應用勾股定理解題時常見錯誤剖析

田常青

勾股定理是連結代數與幾何的橋梁，是研究幾何圖形問題的重要工具，但是很多學生在運用勾股定理解題時常常發生這樣那樣的錯誤，分析其原因主要是因為學生在學習勾股定理時沒有準確的理解勾股定理的定義以及運用定理的內容，為了能夠幫助學生避免在應用勾股定理是發生錯誤，本文對學生在運用勾股定理解題時常出現的錯誤進行剖析。

一、不能正確的分辨直角三角形的直角邊與斜邊

針對直角邊與斜邊的錯誤，以兩道題為例，為學生剖析在這個問題上學生經常發生的錯誤。

例1：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，那么AC的長為多少？

很多學生受到勾股定理“勾三股四弦五”的影響，看到題目第一反應就是AC一定是斜邊，想當然的認為BC=3，AB=4，那么AC一定等于5。而正確的解答過程應該如下：首先審好題，題中說到∠C=90°，那么最長的斜邊應該是AB，當學生辨別好直角邊與斜邊后在運用勾股定理解題，可得出AC=。

例2：在直角三角形ABC中，∠B=90°，a=6，B=8，求c邊長。

很多學生對勾股定理沒有掌握好，只知道a2+b2=c2，看到題目后，直接套入公式，得出c==10。這是錯誤的解法。題目中已知∠B=90°，所以b為斜邊，直角邊是a、c，弄清直角邊與斜邊后在運用a2+b2=c2來解題。正確解法為：由∠B=90°可知b為斜邊，由a2+c2=b2來計算，c2=b2-a2=28，所以c=2。

二、忽略勾股定理的應用條件

勾股定理僅限于在直角三角形中使用，有些學生對該定理的應用有所混淆，認為勾股定理在任何三角形中都適用，這樣就使得學生在解題中發生了錯誤。

例3：已知三角形ABC，a、b、c為該三角形的三邊長，且長度為整數，a=3，b=4，那么c長為多少？

學生看到題目中出現了3、4，想當然認為c=5。勾股定理只能在直角三角形中使用，學生看到3和4，受到勾股定理“勾三股四弦五”的影響，就把該三角形認為是直角三角形，得出了第三邊長為5。而正切的解法如下：由三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊”得出c的長度為1

例4：在三角形ABC中，已知AB>AC，AC=8，BC=3，三邊長均為整數，求AB的長度。

學生在解答這題時，錯誤的認為因為AB>AC，AC=8，BC=3，所以AB>AC>BC，根據勾股定理得出AC2+BC2=AB2=73，得出AB=。

題目中并沒有明確的說明該三角形是否為直角三角形，而是一般三角形，勾股定理只在直角三角形中才成立，所以這道題不能用勾股定理來解答，需要用一般三角形三邊關系定理來解題。該題的正確解答如下：由三角形三邊關系得出AC

三、未分清勾股定理及其逆定理

勾股定理是指“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。而勾股定理的逆定理是指“如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形”。勾股定理的逆定理是判斷三角形是否是直角三角形、銳角三角形以及鈍角三角形最簡單的方法。但是，很多學生經常會將勾股定理與勾股定理逆定理相混淆，未注意二者的區別，導致在解題的過程中出現錯誤。

例5：已知三角形ABC的三邊a=5、b=12、c=13，試問三角形ABC是什么三角形？

此題乍一看a、b、c的長分別為5、12、13，剛好符合52+122=132，即a2+b2=c2，由勾股定理可判斷，三角形ABC為直角三角形。

這是錯誤的理解。勾股定理是已知三角形為直角三角形，從而能夠推導直角三角形三邊關系為a2+b2=c2，這是直角三角形的性質定理。而三角形的逆定理是由三角形三邊之間的數量關系推算出該三角形是直角三角形，這是直角三角形的判定定理。所以這道題的推導過程應該是這樣的：因為52+122=132，即a2+b2=c2，所以由勾股定理的逆定理可知，該三角形為直角三角形。三角形的定理與逆定理千萬不可混淆。簡單的說勾股定理是由“形”推導得出“數”，逆定理是由“數”推算得出“形”。

四、分類討論問題

有一些題目需要分情況討論，而學生在解題時只考慮到一種情況，因而導致解題不全面。

例6：在直角三角形ABC中，∠A=90°，兩條直角邊分別為20與15，AD⊥BC，求BD的長。

大多學生只考慮到圖1這種情況，由勾股定理得BC=25，根據等面積法可得AD=12，再由勾股定理得出BD=16。

此題有兩種情況，只想到AB=20而忽略了還有一種情況是AC=20，所以此題還有一種結果，即為：當AC=20時，如圖2，BC=25，等面積法得AD=12，根據右股定理得BD=9。

結束語：綜上所述，學生在使用勾股定理解題時會出現各種錯誤，這些錯誤多是由于學生在學習時沒有很好的掌握勾股定理的前提條件，未留心只有在三角形為直角三角形時才可使用該定理，對斜邊、直角邊所有的多種分類理解不透徹，沒有更好的理解勾股定理與逆定理的聯系與區別等。因此，在日常學習中，教師一定要對勾股定理的基礎知識加以強化，針對學生經常發生錯誤的知識點加強練習才能有效的避免發生錯誤。

參考文獻

[1]廖銘.初中數學勾股定理的解題研究[J].數學學習與研究，2017（16）：133.