統(tǒng)計試題得分低的原因與應(yīng)對策略
——以2020 年福建省質(zhì)檢理科第20 題為例

王淼生 黃 勇

（1.廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361003；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

一、試題呈現(xiàn)

為貫徹落實黨中央全面建設(shè)小康社會的戰(zhàn)略部署，某貧困地區(qū)的廣大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準(zhǔn)扶貧”工作.截至2018 年年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000 元的小康標(biāo)準(zhǔn)，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康.2019 年7 月，為估計該地區(qū)能否在2020 年全面實現(xiàn)小康，統(tǒng)計了該地區(qū)當(dāng)時最貧困的一個家庭2019 年1 月至6 月的人均月純收入，作出散點圖如下：

根據(jù)相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)其家庭月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系（記2019 年1 月，2 月…分別為x=1，x=2，…，以此類推），由此估計該家庭2020 年能實現(xiàn)小康生活.但2020 年1 月突如其來的新冠肺炎影響了奔小康的進(jìn)展，該家庭2020 年第一季度每月的人均純收入只有2019 年12 月的預(yù)估值的（I）求該家庭2020 年3 月份的人均月純收入；

（II）如果以該家庭3 月份人均月純收入為基數(shù)，以后每月的增長率為a，為使該家庭2020 年能實現(xiàn)小康生活，a至少應(yīng)為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

二、命題宗旨

本題是一道典型的統(tǒng)計綜合試題，主要考查線性回歸方程、等比數(shù)列（通項與求和）、函數(shù)單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）及不等式求解等基礎(chǔ)知識.滲透方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與討論及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.考察抽象概括、推理論證、運算求解及數(shù)據(jù)處理等能力，尤其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

三、規(guī)范解答

（一）對于（I）來說

相關(guān)數(shù)據(jù)代入上述公式得到

（二）對于（II）來說

設(shè)該家庭2020 年人均月純收入為數(shù)列{an}（n=1,2,3,…,12），則a1=a2=a3=500.依題意可知從3 月份起該家庭人均月純收入構(gòu)成以a3=500 為首項、公比為1+a的等比數(shù)列.要使該家庭2020 年能夠?qū)崿F(xiàn)小康生活，則需要滿足：

因“結(jié)果保留兩位小數(shù)”，同時要滿足實際問題，故a≥0.08，即以后每月增長率為8%，該家庭2020 年才能實現(xiàn)小康生活.

注：以上為筆者的詳細(xì)解答過程.命題專家提供的參考答案中沒有呈現(xiàn)（1）中的論證過程，而是直接列出算式：f(a)≥f(0.15)=(1+0.15)10-14 × 0.15-1 ＞0，這顯然不夠嚴(yán)謹(jǐn).嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)的最重要特征，尤其解答題更是如此.

四、剖析得分率低的原因

近年來，統(tǒng)計（或概率統(tǒng)計）綜合題是考試的熱點、重點、難點，并有逐年加大考查力度的趨勢.這類試題不僅文字篇幅較長、信息含量很大、符號圖表密集，而且閱讀理解困難、運算過程復(fù)雜、參考數(shù)據(jù)冗長、參考公式繁雜，不少考生害怕甚至放棄.數(shù)據(jù)表明本題得分率較低（本題滿分12 分，以廈門地區(qū)為例，全市均分2.4 分）.為何得分如此之低？問題癥結(jié)原因何在？

（一）盲目講題，輕視閱讀

不少教師急于解題，追求短、平、快節(jié)奏，沒有培養(yǎng)學(xué)生閱讀的意識.學(xué)生連基本題意都不清楚，教師就已經(jīng)開始滔滔不絕，學(xué)生云里霧里，不知所措.教師應(yīng)該首先引領(lǐng)學(xué)生閱讀，尤其關(guān)注核心詞.比如本題中小康標(biāo)準(zhǔn)、家庭人均年純收入、家庭人均月純收入、散點圖、時間代碼、線性相關(guān)關(guān)系、預(yù)估值、增長率、保留小數(shù)、參考數(shù)據(jù)及參考公式等.

（二）依賴課件，輕視板書

毋庸置疑，多媒體（課件、投影、視頻、音頻等）確實為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了不可或缺的作用.但是一味地依賴課件，一閃而過，也是導(dǎo)致學(xué)生難以深入領(lǐng)悟統(tǒng)計試題的因素.教師應(yīng)該將整個運算過程清晰地板書在黑板上，甚至有些關(guān)鍵環(huán)節(jié)，還需要給予特寫“鏡頭”.只有這樣，學(xué)生才能有充足的時間、足夠的空間，用眼觀看，用手操練，用心琢磨.

（三）追求數(shù)量，輕視質(zhì)量

為了搶進(jìn)度、趕速度，不少教師一節(jié)課動輒講解5～6 道統(tǒng)計（或概率）綜合試題，更有甚者一口氣講9～10 道，這種一味追求數(shù)量的蜻蜓點水式解題教學(xué)，教師看似口若懸河、滔滔不絕，課堂似乎此起彼伏、熱鬧非凡，學(xué)生實則收效甚微，甚至一無所獲.倒不如踏踏實實講解1 道或2 道試題，效果更好.

