一元二次方程根與系數關系的巧用

馬瑞

若[x1，x2]分別是一元二次方程[ax2+bx+c=0]（[a≠0]）的兩個根，則[x1+x2=-ba]，[x1x2=ca]，這個命題叫作一元二次方程的根與系數的關系，也叫韋達定理. 該定理的應用非常廣泛，下面就其在代數式求值問題中的應用舉例說明.

例1 若[a≠b]且[a2=3a-1]，[b2=3b-1]，求[a-3+b-3]的值[.]

解：由已知得，[a2-3a+1=0]，[b2-3b+1=0] 且 [a≠b]，

[∴][a]，[b]是方程[x2-3x+1=0]的兩個根，

[∴][a+b=3]，[ab=1]，

[∴][a-3+b-3] [=1a3+1b3] [=a+b3-3aba+bab3][ =18].

點評：將已知條件作恒等變形，巧妙地應用[a，b]是方程的兩個根，然后應用一元二次方程的根與系數的關系就快速求得代數式的值.

例2 已知[p2-2p-5=0]，[5q2+2q-1=0]，其中[p]，[q]為實數，求[p2+1q2]的值[.]

解：顯然[q≠0]，由[5q2+2q-1=0]得 [1q2-2·1q-5=0]，

又∵[p2-2p-5=0]， [∴] [p]，[1q]可看成是[x2-2x-5=0]的兩個根，

當[p≠1q]時，[p+1q=2]，[p·1q=-5]，

[∴p2+1q2=p+1q2-2p·1q][ =4+10=14]，

當[p=1q]時，[p]，[1q]是方程[x2-2x-5=0]的一個根，此時方程兩根為[x1=1+6]，[x2=1-6]，

[∴p2+1q2=2p2=21±62][=14±46]，

[∴p2+1q2]的值為[14]或[14±46].

點評：解題關鍵是利用轉化思想，巧妙地把所求代數式分解成與方程的兩個根有關的形式.

例3 已知a，b，c為實數且[a+b=5]，[c2=ab+b-9]，求[a+b+c]的值.

解：[∵a+b=5]，[c2=ab+b-9]，

[∴b+a+1=6ba+1=c2+9]

則[b]，[a+1]為[t2-6t+c2+9=0]的兩根，

[∵] a，b為實數，[∴] b，[a+1]為實數，

則[t2-6t+c2+9=0]有實根，

[∴][Δ=36-4c2+9=-4c2≥0]，

[∴][c=0]，

則[a+b+c=5+0=5].

點評：應用一元二次方程的根與系數的關系時，一定要注意將已知條件轉化成兩數之積和兩數之和的形式，從而達到構造一元二次方程的目的.

綜上所述，一元二次方程的根與系數的關系在代數式求值問題中應用比較廣泛，其嚴密性、靈活性要求甚高，同學們在學習過程中應嚴格把握、靈活應用.

（作者單位：甘肅省定西市隴西縣柯寨初級中學）