R2中半線性橢圓型方程多解的存在性

張亞靜，李巧琴，龐璐

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

0 引言

我們研究以下半線性橢圓型方程:

(1)

其中Ω是R2中一個光滑有界區域,g∈C0(Ω)是一個非負且不恒為零的函數,λ≥0,γ≥0,函數f滿足次臨界增長條件。f在+∞處滿足次臨界增長條件是指對一切β>0都成立

f在-∞處滿足次臨界增長條件可類似定義。

近年來,很多人研究與問題(1)相關的方程:

(2)

當空間維數N≥3時,具有物理與幾何背景的方程

(3)

自從20世紀80年代以來得到了廣泛研究。Brezis和Nirenerg在他們著名的論文[11]中指出該問題解的存在性不僅依賴于λ,而且與空間維數N有密切關系。鄧引斌[12]以及朱熹平等人[13]研究了下面的非齊次問題

(4)

受到以上研究工作的啟發,我們研究問題(P)γ。設函數f滿足:

(H1)f∈C1(R,R),f(0)=f′(0)=0,f(t)t≥0,?t∈R;

(H2)f(t)-f(s)>f′(s)(t-s),?0≤s

(H3)存在獨立于f的常數α>1，使得αf(t)≤f′(t)t,?t≥0;

這些假設條件相對比較簡單, 比如(H3)是著名的Ambrosetti-Rabinowitz類型的條件,(H4)也是很常見的條件。

則稱u是問題(P)γ的一個解。

我們獲得如下的結果。

定理1 假設函數f在±∞處滿足次臨界增長條件。對任意的λ∈(0,λ1),存在一個正數γ*使得當γ∈(0,γ*)時,問題(P)γ存在一個正極小解(極小解的定義將在第1節給出);當γ∈(γ*,+∞)時,問題(P)γ不存在正解。

定理2 假設函數f在±∞處滿足次臨界增長條件。對任意的λ∈(0,λ1),γ∈(0,γ*)(即定理1中的γ*),問題(P)γ至少存在兩個解。

1 第一個解的存在性

本節將使用單調迭代法證明第一個解的存在性。

由于函數f具有次臨界增長,故存在常數C和β使得

|f(t)|≤Ceβt2,?t∈R。

證明由條件(H4)可知存在常數C>0使得

再由條件(H3)可知

(α+1)F(t)≤f(t)t, ?t≥0。

因此

取C1=-mint≥0[f(t)-(λ1-λ)t],我們可得

f(t)≥[λ1-λ]t-C1, ?t≥0。

(5)

于是

因此

由(5)式可得

故

引理2 對任意λ∈[0,λ1),當γ充分小時, (P)γ至少存在一個正解。

證明既然f′(0)=0,那么存在ε>0使得

f(εφ1(x))<[λ1-λ]εφ1(x), ?x∈Ω。

令

(6)

(7)

由(6)可得

(8)

類似地,由(7)可得

(9)

從(8)中減去(9)并且令ψ=(u1-w1)+,我們得到

因此ψ=0,于是u1≤w1在Ω上幾乎處處成立。

類似地,由上、下解的定義以及(6)和(7),我們可以證明u0≤u1且w1≤w0。

我們接著使用歸納法來證明:un≤un+1≤wn+1≤wna.e.x∈Ω,?n=0,1,2,…當n=0時上式顯然成立。歸納假設

un-1≤un≤wn≤wn-1a.e.x∈Ω。

由(6)和(7)可得

(10)

(11)

因此un+1≤wn+1a.e.x∈Ω。 類似地我們可以證明un≤un+1以及wn+1≤wn。

由前面的兩個結論可知

令

顯然,u(x)≤w(x)a.e.x∈Ω。在(10)中取ψ=un+1可得

在(10)中令n→∞可得

類似地可知w也是(P)γ的一個弱解。然而,我們并不知道二者是否是兩個不同的解。

un≤U≤wn, ?n。

令n→∞可得

u≤U≤w，

(ii)當γ充分小時,引理2所得到的解實際上是(P)γ所有正解中的一個極小解。

引理3 對λ∈[0,λ1),存在正常數γ*使得當γ∈(0,γ*)時,(P)γ至少存在一個正解;而當γ>γ*時,(P)γ無正解。

證明令

(P)γ都存在至少一個正解}。

由引理1和引理2可知γ*的定義是合理的。

任意取定γ0∈(0,γ*),我們取δ>0使得γ0+δ<γ*，設uγ0+δ是(P)γ0+δ的一個解。易知0是(P)γ0的一個下解并且uγ0+δ是一個上解。運用與引理2證明過程同樣的方法可以得到(P)γ0的一個解uγ0，由注1可知uγ0是一個極小解。

