巧用數(shù)形結(jié)合法解答高考題

陳上太

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想和常用的解題策略，本文主要分析數(shù)形結(jié)合法在歷年來全國各地的一些高考試題中的應(yīng)用，如集合問題、函數(shù)最值問題、方程問題、不等式問題、三角函數(shù)問題、復(fù)數(shù)問題等。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高考題;思想方法

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)四大思想方法之一，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)寫過一首詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合?百般好，割裂?分家萬事非，切莫忘，代數(shù)幾何統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離。”短短數(shù)語，道出數(shù)形結(jié)合的重要性。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，我們時(shí)常用抽象的函數(shù)來描述圖形的特征，同時(shí)又用直觀的圖形性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系。

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和常用的解題策略，能豐富及完善解題理論，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，落實(shí)新課標(biāo)要求，收到事半功倍的效果。下面結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，分析數(shù)形結(jié)合法在歷年來全國各地的一些高考試題中的應(yīng)用。

一、集合問題

解答集合的交、并問題或包含與被包含問題，如果能借助韋氏圖把它們的關(guān)系表示出來，則問題可得到直觀的解答。

例1（1995全國卷）已知I為全集，集合M、，若，則（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解：由已知得集合M、N、I的關(guān)系如圖（1），所以，即，故選（C）

例2（1996全國卷）已知全集I=N，集合，，則（ ）

（A） （B）

（C） （D）

解：由題意可知，則I、A、B的關(guān)系如圖（2），顯然成立，故選（C）。

二、函數(shù)的最值問題

對(duì)于抽象函數(shù)的最值問題，如果用代數(shù)推理方法解答則較繁瑣，但如果根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，作出抽象函數(shù)的圖像，便能化繁為簡。

例3（1991全國卷）如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是（ ）

（A）增函數(shù)且最小值為-5? （B）增函數(shù)且最大值為-5

（C）減函數(shù)且最小值為-5? （D）減函數(shù)且最大值為-5

解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[3，7]和[-7，-3]上的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖（3），故應(yīng)選（B）

三、解答一元二次方程根的分布問題

利用函數(shù)來討論方程根的范圍，把根的分布問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖像的位置問題，也可以使復(fù)雜的問題得到直觀的解答。

例4（1993全國卷）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程有兩個(gè)實(shí)根，證明：（1）如果，那么且;

（2）如果且，那么。

分析：問題等價(jià)于證明：且

令，如圖（4），欲使f（x）=0的兩根在區(qū)間（-2，2）內(nèi)的充要條件是：

且.

四、解答含有參數(shù)的方程問題

把方程經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造兩個(gè)常規(guī)函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況，直觀解答與對(duì)數(shù)方程、無理方程等有關(guān)的問題。

例5（1989全國卷）已知a>0且a≠1，試求使方程有解的k的取值范圍。

解：由，

得

令，令，

即

它們的圖像如圖（5），由圖像可以看出，要使兩曲線有交點(diǎn)，須滿足或，即或。所以當(dāng)時(shí)，原方程有解。

五、解含有參數(shù)的無理不等式問題

用代數(shù)方法解含參數(shù)無理不等式，一般情況下，既要分類討論，又要把無理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式，運(yùn)算過程十分繁瑣。如果能把不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常規(guī)函數(shù)，通過觀察兩個(gè)函數(shù)圖像位置關(guān)系，直觀得到不等式的解集，則可把繁瑣的問題簡單化。

例6（2000年全國卷）設(shè)函數(shù)，其中，解不等式。

解：由，得

令，，在同一坐標(biāo)系中，分別作出兩函數(shù)的圖像，前者為實(shí)虛半軸的長均為1的等軸雙曲線的上支，后者為過點(diǎn)（0，1）、斜率為正數(shù)a的直線（如下圖）

當(dāng)時(shí)，由圖（6），令，解得，不等式的解集為;當(dāng)a≥1時(shí)，由圖（7），不等式的解集為。

六、求非常規(guī)方程的根的個(gè)數(shù)

由方程構(gòu)造函數(shù)，把求方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，是求非常規(guī)方程的根的個(gè)數(shù)最常用的策略。

例7（1988上海卷）方程sinx=lgx實(shí)根有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）無窮多個(gè)

解：分別作出y=sinx及y=lgx的圖像，如圖（8）兩個(gè)圖像有點(diǎn)的條件是：lgx≤1，即0

圖（8）可看出兩個(gè)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)解，故應(yīng)選（C）。

七、三角函數(shù)問題

借助三角函數(shù)圖像解答三角函數(shù)問題，可以使問題得到直觀、簡捷的解答。

例8（1990全國卷）方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解：作出y=sin2x和y=sinx的圖像，如圖（9），可知兩曲線有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)解，故應(yīng)選（C）。

八、利用復(fù)數(shù)的幾何意義解題

高中數(shù)學(xué)對(duì)復(fù)數(shù)的要求比較簡單，僅需掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和了解復(fù)數(shù)的幾何意義。靈活運(yùn)用幾何方法有時(shí)候可使復(fù)數(shù)問題得到直觀、簡捷的解答。

例9（1994全國卷）如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最小值是（）

（A）1 （B） （C）2 （D）

解：如圖（10），表示線段AB，表示線段AB上的點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，，故應(yīng)選（A）。

通過以上例子可以看出，數(shù)形結(jié)合備受高考命題專家青睞，我們在教學(xué)過程中應(yīng)該有意識(shí)地滲透這一思想，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，提高綜合解題能力。

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