2類特殊三圈圖的路能量

李文靜 邵燕靈

摘 要：針對(duì)三圈圖種類較多且路矩陣復(fù)雜度較高的問(wèn)題，運(yùn)用矩陣分析方法、根的存在性定理及不等式的放縮，研究了2類三圈圖有無(wú)懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。首先，分別給出2類三圈圖有無(wú)懸掛點(diǎn)時(shí)的4種路矩陣，利用矩陣分析方法對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣分塊得出對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式，由根的存在性定理及韋達(dá)定理判定出正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)并估計(jì)出取值范圍;其次，通過(guò)不等式的放縮求出2類三圈圖有無(wú)懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。結(jié)果表明，2類三圈圖在有無(wú)懸掛點(diǎn)時(shí)路矩陣負(fù)特征值的個(gè)數(shù)及取值范圍是不一樣的，對(duì)應(yīng)的路能量也是不一樣的。所得結(jié)果對(duì)后續(xù)三圈圖的路能量極值問(wèn)題研究具有一定的借鑒價(jià)值，也有利于推測(cè)相關(guān)化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：圖論;實(shí)對(duì)稱矩陣;特征值;三圈圖;路矩陣;路能量

中圖分類號(hào)：O157.5?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2020）04-0334-07

doi：10.7535/hbkd.2020yx04006

圖能量的研究來(lái)源于對(duì)化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的研究。20世紀(jì)70年代，著名數(shù)學(xué)化學(xué)家GUTMAN[1]最先提出了圖能量的概念，將其定義為圖的鄰接矩陣特征值的絕對(duì)值之和。顯然，研究圖能量的關(guān)鍵就是研究圖的鄰接矩陣特征值，即與圖譜有關(guān)，在文獻(xiàn)[2—3]中可查閱關(guān)于圖譜的性質(zhì)。研究圖能量的方法一般依據(jù)的是矩陣?yán)碚摚P(guān)于矩陣的一些研究方法及結(jié)論可參考文獻(xiàn)[4—5]。隨著圖能量的提出，許多學(xué)者對(duì)各種簡(jiǎn)單圖類的能量的界展開了研究，并去刻畫相對(duì)應(yīng)的極值圖，陸續(xù)提出了拉普拉斯能量、無(wú)符號(hào)拉普拉斯能量、距離能量及Randic'能量等各種能量的定義，關(guān)于這些能量的研究可參考文獻(xiàn)[6—12]。

PATEKAR等[13]提出了圖的路矩陣定義，研究了完全圖、樹、單圈圖、完全二部圖及正則圖等簡(jiǎn)單圖類的路矩陣特征值及相關(guān)性質(zhì)。SHIKARE等[14]探究了一些簡(jiǎn)單圖路矩陣的譜半徑及路能量，提出了關(guān)于樹、單圈圖和雙圈圖的路能量的極值猜想。AKBARI等[15]證明了上述猜想，得到了n階連通圖的路能量的下界是2（n-1），證明了其極值圖是樹，還確定了n階單圈圖的路能量是關(guān)于圈長(zhǎng)k的增函數(shù)，因此分別在k=n和k=3時(shí)得到最大值和最小值;文獻(xiàn)[16]研究了n階雙圈圖的路能量，得到當(dāng)2個(gè)圈恰有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)取得最大路能量，當(dāng)2個(gè)圈恰有1條公共路時(shí)取得最小路能量。更多關(guān)于路能量與路拉普拉斯矩陣和對(duì)應(yīng)的路拉普拉斯能量的研究參考文獻(xiàn)[17—19]。

3?結(jié)?語(yǔ)

通過(guò)對(duì)2類特殊三圈圖的路矩陣進(jìn)行分塊，采用矩陣分析方法，得出了對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式，根據(jù)根的存在性定理估計(jì)出特征值的取值范圍，分別證明得到了2類三圈圖有無(wú)懸掛點(diǎn)時(shí)的路能量。

本研究?jī)H研究了2類三圈圖的路矩陣和對(duì)應(yīng)的路能量，其余種類的三圈圖的路矩陣更為復(fù)雜，分塊塊數(shù)更多，應(yīng)用目前方法研究比較困難。今后將會(huì)采用新方法研究其余種類三圈圖的路矩陣和路能量，以期得到三圈圖路能量的極值圖。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]?GUTMAN I. The energy of a graph[J]. Ber Math-Statist Sket Forsh Graz， 1978， 22（103）： 2179-2187.