再由類似的方法可知當γ>γ*時,(P)γ無正解。

引理4 假設λ∈[0,λ1),γ∈(0,γ*),其中γ*在引理3中定義。再設uγ是(P)γ的極小解,則

(12)

可以達到且τ>1。

因此|ψn|2是有界的。既然

因此當n→∞時,

由Lebesgue控制收斂定理可得

因此ψ0達到τ。顯然|ψ0|也可以達到τ,所以不妨假設ψ0≥0,x∈Ω， 由Lagrange乘子法可知

(13)

(14)

由(13)和(14)可得

因此τ>1。

引理5

其中，

S={uγ|γ∈(0,γ*)},uγ是(P)γ的一個極小解。

證明對任意uγ∈S,由引理4可知

于是

(15)

顯然

(16)

由(15),(16)以及條件(H3)可知

既然

我們得到

此處δ>0充分小且滿足

因此存在僅依賴于λ1,λ,α,γ以及g的正常數C2使得

(17)

由(16)和(17)可得

因此存在獨立于γ的正常數C使得

‖uγ‖≤C。

(18)

現在我們證明定理1。

假設γjγ*且uγj∈S，由引理5可知存在一個序列,不失一般性,仍記為{uγj},使得在中uγj弱收斂于u*,在L2(Ω)中uγj→u*,uγj(x)→u*(x)a.e.x∈Ω，易知u*是(P)γ*的一個解。對任意γ≥0,0都是(P)γ的一個下解。因此我們可以使用單調迭代法獲得一個極小解。

2 第二個解的存在性

我們引入下面的問題

(19)

為了獲得(P)γ的第二個解只需證明(19)存在一個非平凡解。這樣uγ+v就是(P)γ的第二個解。

引理6 假設f具有次臨界增長,那么J滿足Palsis-Smale條件。

(20)

(21)

由條件(H1)和(H4)可知對任意ε>0都存在tε>0使得

F(t)≤εf(t)t, ?|t|≥tε。

(22)

既然f具有次臨界增長,故

|f(t)|≤Ceβt2, ?t∈R。

(23)

由(20)和(21)可知

(24)

在(21)中取ψ=vn+uγ可得

o(1)‖vn+uγ‖=

(25)

將上面的不等式代入(24)可得

c+o(1)≤Cε‖νn‖+C。

既然

(26)

利用(23)以及和文獻[16]中(3.9)相同的原因，我們可得存在q>1以及常數C′使得

(27)

(21)減去(26)并且令ψ=vn-v可得

o(1)‖vn-v‖。

既然

|f(vn+uγ)-f(v+uγ)|q|vn-v|q′≤

2C′|vn-v|q′→0,

可得

令

h(x,t)=f(t+uγ(x))-f(uγ(x))-f′(uγ(x))t,

則

引理7 對λ∈[0,λ1),γ∈[0,γ*),問題(19)存在非平凡解。

證明我們首先表明存在η>0,ρ>0使得對‖ν‖=η,成立

J(v)≥J(0)+ρ。

(28)

由中值定理可得

h(x,t)=f(t+uγ)-f(uγ)-f′(uγ)t=

f′(uγ+θt)t-f′(uγ)t, (0<θ<1)，

于是,存在δ>0使得

(29)

由(23)可得對q>2,成立

H(x,t)≤Ce2βt2|t|q,?x∈Ω,|t|≥δ。

(30)

由(29)和(30)可得

(31)

于是,由Trudinger-Moser不等式可得

J(v)-J(0)=

因此如果我們取‖ν‖=η充分小，則(28)成立。

(32)

由條件(H1)和(H4)可知存在常數C3>0使得

于是,存在正常數C4和C5使得

F(t)≥C4|t|p-C5, ?t∈R。

因此

這樣我們就驗證了(32)成立。

應用山路定理(參見文獻[17]中定理4.8.5)引理得證。

由引理7立刻證明了定理2。