重溫函數綜合經典，探究考題思路解法

江瑜

[摘? 要] 二次函數與幾何相結合的綜合題是初中數學的經典問題，其解法思路和突破方法較為特殊，對學生的知識儲備和分析思維有較高的要求. 文章以一道二次函數綜合題為例，開展思路點撥、解法探究，并適度拓展，提出相應的學習建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 二次函數;綜合;周長;面積;數形結合

考題再現

試題？搖 （2019年四川涼山中考數學）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，試回答下列問題.

（1）試求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最小？若存在，請求出點P的坐標及△PAC的最小周長;若不存在，請說明理由.

（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在一點M（不與點C重合），使得S△PAM=S△PAC？若存在，請求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.

思路點撥

本題屬于二次函數綜合問題，所涉及的三個小問具有一定的難度和梯度，能夠全面考查拋物線的基本特征與知識關聯，下面結合問題特點進行思路點撥.

（1）該問求拋物線的解析式，有兩種思路：一是按部就班地根據拋物線上三點的坐標構建關于拋物線系數的三元一次方程組;二是根據A，B，C三點的位置特性——點A和點B為拋物線與x軸的兩個交點，將拋物線的解析式設為特殊形式y=a（x-xA）（x-xB），于是只需要求出a的值即可.

（2）該問為最小周長存在性問題，根據周長公式可知，C△PAC=AC+PA+PC，由于點P位于拋物線的對稱軸上，即AB的垂直平分線上，根據該性質可知PA=PB，于是C△PAC=AC+PB+PC. 又AC的長固定，于是根據“兩點之間，線段最短”原理可知，當C，P，B三點共線時，C△PAC=AC+BC，此時△PAC的周長取得最小值，結合“直線相交求交點”即可確定點P的坐標.

（3）該問需要利用（2）問的條件，即點P的坐標確定. 對于△PAM和△PAC，可將兩個三角形均視為是以PA為底的三角形，顯然當點M和點C到PA的距離相等時即可確保兩者面積相等. 分析三角形特點可知點M的位置有兩種情形：①點M位于點P的上方;②點M位于點P的下方. 具體分析時需要結合相應的圖像，采用數形結合的方式挖掘隱含條件，簡化求解過程.

問題詳解

（1）因為A（-1，0），B（3，0）是拋物線與x軸的兩個交點，所以設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）. 將C（0，3）代入其中，則有-3a=3，解得a=-1. 整理后可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點P，使得△PAC的周長最小，具體如下：

連接PB和PC，如圖2. 因為點A和點B關于拋物線的對稱軸x=1對稱，所以PA=PB. 所以△PAC的周長C△PAC=AC+PA+PC= AC+PB+PC，其中AC為定值，PB和PC的長與點P的位置相關. 分析可知，當C，P，B三點在同一條直線上時，PB+PC=BC，此時△PAC的周長最小，且點P為直線BC與直線x=1的交點. 容易求得直線BC的解析式為y=-x+3，于是可求得點P的坐標為（1，2）. 因為AC=■=■，BC=■=3■，所以△PAC的周長的最小值為■+3■. 綜上所述，當點P的坐標為（1，2）時，△PAC的周長最小，且最小值為■+3■.

（3）存在滿足條件的點M，使得S△PAM =S△PAC，具體如下. 若S△PAM=S△PAC，將△PAM和△PAC均視為是以PA為底的三角形，則點C和點M到直線PA的距離相等. 此時點M的位置有以下兩種情形：

①當點M位于點P的上方時，如圖3. 由于點M和點C到PA的距離相等，所以MC∥PA. 又直線PA的解析式為y=x+1，所以可設直線MC的解析式為y=x+b，代入點C的坐標后可求得直線MC的解析式為y=x+3. 聯立直線CM與拋物線的解析式，可求得點M的坐標為（1，4）.

②當點M位于點P的下方時，如圖4. 設點M所在的直線為l，結合情形①可知，需要確保直線l、直線PA與直線y=x+3互相平行，且直線l到直線PA的距離與直線y=x+3到直線PA的距離相等. 此時可以從平移的視角來分析：直線l是由直線y=x+3經過兩次平移得到的，即直線y=x+3向下平移2個單位長度得到直線PA，在此基礎上繼續向下平移2個單位長度得到直線l，故直線l的解析式為y=x-1. 聯立直線l與拋物線的解析式，結合點M位于點P下方和點P在x軸上方，可確定此時點M的坐標為■，■.

