一元二次方程根與系數的關系（一）

雷添淇

初中數學教材大多通過實際例子引入，比較形象化，同學們易于理解和掌握. 但高中數學教材概念、定理抽象，知識難度加大，能力要求更高，因此許多同學升入高中后感到非常不適應. 為此，本刊特開設“初高銜接”欄目.本欄目通過復習高中階段必備的初中知識，并預學部分高中知識，讓同學們提前熟悉和掌握高中的學習方法，順利應對高中課程.

一元二次方程根與系數的關系在初中是選學內容，中考不作考查.但掌握了這一知識點，再來解答初中一元二次方程部分試題，會使得解題更簡捷、更高效.而且，該部分內容在解決高中數學的二次方程零點問題、函數問題、二次不等式問題，以及圓錐曲線問題等知識時至關重要. 下面就本部分內容以及涉及的典型問題進行解析.

一、知識要點

1. 若一元二次方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]有兩個實數根，分別為[x1]，[x2]，則[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]. 上述結論即為一元二次方程根與系數的關系，又稱韋達定理.

2. 韋達定理的逆定理：若兩個實數[x1]，[x2]滿足[x1+x2=-ba]，[x1?x2=ca]，則[x1]，[x2]必為方程[ax2+bx+c=0（a≠0）]的兩根.

二、主要運用

1. 已知方程的一個根，求另一個根及未知系數;

2. 不解方程，求已知一元二次方程兩根的對稱式及可轉化或可構造對稱式的值;

3. 已知方程的兩根，求作這個一元二次方程;

4. 已知兩數的和與積，求這兩個數;

5. 根的分布問題.

三、例題解析

例1 已知[x1=-2]是關于[x]的一元二次方程：[m2x+x2+3mx+12x+5=0]的一個實數根，則該方程的另一實數根[x2=] .

分析：根據題設，首先將已知方程整理成關于[x]的一元二次方程，再利用一元二次方程根與系數的關系進行求解.

解：整理得[x2+m2+3m+12x+5=0]，由一元二次方程根與系數的關系有[x1x2=5]，所以[x2=-52].

點評：本題的一般方法是將[x1=-2]代入方程，整理得到關于[m]的方程，求出[m]的值，然后再求出[x2]，但這樣解題過程較為煩瑣，利用一元二次方程根與系數的關系則可以簡捷、準確地求出[x2].

例2 若[x1]，[x2]是方程[x2+2x-17=0]的兩個根，試求下列各式的值：

（1）（[x1-5]）（[x2-5]）; （2）[x1-x2]; （3）[1x21+1x22].

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現復雜的計算，可以對原代數式進行變形，將其轉換成用兩根之和與兩根之積來表達，然后利用一元二次方程根與系數的關系進行求解.

解：由一元二次方程根與系數的關系有[x1+x2=-2]，[x1x2=-17].

（1）[（x1-5）（x2-5）=x1x2-5（x1+x2）+25=-17-5×（-2）+25=18];

（2）[x1-x2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-2）2-4×（-17）=62];

（3）[1x21+1x22=x21+x22x21x22=（x1+x2）2-2x1x2（x1x2）2=（-2）2-2×（-17）（-17）2=38289].

點評：利用一元二次方程根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：[x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2]，[1x1+1x2=x1+x2x1x2]，[（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2]，[x1x22+x21x2=x1x2（x1+x2）]，[x31+x32=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）]，等等.

例3 已知關于[x]的一元二次方程[8x2+（m+1）x+m-7=0]有兩個負數根，求實數[m]的取值范圍.

分析：一元二次方程有兩個負數根[x1]，[x2]的等價條件是[Δ≥0x1+x2<0x1?x2>0]，由此利用一元二次方程根與系數的關系建立關于[m]的不等式組，進行求解.

解：設[x1]，[x2]是原方程的兩個負數根，由題意得[Δ≥0x1+x2<0x1?x2>0]，由一元二次方程根與系數的關系有[x1+x2=-m+18]，[x1?x2=m-78]. 所以 [（m+1）2-32（m-7）≥0-m+18<0m-78>0] 解得[m>7].

點評：一元二次方程根與系數的關系是解決簡單的根的分布問題的有力武器，同學們還可探究兩根同為正、兩根異號、兩根都大于1等情況的等價條件.

[作者單位：世界創新（遼寧）教育科技中心]