例說數理邏輯學的產生和發展

邏輯學是探索、闡述和確立有效推理原則的學科。用數學的方法研究關于推理、證明等問題的學科就叫做數理邏輯學，也叫做符號邏輯學。

數理邏輯學的產生

利用計算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程，這種想法早在17世紀就有人提出過。萊布尼茨就曾經設想過能不能創造一種“通用的科學語言”，可以把推理過程像用數學公式進行計算一樣，一步步得出正確的結論。由于當時的科學發展水平有限，他的想法并沒有實現。但是他的思想卻是現代數理邏輯部分內容的萌芽，從這個意義上講，萊布尼茨可以說是數理邏輯的先驅。

1847年，英國數學家布爾發表了著作《邏輯的數學分析》，建立了“布爾代數”，并創造了一套符號系統來表示邏輯中的各種概念。布爾建立了一系列的運算法則，并利用代數的方法研究邏輯問題，由此初步奠定了數理邏輯學的基礎。

19世紀末20世紀初，數理邏輯學得到了更進一步的完善。1884年，德國數學家弗雷格出版了《數論的基礎》一書，在書中引人了量詞的符號，使得數理邏輯的符號系統更加完備。對建立這門學科做出貢獻的，還有美國哲學家皮爾斯，他也在著作中引入了邏輯符號，從而使現代數理邏輯學最基本的理論基礎逐步形成，并成為一門獨立的學科。

數理邏輯學的內容

數理邏輯學兩個最基本也是最重要的組成部分，就是“命題演算”和“謂詞演算”。

命題演算是研究關于命題如何通過一些邏輯連接詞構成更復雜的命題以及進行邏輯推理的方法。如果我們把命題看作運算的對象，如同代數中的數字、字母或代數式，把邏輯連接詞看作運算符號，就像代數中的“加、減、乘、除”那樣，那么由簡單命題組成復合命題的過程，就可以看作是邏輯運算的過程，也就是命題的演算。

這樣的邏輯運算也同代數運算一樣，具有一定的性質，滿足一定的運算規律。例如滿足交換律、結合律、分配律，同時也滿足邏輯上的同一律、吸收律、雙否定律、狄摩根定律、三段論定律等。利用這些定律，我們可以進行邏輯推理，可以簡化復合命題，可以推證兩個復合命題是不是等價，也就是它們的真值表是不是完全相同，等等。

命題演算的一個具體模型就是邏輯代數。邏輯代數也叫做開關代數，它的基本運算是邏輯加、邏輯乘和邏輯非，也就是命題演算中的“或”“與”“非”，運算對象只有兩個數0和1，相當于命題演算中的“真”和“假”。

邏輯代數的運算特點如同電路分析中的開和關、高電位和低電位、導電和截止等現象，只有兩種不同的狀態。因此，它在電路分析中得到了廣泛的應用。

利用電子元件可以組成相當于邏輯加、邏輯乘和邏輯非的門電路，也就是邏輯元件。還能把簡單的邏輯元件組成各種邏輯網絡。這樣任何復雜的邏輯關系都可以由邏輯元件經過適當的組合來實現，從而使電子元件具有邏輯判斷的功能。因此，邏輯代數在自動控制方面也被廣泛應用。

謂詞演算也叫做命題涵項演算。命題涵項就是指除了含有常項以外還含有變項的邏輯公式。常項是指一些確定的對象或者確定的屬性和關系;變項是指一定范圍內的任何一個，這個范圍叫做變項的變域。謂詞演算就是把命題的內部結構分析成具有主詞和謂詞的邏輯形式，由命題涵項、邏輯連接詞和量詞構成命題，然后研究這樣的命題之間的邏輯推理關系。

命題涵項和命題演算不同，它無所謂真和假。如果以一定的對象概念代替變項，那么命題涵項就成為真的或假的命題了。

命題涵項加上全程量詞或者存在量詞，那么它就成為全稱命題或者特稱命題了。

數理邏輯學的發展

數理邏輯這門學科建立以后，發展比較迅速，促進它發展的因素是多方面的。比如，非歐幾何的建立促進人們去研究非歐幾何和歐氏幾何的無矛盾性，這就促進了數理邏輯學的發展。

集合論的產生是近代數學發展史上的重大事件，但是在對集合論的研究過程中，出現了被稱作數學史上的第三次大危機。這次危機是由于發現了集合論的悖論引起的。什么是悖論呢？悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證很嚴格的一個數學分支，被公認為是數學的基礎。1903年，英國唯心主義哲學家、邏輯學家、數學家羅素卻對集合論提出了以他名字命名的“羅素悖論”。這個悖論的提出幾乎動搖了整個數學基礎，從而促使許多數學家去研究集合論的無矛盾性問題，由此產生了數理邏輯學的一個重要分支——公理集合論。

非歐幾何的產生和集合論悖論的提出，說明數學本身還存在許多問題。為了研究數學系統的無矛盾性問題，需要以數學理論體系的概念、命題、證明等作為研究對象，研究數學系統的邏輯結構和證明的規律，這樣又產生了數理邏輯學的另一個分支——證明論。

數理邏輯學新近還發展了許多新的分支，如遞歸論、模型論等。遞歸論主要研究可計算性的理論，它與計算機的發展和應用有密切的關系。模型論主要是研究形式系統和數學模型之間的關系。

數理邏輯學近年來發展特別迅速，并對數學的其它分支，如集合論、數論、代數、拓撲學等的發展產生了重大的影響，特別是對計算機科學的發展起到了很大的推動作用。反過來，其它學科的發展也推動了數理邏輯學的發展。