（四）浮于表面，輕視抽象

史寧中教授認(rèn)為，通過抽象，人們把現(xiàn)實世界中與數(shù)學(xué)相關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的研究對象.統(tǒng)計試題貼近生活，需要教師在適度去生活化、去情景化的過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，這是解決統(tǒng)計（概率）問題的必由之路.讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的抽象過程，體會具體與抽象之間的差異，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).缺少抽象，浮于表面，機械套用公式解題沒有價值.

（五）只顧計算，輕視運算

不少教師以為統(tǒng)計題就是加減乘除、乘方開方等數(shù)學(xué)計算而已.其實，統(tǒng)計學(xué)更多的是數(shù)學(xué)運算.一字之差，天壤之別.數(shù)學(xué)運算歷來是課程和教學(xué)的重點內(nèi)容.數(shù)學(xué)運算并不僅僅是數(shù)學(xué)計算，也不能理解為一般的數(shù)學(xué)計算.這就是為何課標(biāo)［1］將數(shù)學(xué)運算作為六大核心素養(yǎng)之一，而不是數(shù)學(xué)計算.數(shù)學(xué)運算是在理解運算對象基礎(chǔ)上，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，實施運算流程，最后才能求得運算結(jié)果.

（六）關(guān)注結(jié)果，輕視建模

在抽象的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法分析并解決問題.統(tǒng)計題源于生活，需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.教師沒有向?qū)W生充分展示建模過程及數(shù)學(xué)模型，求解就猶如空中樓閣、海市蜃樓.

五、應(yīng)對策略

章建躍博士在其文中憂心忡忡地警示：“通過調(diào)查研究以及收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明，縱使是處于金字塔頂部的重點高中數(shù)學(xué)教師，他們的概率統(tǒng)計知識儲備嚴(yán)重不足，80%以上的教師對大部分概率統(tǒng)計基本概念的認(rèn)識都處于模糊狀態(tài)，理解深度不夠，缺乏用這些概念答疑解惑的能力，影響概率統(tǒng)計知識的教學(xué)效果.”［2］

對于一線教師，要想達(dá)到深度理解概率統(tǒng)計基本概念的境界，絕非一朝一夕，還需從長計議，逐步提高.但是，至少目前可以在強化閱讀、落實細(xì)節(jié)、滲透思想、培養(yǎng)素養(yǎng)，尤其在恢復(fù)心態(tài)等方面做得更好一些.

（一）強化閱讀

教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，遵循通讀（整體瀏覽、了解概況：統(tǒng)計模塊、線性回歸、數(shù)列求和等）→深讀（把握方向、構(gòu)建框架：“出場”順序、推導(dǎo)公式、運算求解）→精讀（關(guān)鍵信息、抽象概括、精準(zhǔn)建模）流程.對于有些試題，甚至需要多次通讀→深讀→精讀，達(dá)到螺旋上升.其中關(guān)鍵在于精讀，以本題為例，精讀包括：

1.讀懂“散點圖”信息：依據(jù)2019 年1 月至6 月的人均月純收入作出，散點圖僅僅精準(zhǔn)看出x而不能得到y(tǒng)的確定值，如何求解呢？

2.清楚“小康標(biāo)準(zhǔn)”含義：農(nóng)村家庭人均年純收入8000 元，也就是說12 個月中每個月的純收入之和不小于8000 元，如何計算呢？

3.明確“時間代碼”意義：2019 年1 月，2 月…分別為x=1，x=2，…，以此類推.2020 年3 月份的人均月純收入可以看作x=15 對應(yīng)的預(yù)估值嗎？

4.理解“線性相關(guān)”關(guān)系：家庭月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，也就是說需要依據(jù)散點圖求出線性回歸方程，如何求解呢？

6.使用“參考數(shù)據(jù)”時機：為何列出一連串的參考數(shù)據(jù)？如何使用這些參考數(shù)據(jù)？何時使用這些參考數(shù)據(jù)？這些參考數(shù)據(jù)僅僅用于計算嗎？對探究運算方向有何引領(lǐng)作用？為數(shù)學(xué)建模做了何種鋪墊呢？

（二）落實細(xì)節(jié)

“細(xì)節(jié)決定成敗.”與其狂轟亂炸，倒不如講透一道試題更有效.筆者整整花了一節(jié)課才把此題講解清楚.那本題該如何講評呢？

1.“出場”順序——求解線性回歸方程是一個“組裝”過程求解回歸直線是多種“零配件”“組裝”過程.既然“組裝”，就應(yīng)該安排好“零配件”“出場”順序.如何確定與“出場”次序呢？為何首先需要求出與？如何求？怎樣得到？涉及的公式有幾個？本題借助哪個公式才能求？提供的公式是否能夠求出？如何推導(dǎo)另一個公式求？兩個公式有何差異？的含義是什么？的作用是什么？求出目的何在？筆者閱卷發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生東一榔頭西一棒，缺胳膊少腿現(xiàn)象普遍存在.

