概率問題中的常見錯(cuò)解剖析

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教材中，概率部分涉及的概念、公式較多，容易出現(xiàn)概念混淆、公式亂用、判斷事件致誤等現(xiàn)象。本文就其中常見的錯(cuò)誤問題作了系統(tǒng)分析。

關(guān)鍵詞：事件；頻率；概率；條件；獨(dú)立重復(fù)

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2012）02-043-1

在高中數(shù)學(xué)教材中，概率部分要求掌握的概念、公式較多，容易出現(xiàn)概念混淆、公式亂用、判斷事件致誤等現(xiàn)象。而概率問題是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，其思維方法頗具特色，對(duì)培養(yǎng)和檢測(cè)學(xué)生思維能力具有不可小視的作用。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，就學(xué)生解概率問題時(shí)的常見錯(cuò)誤進(jìn)行分類剖析。

一、“頻率”與“概率”混同

例1 口袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中有放回地取20次，每次取出1個(gè)球后記下顏色，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

球顏色紅球白球黑球

取到次數(shù)569

則取到紅球的頻率為 。

錯(cuò)解：0.2

剖析：產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的頻率與事件發(fā)生的概率兩個(gè)概念混同，以為共10個(gè)球，紅球有2個(gè)，則所求為0.2，實(shí)際上這是一個(gè)理想化的數(shù)據(jù)，是概率值，而不是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所涉及的頻率。概率是頻率的穩(wěn)定值，可以從頻率方面體現(xiàn)出來，但頻率是統(tǒng)計(jì)結(jié)果，具有個(gè)性化特征，而概率具有概括性和穩(wěn)定性，具有理想化特征。正解：所求頻率為520=0.25.

二、“非等可能”與“等可能”混同

例2 任意投擲兩枚骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率。

錯(cuò)解：點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，可取3，5，7，9，11共5種可能，點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)可取2，4，6，8，10，12共6種可能，于是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)的概率為5／（5+6）=5／11.

剖析：上述解法是利用等可能事件的概率模型，此時(shí)必須保證每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性均等，而上述點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)顯然不均等，因此不能用等可能事件的概率模型來解答。

正解：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，由（奇，偶），（偶，奇）組成，共有2×3×3=18個(gè)不同結(jié)果，這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，故所求概率為18／36=1／2.

三、“有序”與“無序”混同

例3 一個(gè)口袋裝有6個(gè)球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從口袋中無放回地取球兩次，每次取出一個(gè)球，求取到的2個(gè)球中至少有一個(gè)白球的概率。

錯(cuò)解：取到的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球包括：2個(gè)都是白球，1個(gè)白球1個(gè)紅球，故取到的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A14A12，據(jù)等可能事件的概率的求法，則取到的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率A24+A14A12A26=23.

剖析：這是古典概型常見模型——摸球模型，有“有序”與“無序”之分，不能混淆。

正解：（正向思考）取到2個(gè)球中至少有1個(gè)白球出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)為A24+A14A12+A12A14，故所求概率為A24+2A14A12A26=1415。

四、“獨(dú)立重復(fù)”與“等可能”混同

例4 甲參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中甲能答對(duì)其中的6題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才算合格，求甲考試合格的概率。

錯(cuò)解：甲答對(duì)每道題的概率P=0.6

由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得：所求概率為P3(2)+P3(3)=0.792

剖析：審題不清，這不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用錯(cuò)公式。

正解：用等可能事件概率公式求解，所求概率P=C26C14+C36C310.

五、“互斥”與“獨(dú)立”混同

例5 某獵人在距離100米處射擊一只野兔，命中率為12，如果第一次射擊未命中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離為150米，如果又未命中，則進(jìn)行第三次射擊，并且此時(shí)的距離為200米，此獵人命中率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率。

錯(cuò)解：設(shè)命中率為p，距離為s，據(jù)題意p=k／s2(k為比例系數(shù)），

當(dāng)p=1／2時(shí)，s=100，

∴k=1／2×1002，∴p=1／2×(100／s)2.

設(shè)三次射擊依次為事件A、B、C，則命中的概率分別為：

P(Α)=1／2，P（B）=1／2×（100／150）2=2／9，P（C）=1／2×（100／200）2=1／8.

故所求概率P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=61／72.

剖析：本題中三次射擊事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，因?yàn)槊看紊鋼糸g無影響。而P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）的條件是A、B、C彼此互斥，依彼此互斥與相互獨(dú)立事件的定義，相互獨(dú)立不能得到彼此互斥，很顯然錯(cuò)解是把A、B、C相互獨(dú)立當(dāng)成了彼此互斥，從而致誤。

正解：所求概率P=1－P(A)P(B)P(C)=95／144.

六、“積事件的概率”與“條件概率”混同

例6 一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，甲每次從中任取一個(gè)球，取后不放回，試問：甲第二次才取到紅球的概率是多少？

錯(cuò)解：依題意，甲第一次抽取白球，剩下4個(gè)球3個(gè)紅球，第二次抽到紅球P=3／4.

剖析：第二次才取到紅球有前提條件，即第一次必須抽到白球。

正解：設(shè)A=“甲第一次取到白球”，B=“甲第二次取到紅球”，C=“甲第二次才取到紅球”，則

P（C）=P（A）#8226;P（B|A）=P（A）P（AB）P（A）=P（AB）=25×34=310.