唐初數(shù)學(xué)家王孝通與《緝古算經(jīng)》

李浩

中國(guó)古代數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)是注重理論與實(shí)踐的結(jié)合。唐代著名數(shù)學(xué)家王孝通就成功地將三次方程的解題之術(shù)引入土木工程、倉(cāng)庫(kù)容積等實(shí)際應(yīng)用中，破解了當(dāng)時(shí)的一些未解難題，成為世界上最早提出三次方程代數(shù)解法的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家。王孝通撰寫(xiě)的《緝古算經(jīng)》還與《九章算術(shù)》《綴術(shù)》等數(shù)學(xué)名著一同被納入唐代學(xué)子必修的《算經(jīng)十書(shū)》之中，成為古代極為重要的數(shù)學(xué)典籍，有著極高的學(xué)術(shù)地位。同時(shí)，王孝通有關(guān)三次方程的代數(shù)解法也對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了積極的促進(jìn)作用。

一、唐代數(shù)學(xué)典籍《緝古算經(jīng)》的歷史演變

隋唐時(shí)期，國(guó)力強(qiáng)盛，大規(guī)模建造皇家宮殿、寺院和橋梁，疏通擴(kuò)建運(yùn)河等大工程相繼開(kāi)工，出現(xiàn)了大量復(fù)雜多變的計(jì)算問(wèn)題，這極大地推動(dòng)了當(dāng)時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)家王孝通運(yùn)用數(shù)學(xué)理論對(duì)土木工程、倉(cāng)庫(kù)容積等問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，并取得了豐碩成果。王孝通曾在《上輯古算經(jīng)表》中說(shuō)：“竊尋九數(shù)，即《九章》是也。其理幽而微，其形秘而約，重句聊用測(cè)海，寸木可以量天，非宇宙之至精，其孰能與于此者？”“漢代張蒼刪補(bǔ)殘缺，校其條目，頗與古術(shù)不同。”“魏朝劉徽篤好斯言，博綜纖隱，更為之注。……雖即未為司南，然亦一時(shí)獨(dú)步。”這表明王孝通對(duì)前人所撰的《九章》等數(shù)學(xué)著作進(jìn)行了深入的研究，在給予積極肯定之后還進(jìn)行了客觀的點(diǎn)評(píng)：“伏尋《九章·商功篇》，有平地役功受袤之術(shù)。……致使今代之人不達(dá)深理……斯乃圓孔方柄，如何可安？”王孝通認(rèn)為《九章算術(shù)》中，雖有“平地役功受袤之術(shù)”，可解決土方計(jì)算等問(wèn)題，但“舊經(jīng)殘駁，尚有缺漏”，還應(yīng)當(dāng)探求更完善、更科學(xué)的計(jì)算方法。于是，王孝通在前人的數(shù)學(xué)研究成果之上，進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)間的潛心鉆研，并結(jié)合當(dāng)時(shí)土木工程中出現(xiàn)的大量實(shí)際問(wèn)題，將算法與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，終于探索出更為有效的解決辦法。最終，王孝通于625年（武德八年）在長(zhǎng)安寫(xiě)成了《緝古算經(jīng)》。全書(shū)共收錄了20個(gè)問(wèn)題，除第1問(wèn)為歷法問(wèn)題之外，其余均為土木工程、倉(cāng)庫(kù)容積以及勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。其中，最為重要的內(nèi)容是關(guān)于修筑兩端寬狹不一、高低不同的堤壩問(wèn)題，以及已知體積反求邊等問(wèn)題。成書(shū)之后，王孝通對(duì)自己所撰著的《緝古算經(jīng)》頗為自信，并在上奏唐太宗李世民時(shí)說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)L能算之人，考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金。”王孝通的自信是有道理的，他是中國(guó)數(shù)學(xué)史乃至世界數(shù)學(xué)史上第一位提出并求解三次方程問(wèn)題的人，充分體現(xiàn)出王孝通對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的研究已達(dá)到了極為高深的水平。

