數(shù)學歸納法的思想精髓

[摘 要] 科學原理和科學方法必然蘊含著與之相適應(yīng)的科學思想。通過“歸納思維方法”與“數(shù)學歸納法”的分析解讀了數(shù)學歸納法的思想精髓——“無限遞推思想”，揭示了無限遞推思想模式的教學演繹規(guī)律，用生活中的案例和生活化的語言加以直觀描述，用圖式化的語言加以提煉，再用數(shù)學化的符號語言準確表達，促使學生對這一數(shù)學思想模式的直觀感受、理解、感悟、過程參與、事后升華，形成無限遞推的數(shù)學思想模式，直到掌握并應(yīng)用到微積分學的教學實踐中。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學歸納;演繹規(guī)律;無限遞推;數(shù)學思想模式

[作者簡介] 王智勇（1963—），男，四川內(nèi)江人，本科，內(nèi)江職業(yè)技術(shù)學院素質(zhì)教育部講師，經(jīng)濟師，主要從事高等數(shù)學教育、數(shù)學應(yīng)用與企? ? ? 業(yè)管理和企業(yè)創(chuàng)新研究。

[中圖分類號] G712 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）34-0124-04 ? ?[收稿日期] 2020-03-10

著名數(shù)學家拉普拉斯提出：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”又在《概率的分析理論》中論述到“分析與自然哲學中最重大發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是所謂的‘歸納方法，牛頓萬有引力原理，就是歸納的成果。”[1]著名數(shù)學家歐拉認為：“觀察所得的知識，通常用歸納所得的，然而我們已經(jīng)看到過單純的歸納曾導致過錯誤。因此，我們不要輕易地把觀察所得的和僅以歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真。誠然，我們應(yīng)該把這種發(fā)現(xiàn)當成一種機會，去更精確地研究所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，以便證明它或推翻它;在這兩種情況中，我們都可以學到一些有用的東西。”[2]著名數(shù)學家拉普拉斯論述了“歸納”在“最重大發(fā)現(xiàn)”的重要作用，而著名數(shù)學家歐拉把“歸納”的“發(fā)現(xiàn)當成一種機會”，但更重視“歸納”得出的知識與結(jié)論的驗證，用“更精確地研究”進行“證明它或推翻它”。驗證和證明“歸納”結(jié)論的有效方法之一——“數(shù)學歸納法”，蘊含著“無限遞推”的數(shù)學思想。本文闡述了“歸納”與“數(shù)學歸納法”后，從分析“最小自然數(shù)原理”的精髓、數(shù)學歸納法的精髓及其等價性的視角，對數(shù)學歸納法“無限遞推思想”進行數(shù)學模式教學演繹，用生活中的案例和生活化的語言加以直觀描述，用圖式化的語言加以提煉，再用數(shù)學化的符號語言準確表達，深刻揭示“數(shù)學歸納法”中蘊含著的“無限遞推”的數(shù)學思想模式，并將“無限遞推思想模式”應(yīng)用到微積分學的教學實踐中。

一、歸納思維方法與數(shù)學歸納法

（一）歸納思維的方法

在實踐中，人們總是跟一個個具體的事物打交道，首先獲得這些個別事物的知識，然后在這些特殊性知識的基礎(chǔ)上，概括出同類事物的普遍性知識。例如，科學研究從宏觀世界的物資入手，探尋物資的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，進入微觀世界，將宏觀物資細分為分子和原子，微觀世界的原子還可再分為電子、質(zhì)子和中子，以至更小的微粒夸克等，人們由此得出“宏觀物質(zhì)不僅可分，而且是可以無限細分”的一般結(jié)論。對物質(zhì)無限細分的認識過程，包含了“由特殊→一般結(jié)論”的歸納思維方法。是指從許多個別的事物中概括出一般性概念或原則或結(jié)論或規(guī)律的思維方法。命題P（1）、P（2）、P（3）、P（4）……為真，代表的是“局部”或“個體”為真。命題P（n）為真，就是代表了“整體”“一般”為真。歸納法可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法和不完全歸納法分析比較如下：

