幾何條件代數化，思想方法助突破

楊穎

[摘? 要] “幾何特性+函數知識”的綜合題是中考的壓軸類型題之一，該類題常以函數為背景，融合幾何特性來綜合考查學生的知識與能力水平. 實際解題時，需要處理好代數與幾何聯系、問題情形多樣、計算分析復雜等多方面的問題. 文章以一道函數綜合題為例，開展思路突破、解題思考.

[關鍵詞] 二次函數;平行四邊形;動點;代數化;分類討論

二次函數是初中數學的重要內容，中考對其考查的方向趨于綜合. 而綜合是多層面的，如知識層面涉及二次函數的基本性質、幾何圖形、三角函數、方程等，思想層面涉及化歸與轉化、數形結合、分類討論、模型構建等. 下面對2019年連云港市中考數學二次函數壓軸題展開探究.

考題呈現

考題？搖 （2019年連云港市中考數學卷第26題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線L1：y=x2+bx+c經過點C（0，-3），與拋物線L2：y=-■x2-■x+2的一個交點為A，且點A的橫坐標為2，P，Q分別是拋物線L1和拋物線L2上的動點.

（1）求拋物線L1對應的函數表達式;

（2）若以A，C，P，Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點P的坐標;

（3）設點R為拋物線L1上另一個動點，且CA平分∠PCR，若OQ∥PR，求出點Q的坐標.

思路突破

上述二次函數綜合題分為三小問，每一問獨立存在又聯系緊密，下面對其展開思路突破.

（1）待定系數法是求解拋物線解析式的常規方法，突破的關鍵是確定曲線上點的坐標，且未知系數的個數與所需點的坐標個數一致. 點A和點C均在拋物線L1上，其中點C的坐標已知，而點A為拋物線L1與L2的交點，因此點A的坐標可借助拋物線L2的解析式加以確定.

因為點A的橫坐標為2，且點A在拋物線L2的圖像上，所以對于y=-■x2-■x+2，令x=2，可求得y=-3. 所以點A的坐標為（2，-3）. 將A（2，-3）和C（0，-3）代入y=x2+bx+c，可得-3=22+2b+c，-3=c， 解得b=-2，c=-3， 所以拋物線L1的函數表達式為y=x2-2x-3.

深入分析：求解時若關注到點A和點C的縱坐標，則會發現yA=yC，于是根據拋物線的對稱性可得-■=■，從而直接確定系數b=-2. 這一解法能簡化計算，提高解題效率.

（2）該問以四點為頂點構建了平行四邊形，要分析四邊形為平行四邊形時點P的坐標，可將其視為是與動點相結合的函數幾何問題. 求解時，顯然需要結合平行四邊形的判定定理，并結合直角坐標系的特性來量化條件.

問題中點A和點C的坐標確定，但未確定A，C兩點在平行四邊形中的關系（兩頂點是否相鄰），顯然需要分類討論. 總體上來說有以下兩種情形：①點A和點C為相鄰關系，則AC為平行四邊形的一條邊;②點A和點C為相對關系，則AC為平行四邊形的一條對角線. 具體構建時可結合以下兩條判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”. 下面為具體的突破過程.

情形1：當AC為平行四邊形的一條邊時，PQ為平行四邊形的一條邊，則AC∥PQ且AC=PQ. 點P和點Q的位置關系還應細分為點Q位于點P左側和點Q位于點P右側兩種，現由條件設點P的坐標為（x，x2-2x-3）.

①當點Q位于點P左側時，根據AC=PQ=2，yQ=yP可推知點Q的坐標為（x-2，x2-2x-3）. 又點Q在拋物線L2上，故x2-2x-3=-■（x-2）2-■（x-2）+2，解得x1=3，x2=-■，均滿足條件. 所以此時滿足條件的點P的坐標為（3，0），-■，■.

②當點Q位于點P右側時，根據AC=PQ=2，yQ=yP可推知點Q的坐標為（x+2，x2-2x-3）. 又點Q在拋物線L2上，故x2-2x-3=-■（x+2）2-■（x+2）+2，解得x1=0，x2=-1，而當x=0時，點P與點C重合，不符合題意，舍去. 所以此時滿足條件的點P的坐標為（-1，0）.

情形2：當AC為平行四邊形的一條對角線時，PQ為平行四邊形的另一條對角線. 由判定定理可知，只需要確保AC與PQ互相平分即可. 于是只要確保線段AC和線段PQ的中點為同一點即可. 由點A和點C的坐標可知其中點為（1，-3），故線段PQ的中點為（1，-3）. 由條件設點P的坐標為（x，x2-2x-3），則點Q的坐標為（2-x，-x2+2x-3）. 因為點Q在拋物線L2上，故-x2+2x-3=-■（2-x）2-■（2-x）+2，解得x1=0（舍去），x2=-3. 所以此時滿足條件的點P的坐標為（-3，12）.