《緝古算經(jīng)》自唐代起便出現(xiàn)了抄本，宋元豐七年（1084年）時(shí)，更有秘書(shū)監(jiān)趙彥若等校定刊本。至明代，刊本幾乎遺失，僅存章丘李開(kāi)先所藏的一部南宋刊本。在千余年的輾轉(zhuǎn)相傳之中，也曾出現(xiàn)衍、脫、誤、壓等問(wèn)題，甚至有的題目難以卒讀。至清代孔繼涵刊刻微波榭本《算經(jīng)十書(shū)》，方得以首次校補(bǔ)。隨后毛晉獲得《緝古算經(jīng)》后，加以影抄而留傳于世。到了清代中期，對(duì)《緝古算經(jīng)》的研究之風(fēng)盛行，先后有諸多學(xué)者加以校刊，如李潢的《緝古算經(jīng)考注》、張敦仁的《緝古算經(jīng)細(xì)草》、陳杰的《緝古算經(jīng)細(xì)草》以及《緝古算經(jīng)注》《緝古算經(jīng)音義》等。

二、《緝古算經(jīng)》所涉及的數(shù)學(xué)理論

《緝古算經(jīng)》的主要內(nèi)容分為四大類：第一類，天文問(wèn)題。《緝古算經(jīng)》中的第1問(wèn)是關(guān)于計(jì)算月亮方位的天文歷法方面的問(wèn)題，并糾正了舊術(shù)中的一些錯(cuò)誤。第二類，土方體積問(wèn)題。《緝古算經(jīng)》中第2-6問(wèn)和第8問(wèn)主要是關(guān)于計(jì)算土木工程中的土方體積問(wèn)題。王孝通對(duì)《九章算術(shù)》中提到的“平地役功受袤之術(shù)”中的“上寬下狹，前高后卑，正經(jīng)之內(nèi)，闕而不論”的問(wèn)題進(jìn)行了深入探究與潛心鉆研。他一方面要根據(jù)工程的實(shí)際條件計(jì)算其體積以及長(zhǎng)、寬、高，另一方面還要通過(guò)已知的某一部分工程的體積及一些參數(shù)來(lái)進(jìn)一步計(jì)算出其長(zhǎng)、寬、高，這些復(fù)雜問(wèn)題已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了以往任何一部算經(jīng)。為此，王孝通進(jìn)行了大量的演算與實(shí)際測(cè)量，正如其在《上緝古算經(jīng)表》中所言：“臣晝思夜想，臨書(shū)浩嘆，恐一旦瞑目，將來(lái)莫睹。遂于平地之余，續(xù)狹邪之法，凡二十術(shù)，名日《緝古》。”這清楚地說(shuō)明了他撰寫(xiě)《緝古算經(jīng)》的根本目的與研究成果。如王孝通在《緝古算經(jīng)》第3問(wèn)“堤積問(wèn)題”之中的題設(shè)就多達(dá)290個(gè)字，雖繁復(fù)但準(zhǔn)確無(wú)誤，足見(jiàn)他對(duì)土方體積問(wèn)題研究的深入程度。第三類，倉(cāng)庫(kù)容積問(wèn)題。《緝古算經(jīng)》中第7問(wèn)及第9-14問(wèn)，主要是關(guān)于計(jì)算各種形狀的倉(cāng)庫(kù)、地窖的容量問(wèn)題或是其中一段的高、廣、徑，并根據(jù)題設(shè)尺寸間的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)一步反求各邊線的尺寸。第四類，勾股問(wèn)題。《緝古算經(jīng)》中第15-20問(wèn)，即在已知勾、股、弦三事二者之積或差時(shí)，求勾、股、弦。與此同時(shí)，王孝通還創(chuàng)造性地將勾股問(wèn)題引向了三次方程，將之與代數(shù)方法有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步擴(kuò)大了勾股算術(shù)的范圍。而這類勾股問(wèn)題也是在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上首次被提出。