（二）數(shù)學歸納法

（二）數(shù)學歸納法的精髓為“無限遞推思想”

數(shù)學歸納法中要求用演繹推理的方法，嚴謹?shù)刈C明命題成立。即：

（1）命題P（1）成立。

（2）假設(shè)命題P（k）成立。

（3）演繹推理證明：假設(shè)命題P（k）成立時，命題P（k+1）成立。

結(jié)論：命題P（n）（n∈N）成立。

由此可以得出，在數(shù)學歸納法中的核心就是“無限遞推思想”：

命題P（1）成立若命題P（n=1）成立→命題P（n+1）成立→命題P（2）成立

命題P（2）成立若命題P（n=2）成立→命題P（n+1）成立→命題P（3）成立

命題P（3）成立若命題P（n=3）成立→命題P（n+1）成立→命題P（4）成立

命題P（3）成立若命題P（n=k）成立→命題P（n+1）成立→命題P（k+1）成立

就這樣無限遞推，假設(shè)命題P（1）、P（2）、P（3）、P（4）…P（k+1）都成立了。其中歸納命題“若命題P（k）成立→命題P（k+1）成立”的“無限遞推思想”起到了關(guān)鍵作用。

（三）“最小自然數(shù)原理”與數(shù)學歸納法等價性解讀

1.用“數(shù)學歸納原理”證明“最小自然數(shù)原理”。

證明：當自然數(shù)集中只有一個自然數(shù)元素時，這個元素就是最小自然數(shù)，命題成立。

3.“最小自然數(shù)原理”與“數(shù)學歸納原理”的等價性表現(xiàn)在以下幾點。

（1）由“最小自然數(shù)原理”可以證明“數(shù)學歸納原理（方法）”，反之，又由“數(shù)學歸納原理（方法）”也可以證明“最小自然數(shù)原理”。

（2）“最小自然數(shù)原理”與“數(shù)學歸納原理（方法）”共同蘊含了“無限遞推思想”。

三、數(shù)學歸納法“無限遞推”的數(shù)學思想模式解析及其教學模式演繹

（一）數(shù)學歸納法的“無限遞推思想模式”解析及其演繹舉例

數(shù)學思想模式表達：指數(shù)學研究和數(shù)學教學中以圖形或程序式的方式闡釋對象事物的一種思想方法，這種方法具有雙重性質(zhì)。

1.思想模式表達內(nèi)容與現(xiàn)實事物具有對應(yīng)關(guān)系，但又不是只對現(xiàn)實事物單純的描述，而是針對事物的本質(zhì)或規(guī)律或規(guī)則或思想屬性，進行某種程度的概括和抽象化，闡釋和表達了事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律特征。

2.數(shù)學思想模式與一定的數(shù)學理論和數(shù)學方法相對應(yīng)，又不完全是數(shù)學理論和單純的數(shù)學方法，而是對理論的一種解釋或素材描述。數(shù)學思想模式雖然具有不完全性，但它是人們理解事物、學習理論、探討理論的一種有效的思想方法。

3.數(shù)學思想模式的本質(zhì)蘊含著數(shù)學思想或思維定式，如數(shù)學歸納法的數(shù)學思想模式中蘊含著“無限遞推”的數(shù)學思想。蘊含的數(shù)學思想或思維定式可以將數(shù)學思想模式演繹或應(yīng)用到現(xiàn)實世界的多種領(lǐng)域內(nèi)。數(shù)學歸納法是一種證明方法，蘊含著“無限遞推”的數(shù)學思想，形成獨特的解題格式，與一般證明的思想方法相比更呈現(xiàn)出模式化的特點：

參考文獻

[1][美]G.波利亞.數(shù)學與猜想（第1卷）[M].李心燦，等，譯.北京：科學出版社，2001：1.

[2]張禾瑞，郝炳新.高度代數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1980.