幾何意義的理解，熟悉基本圖形，熟悉基本技能的應用. 例如，如圖9，A是反比例函數y=■（x>0）圖像上一點，AB⊥x軸，垂足為B，AC⊥y軸，垂足為C. 若四邊形OBAC的面積為3，則k的值為______.

2. 函數圖像上的點的表示尤為重要. 在教學中，應引導學生將點的坐標轉化成相關線段的長，再用幾何知識解題.

3. 教學中應滲透試題的變式訓練. 學生能自己命題是復習的最高境界.

4. 教學中應加強學生知識綜合能力的提升，強化數形結合思想方法.

5. 注重一題多解和多題一解相結合，前者注重挖掘題型的功能——多角度、全方位地理解試題，強調思維的多向性;后者注重訓練學生的歸納能力.