巧用數學知識揭秘撲克魔術

李大永

一位魔術師請觀眾從一副撲克牌中任意抽取出20張牌（不讓魔術師看到被抽到的牌的正面）。魔術師將這20張牌均分成四份，然后逐一拿起每一份牌，并把牌的正面展現給觀眾看，之后請觀眾說出其中紅花色牌（紅桃和方片）的張數。然后魔術師將四份牌放在一起，請觀眾洗牌，并將牌在桌面上擺成一個圈。最后，魔術師俯下身將耳朵貼近這圈牌，做出認真傾聽的動作，接著抬起身告訴觀眾：“我聽到紅色牌和黑色牌正在談論它們相鄰的牌是同色的還是異色的，所以我知道這一圈牌中相鄰紅色牌的對數與相鄰黑色牌的對數哪個更多，而且還知道多多少。”

當魔術師說出結果后，觀眾翻開牌檢驗，發現魔術師果然說對了！難道魔術師真有特異功能嗎？顯然是不可能的！神秘現象背后必有不為人知的道理！

我們不妨先大膽地猜一猜，魔術師所知曉的信息是從哪里來的？

仔細分析魔術師的操作過程，去掉那些迷惑人的動作信息，其中關鍵的信息實際上只有兩個：①總牌數20張;②觀眾反饋的紅花色牌數。所以魔術師所知曉的信息只能來源于上述兩個數據。

實際上，大家可以親手試驗一下，不需要撲克牌'我們可以運用數學知識來尋找問題的答案，只需用字母R、B來分別表示紅牌和黑牌，20張牌太多了，可以少一些，方便試驗。下面，我們不妨用6張字母牌試試，如圖1所示，字母牌是4紅2黑，相鄰紅牌對數為2，相鄰黑牌對數為O;我們將其中一個紅牌改為黑牌，這樣就是3紅3黑，如圖2、圖3、圖4.

在圖2中，相鄰紅牌對數為1，相鄰黑牌對數為1;在圖3中，相鄰紅牌對數為2，相鄰黑牌對數為2;在圖4中，相鄰紅牌對數0，相鄰黑牌對數0.通過觀察圖2、3、4，我們容易發現，相鄰黑牌和相鄰紅牌的對數總是一樣的，另外，圖2、3、4中的紅色牌和黑色牌的張數也是相同的。結合圖1的結果，我們不難發現一個規律：相鄰紅牌對數與相鄰黑牌對數的差與紅牌數與黑牌數的差是相等的。

現在的問題是：這個規律對于20張牌是成立的嗎？如果是，那么為什么？如果是對于任意張數的牌，是否還存在這個規律呢？

如果采取試驗的方式，顯然情況太多了。我們把它轉化成一個數學問題：

設紅色牌和黑色牌分別有p張和q張，擺放成一圈后，相鄰兩張牌同為紅色的組數為m，相鄰兩張牌同為黑色的組數記為n。那么問題就是要判斷p-g=m-n是否總成立？但這還不算是純粹的數學問題，因為研究對象——“牌”是非數學對象。因此，我們可以設紅色牌的取值為1，黑色牌的取值為-1，這樣，問題就可以表述為：已知一個圓形數陣中的數字只有1和-1，其中有p個數字是1，有g個數字是-1.若記圓形數陣中相鄰兩數同為1的組數為m，相鄰兩數字同為-1的組數為n，則判斷p-g=m-n是否總成立？