綜上可知，以A，C，P，Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形時，點P的坐標為（3，0），-■，■，（-1，0）或（-3，12）.

深入分析：利用方程來求滿足條件的點的坐標，其背后隱含的是幾何與函數之間的關聯. 點的坐標運算可反映幾何特性. 另外，上述問題中的直線AC與x軸平行，故當線段AC為平行四邊形的一條邊時，可以直接由點P的坐標推導出點Q的坐標;若直線AC為一般的直線，則可以引入斜率，利用“平行線的斜率相等”來推導點Q的縱坐標.

（3）該問分析CA平分∠PCR、OQ∥PR時點Q的坐標，其中融合了幾何角平分線和兩線平行，需要結合相應的性質來構建方程. 具體求解時可采用數形結合的方法降低思維難度. 對于點P的位置，需要討論其位于y軸左側和y軸右側兩種情形. 顯然，當點P位于y軸左側時，拋物線L1上不存在點R使得CA平分∠PCR，故只需要討論點P位于y軸右側的情形. 突破思路為，結合條件“CA平分∠PCR”建立點R與點P的坐標關聯，然后結合條件“OQ∥PR”構建點P與點Q的坐標關聯，從而建立完整的坐標聯系，通過解方程來求解.

當點P位于y軸右側時，設點P位于直線CA上方，則點R位于直線CA下方. 如圖2，分別過點P和點R作y軸的垂線，垂足分別為S和T，然后過點P作TR的垂線，垂足為H. 顯然∠PSC=∠RTC=90°，又CA為∠PCR的平分線，所以∠PCS=∠RCT. 所以△PSC∽△RTC. 所以■=■. 由條件設點P的坐標為（x1，x■-2x1-3），點R的坐標為（x2，x■-2x2-3），則■=■，整理后得x1+x2=4. 過點Q作QK⊥x軸，垂足為K. 因為OQ∥PR，所以∠QOK=∠PRH. 所以tan∠QOK=tan∠PRH. 在Rt△PRH中，tan∠PRH=■=x1+x2-2=2. 由條件設點Q的坐標為m，-■m2-■m+2，則■=2，解得m=■. 均滿足條件，所以此時滿足條件的點Q的坐標為■，■-7或■ ，-■-7.

當點P位于直線CA下方時，點R位于直線CA上方. 同理可求出滿足條件的點Q的坐標為■，■-7或■，-■-7.

綜上可知，滿足條件的點Q的坐標為■，■-7或■，-■-7.

深入分析：從問題來看，此小問屬于動點問題，核心條件為兩大幾何條件——角平分線和兩線平行，與涉及幾何條件的函數坐標問題的轉化思路是一致的，即結合幾何特性來建立代數方程或建立關于問題的函數關系. 上述呈現的是幾何條件向代數轉化的典型代表，即角平分線→相似性質→代數比例式，平行線→對應角的三角函數值相等→代數式.

解后思考

1. 關注典型問題的突破思路

上述是一道與幾何相關的二次函數考題，其中涉及平行四邊形的判定、角平分線、兩線平行等幾何內容，屬于中考的代表性問題. 剖析問題特點、總結突破思路是提升解題能力的關鍵. 對于該類問題，需要掌握問題的基本轉化思路，一般利用幾何條件中的代數內容，將問題轉化為研究函數性質或破解代數方程，而完成代數求解分析后還需要結合圖像來進一步確定所得解是否滿足條件，即“由形轉數，用形析數”，這是問題突破的總體思路，也是確保高效求解的有效途徑.

2. 歸納幾何特性向代數轉化的技巧

幾何特性向代數轉化是上述考題突破的基本思路，因此在具體學習時需注意歸納兩者的轉化技巧. 例如上述利用相似性質構建代數比例式，利用等角的三角函數值相等來構建方程. 另外，常用的轉化技巧還包括勾股定理、等面積方法等. 而在教學該內容時，需引導學生關注知識定理的隱含內容，把握知識間的關聯點，以此為基礎進行綜合性問題的突破方法探討. 另外，還可以將代數問題轉化為幾何問題，利用直觀的圖像及幾何特性來簡化代數問題.

3. 剖析問題突破的思想方法

上述考題的突破過程利用了數形結合、分類討論、化歸與轉化及構建模型的思想方法，正是在眾多思想方法的配合下達到了降低思維難度、簡化解題思路的效果. 因此，開展考題探究時需要關注解題的思想方法，剖析思想方法解題的使用技巧，如利用數形結合思想解題時，綜合使用以數助形、以形輔數、數形對照等技巧;利用分類討論思想解題時，結合參數取值、幾何位置等內容來設定討論標準. 在思想方法教學中，教師應引導學生分步剖析突破過程，思考其中的數學思想及內涵，圍繞數學思想開展思維拓展，提升學生的思維水平.