數學思想 解題鑰匙

許華英

我們經常遇到二次根式的計算、化簡、求值、比較大小、最值等問題.要解答它們，僅僅依靠二次根式的性質很難進行，必須注意結合一定的數學思想方法.

一、方程思想

方程思想就是通過列方程（組）或不等式（組）來解決問題的一種解題策略.

例1 已知[y=x2-25x-4+x2-24-5x+2] ，則[x2+y2] = .

解析：從已知條件出發，連續兩次運用算術平方根的非負性有[x2-25x-4 ≥0]，[x2-24-5x ≥0]，

可得[x2-2=0]，所以[x2] = 2，[y=2]. 所以[x2+y2] = 2 + 4 = 6. 故填6.

能力提升1：[x+y-5+2x+y-8=0]，則[xy] = .

提示：[x+y-5] = 0，[2x+y-8] = 0.

二、數形結合思想

數與形是一個問題的兩個方面，“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，數形結合既有助于找到解題思路，也常使解答簡捷. 數形結合的關鍵在于能將代數問題蘊含的幾何圖形、幾何知識抽取、轉化出來.

例2 [x2-2x+1+x2-4x+4=1]，則[x]的值為 .

解析：先將原題化簡為[x-1+x-2 =1]，依據絕對值的幾何意義可知[x-1+x-2 =1]的意義為數軸上表示數[x]的點到表示1的點和表示2的點的距離之和為1，說明[x]在1和2之間（含1和2），如圖1，所以[1≤x≤2].

故填1 ≤ x ≤ 2.

變式：[x2-2x+1-x2-4x+4=1]，則[x]的取值為 .

提示：表示數x的點在表示2的點的右側（含表示2的點）.

能力提升2：[x>0]，[y>0]，[x+y=4]，則[x2+9+y2+25]的最小值為 .

提示：如圖2，設[AE=x]，[BE=y]，[AB=4]，[AC=3]，[BD=5]，結合勾股定理可知[x2+9+y2+25]表示[CE+ED]的長度，由“兩點之間線段最短”可知，作出點D關于AB的對稱點D'，連接CD'，求出CD'長度即可.

三、整體思想

整體思想就是在解決問題的過程中從整體角度思考問題，即將局部放在整體中去觀察，探究問題的解決方法，從而使問題得以簡捷巧妙的解決.

例3 已知[x+5-x-2=1]，則[x+5+x-2]的值為 .

解析：把題目中的已知和未知根式看作整體，

因為[（x+5-x-2）（x+5+x-2）=7]，[x+5-x-2] = 1，所以[x+5+x-2] = 7.

故填7.

能力提升3：已知[a2-3a+1=0]，則[a2a4+1]的值為 .

提示：由[a2+1=3a]可知[a+1a=3（a≠0）]，而[a2a4+1 = 1a2+1a2] = [1a+1a2-2]，然后把[a+1a]看作整體計算即可.

四、轉化思想

解題時，碰到陌生的問題常把它設法轉化成熟悉的問題，碰到復雜的問題常設法把它轉化成簡單的問題.

例4 （1）（配方法）計算：[14+65-14-65] = .

解析：把14看作9 + 5，將根式里面的式子轉化為熟悉的完全平方公式.

14 + [65 ]= [9+65+5=32+65+（5）2=] （[3+5]）2，同理可得14 - [65] =? （[3-5]）2.

則原式 = [3+5-3+5] = [25] . 故[25].

（2）（平方法）已知[a=7+5]，[b=22+2]，[c=3+3]，則a，b，c的大小關系為 .

解析：直接比較三個數有困難，通過平方法就容易得多，可得答案為c

（3）（換元法）計算：[20202-2019×202120212-4042×2019+20192] = .

解析：式子看起來煩瑣，通過換元，令[2020=a]代入即可算出答案為[12]. 故填[12].

（4）（有理化）滿足[n-n-1 < 1100]的最小正整數[n]的值為 .

解析：采用分子有理化，使得不等式的兩邊轉化為同樣的分式結構：[n-n-1=1n+n-1 < 1100]，所以[n+n-1>100]. 由于[2n >n+n-1 >100]，所以[n >50]，故[n>2500]，所以[n]最小可取2501. 故填2501.

看似簡單的二次根式計算，其中蘊含了相當豐富的數學思想方法，同學們在學習時可以多加練習，注重思維能力的培養及數學思想方法的合理運用.