[2]?BROUWER A E， HAEMERS W H. Spectra of Graphs[M]. Springer：New York，2012.

[3]?CVETKOVI D， ROWLINSON P， SIMI[KG-*3]C[DD（-1*6]' S. An Introduction to the Theory of Graph Spectra[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 2009.

[4]?HORN R A， JOHNSON C R. Matrix Analysis[M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1985.

[5]?VARGAR S. Matrix Iterative Analysis[M]. Berlin：Springer， 2000.

[6]?GUTMAN I. Bounds for all graph energies[J]. Chemical Physics Letters， 2012， 528（1）： 72-74.

[7]?GUTMAN I， ZHOU B. Laplacian energy of a graph[J]. Linear Algebra and its Applications， 2006， 414（1）： 29-37.

[8]?GUTMAN I， KIANI D， MIRZAKHAH M. On incidence energy of graphs[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry， 2009， 62（3）： 573-580.

[9]?ABREUA N， CARDOSO D M， GUTMAN I， et al. Bounds for the signless Laplacian energy[J]. Linear Algebra and Its Applications， 2011， 435（10）： 2365-2374.

[10]BOZKRTB， GNGR A D， GUTMAN I， et al. Randi[KG-*3]c[DD（-1]' matrix and Randi[KG-*3]c[DD（-1]' energy[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry， 2010， 64（1）： 239-250.

[11]KOOLEN J H， MOULTON V. Maximal energy graphs[J]. Advances in Applied Mathematics， 2001， 26（1）： 47-52.

[12]DAS K C， MOJALLAI S A， TREVISAN V. Distribution of Laplacian eigenvalues of graphs[J]. Linear Algebra and Its Applications， 2016， 508： 48-61.

[13]PATEKAR S C， SHIKARE M M. On the path matrices of graphs and their properties[J]. Advance and Applications in Discrete Mathematics， 2016， 17（2）： 169-184.

[14]SHIKARE M M， MALAVADKAR P P， PATEKAR S C， et al. On path eigenvalues and path energy of graphs[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry， 2018， 79（2）： 387-398.

[15]AKBARI S， GHODRATI A H， GUTMAN I， et al. On path energy of graphs[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry， 2019， 81（2）： 465-470.

[16]AKBARI S， GHODRATI A H， HOSSEINZADEH M A， et al. On the path energy of bicyclic graphs[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry， 2019， 81（2）： 471-484.

[17]ILI[KG-*3]C[DD（-1*6]' A，BAI[KG-*3]C[DD（-1*6]' M. Path matrix and path energy of graphs[J]. Applied Mathematics and Computation， 2019， 355： 537-541.

[18]PATEKAR S C， SHIKARE M M. On path Laplacian eigenvalues and path Laplacian energy of graphs[J]. Journal of New Theory， 2018（20）： 93-101.

[19]呂哲， 高玉斌. 四葉圖距離矩陣2個(gè)最大特征值和的變化[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2020， 41（2）：148-157.

LYU Zhe， GAO Yubin. Variation of sum of two largest eigenvalues of the distance matrices of four-leaf graph[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology， 2020， 41（2）：148-157.

[20]WEST D B. Introduction to Graph Theory[M]. New York：Prentice-Hall， 2001.

[21]SCHOTT J R. Matrix Analysis for Atatistics[M]. New York：Wiley， 1997.