綜上可知，當點M的坐標為（1，4）或■，■時，有S△PAM= S△PAC .

問題點睛

上述考題以求解拋物線解析式、分析周長和面積存在性為依托，考查學生對待定系數法、軸對稱最短路徑、平行線間的距離處處相等和利用方程求交點等知識內容的掌握情況. 其中核心之問是第（3）問的三角形面積相等存在性問題. 解析時，首先從等底視角將問題轉化為分析點到直線的距離，然后借助平行線之間的性質來對不同的情形加以討論. 總體來看，采用數形結合方法分析問題，利用圖形分析簡化問題，運用方程求解確定坐標.

面積存在性問題是中學數學的重難點問題之一，總體而言，問題突破采用的是“假設—驗證”的思路，首先假設面積情形存在，然后根據問題條件加以驗證. 而在實際分析時有以下兩種解題策略：一，幾何法，即確定研究目標，分析圖像特點，結合幾何性質直接論證面積相等情形是否成立;二，代數法，根據面積公式構建代數方程，通過研究方程的解來確定假設是否成立.

而在實際解析時，可以參照上述幾何與代數相結合的方法，利用直觀的圖像挖掘隱含信息，采用代數方程來確定最終答案.

拓展精練

面積存在性問題的考查形式眾多，除了上述等面積的形式外，還有面積比值形式，該類型的突破思路與其相似——首先結合面積公式加以轉化，然后通過代數分析求解滿足條件的情形.

拓展？搖 （2019年遼寧營口中考數學）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC，連接OD.

（1）用含a的代數式表示點C的坐標;

（2）如圖5，若點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式;

（3）設△OBD的面積為S1，△OAC的面積為S2，若■=■，求a的值.

解析？搖 前兩問較為基礎，此處主要分析第（3）問的面積比值問題. 如圖6，當點C位于x軸上方時，連接OD與BC交于點H，此時OD⊥BC. 分別過點H和點D作x軸的垂線，設垂足分別為N和M. 設OC=m=-3a，則S1=S△OBD=■·OB·DM=■·DM，S2=S△OAC=■·OA·OC=■. 所以■=■DM·■=■. 所以DM=■m，HN=■=■OC. 進而可得BN=■，ON=■. 分析可知∠BHN=∠HON，所以tan∠BHN=tan∠HON. 所以HN2=ON×BN=■=■2，解得m=6■. 所以a=-2■. 當點C位于x軸下方時，同理可得a=2■. 綜上可知，若■=■，則a=±2■.

解后思考

上述對一道二次函數綜合題的解法進行了深入探討，呈現了問題的解析思路和突破方法，其解法具有一定的參考價值，下面提出幾點學習建議.

1. 深刻認識問題本質

以二次函數為背景的面積存在性問題是中考的經典問題，該類問題的特點有兩個：一是二次函數與幾何進行融合，二是需要對存在性情形加以討論. 從問題的解析過程來看，實則就是分析圖形的面積關系，因此利用面積公式進行問題轉化是突破的關鍵，本質上依然是函數、方程問題，即根據函數解析式構建方程，聯立方程求解交點坐標. 實際學習時，需要把握問題特點，深刻認識問題本質，以關聯知識為突破口構建解題思路.

2. 全面掌握解題策略

上述呈現了面積存在性問題的解題策略，即以數形結合為指導，利用直觀的圖像提取拋物線的特征，挖掘問題條件，確定分類標準，構建解析方程，利用代數分析來確定交點坐標，論證猜想. 數形結合的分析方式可以有效降低思維難度，構建簡潔的解題思路，而在具體解析時需要掌握分類作圖的方法. 拋物線的對稱性很容易造成問題多解，此時就需要結合點的位置特性對面積圖像加以剖析，以確定分類圖像.

3. 充分領會解題思想

從思想層面來看，上述面積存在性分析過程可以分為化歸轉化、分類討論、模型構造和數形結合等多個階段，其中涉及對應的數學思想，正是在數學思想的指導下完成了問題轉化及簡答過程. 數學思想對于求解函數綜合性問題來說有著極大的幫助，因此在實際教學中教師需要引導學生從思想高度來理解解析過程，明晰存在性問題的思想考向，強化學生的數學思想，提升學生的思維水平. 另外，數學思想提升是一個長期的過程，教學中教師要引導學生不斷練習、深入反思、逐步內化，從而形成自身的解題技能.