利用二次函數(shù) 求解幾何最值

陳玉紅

幾何圖形與二次函數(shù)的綜合問題難度一般較大，解決此類問題，需要我們能夠洞察圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分挖掘幾何圖形的性質(zhì)，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解. 下面舉例介紹.

一、利用相似三角形構(gòu)造二次函數(shù)

例1（2019·四川·涼山）如圖1，正方形ABCD中，AB = 12， AE = [14]AB，點P在BC上運動 （不與B，C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD于點Q，則CQ的最大值為 .

解析：在正方形ABCD中，∵AB = 12，∴AE = [14]AB = 3，∴BE = 9，設(shè)BP = x，則CP = 12 - x. ∵PQ⊥EP，∴∠EPQ = ∠B = ∠C = 90°，∴∠BEP + ∠BPE = ∠CPQ + ∠BPE = 90°，∴∠BEP = ∠CPQ，∴△EBP ∽△PCQ，∴[CQBP =PCBE]，∴[CQx=12-x9]，整理得CQ = [-19（x-6）2+4]，∴當(dāng)x = 6時，CQ取得最大值為4. 故填4.

點評：本題中的相似三角形是相似形中非常重要的基本圖形，是“一線三等角”相似模型的特例，對解決相似問題有很大幫助.

二、利用三角形的面積公式構(gòu)造二次函數(shù)

例2（2019·江蘇·無錫）如圖2，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = [45]，[D]為邊[AB]上一動點（不與點[B]重合），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△BDE面積的最大值為 ? ? .

解析：過D作DG⊥BC于G，過A作AN⊥BC于N，過E作EH⊥DG于H，延長ED交BC于M.易證△EHD ≌△DGC，可設(shè)DG = HE = x，

∵AB = AC = 5，BC = [45]，AN⊥BC，∴BN = [12]BC = 2[5]，∴AN = [AB2-BN2=5]，

∵DG⊥BC，AN⊥BC，∴DG[?]AN，∴[BGDG=BNAN=2]，∴BG = 2x，CG = HD = 4[5] - 2x;由EH[?]MG可得△HED ∽△GMD，于是[HEGM=HDGD]，則[xGM=45-2xx]，即MG [=x245-2x]，

所以S△BDE? = [S△BME ][- S△BMD] = [12BM·HG-12BM·DG] = [12]BM · HD = [12（BG-MG）·HD]

= [12] × [2x [- x245-2x] × （4[5] - 2x）= [-52x2+45x] = [-52x-4552+8]，

∴當(dāng)x = [455]時，S△BDE的最大值為8.

點評：本題還可以分別過點C，E作CK⊥AB，EQ⊥AB，這樣△BDE面積就可以表示為[12BD·EQ]，不妨將BD設(shè)為變量x，結(jié)合圖形的性質(zhì)用x表示出EQ，這樣根據(jù)面積公式就得到關(guān)于x的二次函數(shù).

三、利用勾股定理建立二次函數(shù)

例3（2018·遼寧·葫蘆島）如圖3，在[?]ABCD中，AB = 6，BC = 10，AB⊥AC，點P從點B出發(fā)沿著B→A→C的路徑運動，同時點Q從點A出發(fā)沿著A→C→D的路徑以相同的速度運動，當(dāng)點P到達點C時，點Q隨之停止運動，設(shè)點P運動的路程為x，y = PQ2，下列圖象中大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ）.

[y][36][18][O][6][8][14][x] [y][36][18][O][6][8][14][x] [B] [y][36][18][O][6][8][14][x] [C] [y][36][18][O][6][8][14][x] [D] [A]

解析：在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 6，BC = 10，∴AC = [BC2-AB2] = 8.

觀察平行四邊形，我們可從分析動點P，Q的運動過程入手，將其分為三段來探究：

（1）點P在邊BA上運動，即當(dāng)0 ≤ x≤ 6時，AP = 6 - x，AQ = x，

由勾股定理可得y = PQ2 = AP2 + AQ2 =2x2 -12x + 36 = [2（x-3）2+18]，

此時圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x = 3，頂點坐標為（3，18），排除選項A、D;

（2）當(dāng)P運動到點A時，點Q在AC上距離點A為6，

即當(dāng)6 < x ≤ 8時，AP = x - 6，AQ = x，

∴y = PQ2 =（AQ - AP）2 = 36，圖象為與x軸平行的一條線段，長度為2;

（3）當(dāng)點Q運動到點C，繼續(xù)在CD上運動時，即當(dāng)8 < x ≤ 14時，CP = 14 - x，CQ = x - 8，

在Rt△PCQ中，由勾股定理可得y = PQ2 = CP2 + CQ2 = 2x2 - 44x + 260 = 2（x - 11）2 + 18.

此時圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x = 11，頂點坐標為（11，18），結(jié)合函數(shù)圖象，只有選項B符合要求.

故選B.

點評：抓住動點運動的轉(zhuǎn)折點，將運動過程準確分解，分類加以討論是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣單樓初級中學(xué)）