《緝古算經(jīng)》全書(shū)中的20個(gè)問(wèn)題，可列出三次方程式的就多達(dá)28個(gè)，雖然所列方程的系數(shù)及解出的根還僅限于正數(shù)，但對(duì)我國(guó)后世乃至世界數(shù)學(xué)的發(fā)展，均起到了積極的促進(jìn)作用。

三、王孝通的數(shù)學(xué)功績(jī)與《緝古算經(jīng)》的深遠(yuǎn)影響

唐代盛世的開(kāi)放，推動(dòng)了教育、文化、藝術(shù)、科學(xué)的長(zhǎng)足發(fā)展，在教育領(lǐng)域，唐繼承隋制，在國(guó)子監(jiān)內(nèi)設(shè)立“算學(xué)”，對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行研究。唐代統(tǒng)治者對(duì)數(shù)學(xué)教育較為重視，唐太宗李世民曾多次親臨國(guó)子監(jiān)視察，使得唐代的數(shù)學(xué)達(dá)到了“國(guó)學(xué)之盛，近古未有”“是歲大收天下儒士……其書(shū)算各置博士學(xué)生，以備眾藝”的繁盛局面。與此相應(yīng)的則是在顯慶元年（656年）作出的規(guī)定，包括《緝古算經(jīng)》在內(nèi)的《九章算術(shù)》《綴術(shù)》《周髀算經(jīng)》等十部漢、唐一千多年間的著名數(shù)學(xué)著作，成為當(dāng)時(shí)最高學(xué)府的數(shù)學(xué)教育用書(shū)，后世通稱為《算經(jīng)十書(shū)》，科舉考試中明算科的考試內(nèi)容主要就是從《算經(jīng)十書(shū)》中選題。國(guó)子監(jiān)算學(xué)館還對(duì)《算經(jīng)十書(shū)》中唯一的一部由唐代數(shù)學(xué)家撰寫(xiě)的《緝古算經(jīng)》作出了規(guī)定：學(xué)生在學(xué)習(xí)《緝古算經(jīng)》時(shí)，必須學(xué)滿三年。這也足見(jiàn)其在唐代數(shù)學(xué)教育中的重要地位。王孝通在《緝古算經(jīng)》中對(duì)高次方程解法的研究，對(duì)宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)發(fā)展影響極大。宋元數(shù)學(xué)家在王孝通建立和求解三次方程的基礎(chǔ)上繼續(xù)深人研究，終于發(fā)明了“天元術(shù)”和“四元術(shù)”，建立并完善了高次方程的布列方法和數(shù)值解法，達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰。

中國(guó)古代的科學(xué)文明曾令西方嘆服，王孝通在《緝古算經(jīng)》中用三次方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，具有巨大的學(xué)術(shù)價(jià)值，這不僅是中國(guó)現(xiàn)存典籍中最早的記錄，也是世界數(shù)學(xué)史上關(guān)于三次方程數(shù)值解法及其應(yīng)用的最古老的著作。在西方，雖然有人也較早地知道三次方程，但其最初是利用圓錐曲線的圖解法，直至意大利數(shù)學(xué)家菲波那契在13世紀(jì)時(shí)，才得出了三次方程的數(shù)值解法，這比王孝通晚了六百多年。

正如日本著名數(shù)學(xué)史家三上義夫所說(shuō)：“唐王孝通之《緝古算經(jīng)》，使用三次方程式以解各種問(wèn)題。……中國(guó)成立三次方程式，乃在阿拉伯之前;而由術(shù)文推得之方程式解法，亦與發(fā)達(dá)于阿拉伯者全不同也。”而英國(guó)學(xué)者李約瑟?jiǎng)t說(shuō)：“三次方程最早是在《緝古算經(jīng)》中發(fā)現(xiàn)的……這些方程是從工程師、建筑師和測(cè)量人員的實(shí)際需要中產(chǎn)生的”，這進(jìn)一步體現(xiàn)出王孝通繼承了中國(guó)古代的數(shù)學(xué)思想，即數(shù)學(xué)算法，并將之與靈活多變的實(shí)際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合。他的《緝古算經(jīng)》，為后世的數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步發(fā)展作出了杰出貢獻(xiàn)。