不等式選講的題型特點及解題策略

廖靜

摘 要：不等式選講部分是高考的重要考點。通過分析近年來的高考習題可知，相關習題的難度不大，但仍有部分學生未能得全分。為保證學生在考試不失分，教學中應結合教學實踐分析相關題型特點，講解相關解題策略，更好的提高學生的解題能力。

關鍵詞：不等式;題型特點;解題;策略

不等式選講部分相關習題主要考查學生靈活運用不等式性質、定理、分類討論等知識，解題時需要注重考慮問題的全面性。為給學生的學習帶來良好啟發，提高學生學習的針對性以及解答相關題型的能力與水平，應注重優選精講例題，使學生更好的掌握相關題型特點以及解題策略。

一、含絕對值不等式的解題策略

解含絕對值不等式是最為基本的題型，主要考查學生分類討論，靈活轉化能力。解答該題題型時應注重不等式的恒等變形，并找到正確的討論邊界，做到討論的不重不漏。另外，應具備靈活的頭腦，部分習題運用絕對值的幾何意義，采用數形結合法解題，可獲得事半功倍的解題效果，因此，解題時應具體問題具體分析，避免思維定勢。

例1，已知函數f（x）=|2x+4|+|x-a|。

（1）若a<-2時，f（x）的最小值為1，求實數a的值;

（2）當f（x）=|x+a+4|時，求x的取值范圍。

該題目屬于常規題型，難度并不大，解題時需要找到不同定義域下函數的正確表達式，并靈活應用絕對值不等式的性質進行恒等變形。對于問題（1）可通過分類討論去掉絕對值符號，再根據其具體的表達式進行分析。根據已知條件不難得出f（x）=|2x+4|+|x-a|=。當x=-2時，f（x）取得最小值1，即，f（-2）=-a-2=1，解得a=-3。問題（2）中f（x）=|2x+4|+|x-a|≥|（2x+4）-（x-a）|=|x+a+4|。只有當（2x+4）（x-a）≤0時等號成立，則當a<-2時，x的取值范圍為{x|a≤x≤-2};當a=-2時，x的取值范圍為{x|x=-2};a>-2時，x的取值范圍為{x|-2≤x≤a}。

二、含絕對值不等式恒成立問題的解題策略

含絕對值不等式恒成立問題是高考中的熱門題型。該類題型常轉化為求不等式的最值問題。解答該類習題時應牢記含絕對值不等式的定理，并深入理解其本質，實現靈活應用，尤其注重等號成立的條件。另外，注重正確應用恒成立結論，避免與存在性問題混淆在一起，如f（x）>a恒成立等價于f（x）min>a;而f（x）>a有解等價于f（x）max>a。

例2，已知函數f（x）=|x|+|x+1|。

（1）若對任意的x∈R，恒有f（x）≥λ，求實數λ的取值范圍。

（2）若存在m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，求實數t的取值范圍。

兩個問題一個是恒成立問題，一個是存在性問題，搞清楚兩者的區別是正確解題的基礎。問題（1）較為簡單，只需求出f（x）的最小值，只要λ≤f（x）min即可。∵f（x）=|x|+|x+1|≥|x-（x+1）|=1，因此，λ的取值范圍為（-∞，1]。對于問題（2）由題干可知f（t）=要想滿足題意，對于m2+2m+f（t）=0，Δ=4-4f（t）≥0，即，f（t）≤1，即，，或，或，解得-1≤t≤0，因此，實數t的取值范圍為[-1，0]。

三、不等式證明題的解題策略

不等式證明習題給出的已知條件不多，題干較為簡潔，但卻比較抽象，常考查學生靈活應用基本不等式性質、定理的能力。解答該類習題時應明確常用的證明思路，如作差、作商，運用基本不等式等，尤其應用基本不等式時應注重相關的變形公式，明確不等式取等號時滿足的條件。同時，還應充分利用題干給出的已知條件，進行巧妙的轉化，以實現順利求解。

例3，已知a，b，c為正數，且滿足abc=1。證明：

（1）≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24

該題目為2019年全國一卷理科數學中的題目。題目難度并不大，學生只要能夠熟練應用基本不等式知識都能得全分。問題（1）應用完全平方式進行證明，即，∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，即，a2+b2+c2≥ab+bc+ac，又∵abc=1，則ab+bc+ac=，當且僅當a=b=c=1時等號成立，即，≤a2+b2+c2;對于問題（2）由（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥3=3（a+b）（b+c）（a+c）≥3×（2）×（2）×（2）=24abc，當且僅當a=b=c=1時取等號，又∵abc=1，∴（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24。

四、總結

總體來看，不等式選講部分的題型難度并不大，主要考查學生靈活應用基礎知識的能力，因此，教學中應抓住這一特點，為學生深入細致的講解不等式的性質、相關定理，使其牢固記憶，深入理解。同時，還應結合具體例題為學生講解相關解題策略，并鼓勵學生在聯系中多進行總結，積累不同題型的解題經驗與技巧，進一步提高解題效率。

參考文獻

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