2.善待公式——借力參考公式是確定運算方向的摸索過程

命題專家為何給出參考公式：(1+a)n≈1+？這個參考公式有何作用？為何不直接使用學(xué)生熟悉的二項式定理而專門給出這個參考公式？目的何在？可以不“搭理”這個參考公式而直接使用二項式定理嗎？為何給出限制條件：n≥10？限制條件：|a|＜0.15 意味著什么？如何創(chuàng)造“機會”靠近這個條件？這個參考公式為后續(xù)運算指點了什么方向？怎樣使用這個參考公式？何時使用這個參考公式？筆者閱卷發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生不善于或根本不會使用這個參考公式，導(dǎo)致前功盡棄.

3.回歸實際——尋求增長率是“多兵種”數(shù)學(xué)建模過程

統(tǒng)計學(xué)就是研究如何搜集、整理、分析生產(chǎn)、生活中的數(shù)據(jù)以及由數(shù)據(jù)分析結(jié)果作出科學(xué)決策.增長率a意味著什么？建立何種數(shù)學(xué)模型？等比數(shù)列公比q與增長率有何關(guān)聯(lián)？為何a=1+a而不是q=a？等比數(shù)列首項為何不是a1而是a3？求解結(jié)果如何回歸實際問題？如何滿足實際問題？筆者閱卷發(fā)現(xiàn)，縱使少數(shù)學(xué)生計算得到a≥0.07，純粹從純數(shù)學(xué)“四舍五入”而沒有兼顧實際問題來處理“結(jié)果保留兩位小數(shù)”，導(dǎo)致最后增長率是7%而不是8%.

（三）滲透思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)靈魂，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，它對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展起著重要作用.本題滲透了方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，尤其分類與討論思想.分類與討論思想大致分為兩類，一類是數(shù)學(xué)概念自身需要分類，比如指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)a分a＞1 及0 ＜a＜1，等等.這類是常見的，學(xué)生基本掌握.另一類則是因為運算或者化簡需要，這一類往往與運算對象、方法選擇有關(guān)，并常常為數(shù)學(xué)運算指明方向.比如，面對高次（10 次）不等式①：(1+a)10-14a-1≥0，必須降次.如何降次？如果采用學(xué)生熟悉的二項式定理展開，其本質(zhì)仍然還是高次（10 次），于是只能尋求命題專家給出的參考公式：(1+a)n≈1+.能夠直接利用這個參考公式嗎？不能！為什么？因為首先要滿足使用公式的先決條件：|a|＜0.15，于是順理成章地進(jìn)行分類：|a|＜0.15 及|a|≥0.15.這類分類討論在統(tǒng)計（概率）綜合試題的運算中體現(xiàn)得淋漓盡致.

（四）培養(yǎng)素養(yǎng)

統(tǒng)計（概率）試題綜合考查學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)思維分析問題、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識解決問題的絕佳素材，是全面落實立德樹人、發(fā)展素質(zhì)教育的具體案例，是優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的典范，這正是近年來統(tǒng)計（概率）試題成為高考熱點、重點的緣由，更是逐年加大考查力度的依據(jù).以本題為例，數(shù)學(xué)建模（等比數(shù)列、構(gòu)造函數(shù)等）；數(shù)據(jù)分析（保留小數(shù)、回歸實際等）；數(shù)學(xué)運算（等比求和、解不等式等）；邏輯推理（證明遞增函數(shù)、推導(dǎo)公式等）；直觀想象（由圖思數(shù)：散點圖；從數(shù)想式：由參考數(shù)據(jù)：≈62.81，聯(lián)想到一元二次方程（或不等式）的判別式）.其中，數(shù)學(xué)抽象則貫穿于數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析及直觀想象整個過程.

（五）恢復(fù)心態(tài)

客觀地講，本題并非新題，只是重新包裝而已，這類試題比比皆是，如2015 年全國卷I 理科第19 題與本題極其相似.其實，本題難度并不是很大，為何得分率如此之低？筆者通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生心里害怕統(tǒng)計試題，看到大量文字、符號、圖表就直接放棄，這也是造成得分極低的關(guān)鍵原因.長期以來，學(xué)生屢考屢錯，教師屢錯屢講；學(xué)生一錯再錯，教師大講特講，形成怪圈：錯了再講，講了再考，再考又錯，錯了再考.教師疲于講解，學(xué)生被動應(yīng)付.“心態(tài)決定一切.”學(xué)生長期堆積起來的厭煩心情、害怕心理、逃避心態(tài)，急切需要教師和風(fēng)細(xì)雨地促膝溝通，急切需要情真意切地心靈安撫，急切需要教師踏踏實實地細(xì)膩講解，率領(lǐng)學(xué)生一點一點、一步一步、一次一次地走出困境.隨著教師教學(xué)策略的優(yōu)化、專業(yè)素養(yǎng)的提升，隨著學(xué)生心態(tài)的調(diào)整、信心的恢復(fù)，相信學(xué)生一定能夠敢于正視統(tǒng)計試題，善于解決統(tǒng)計試題.