單位根原假設下的持久性變點檢驗

秦瑞兵，王文華

(山西大學 數學科學學院,山西 太原 030006)

0 引言

在過去二十多年中,越來越多的證據表明,經濟和金融時間序列呈現出持久性變化,特別是通貨膨脹率序列、短期利率、財政赤字和實際產出。由于序列的平穩性決定著數據建模方法的不同,持久性變點問題在實際應用中有較大的價值,因此吸引了較多研究者的興趣。Kim等[1-2]提出了比率統計量來檢驗持久性變點問題。Busetti和Taylor[3]應用比率檢驗進一步研究了原假設是序列具有確定性趨勢函數時持久性變點檢驗問題。Han等[4],Chen等[5]則運用比率方法討論了方差無窮厚尾序列持久性變點的檢驗和估計問題。Chen和Tian[6]基于核回歸殘差提出比率統計量對非參數回歸模型在固定和隨機設計情形下的方差變化進行了監測。Yang和Jin[7]則討論了新息為厚尾情形的持久性變點檢驗問題。Chen[8]通過滑動核加權方差比率統計量來監測方差無窮序列的持久性變點。Kejriwal[9]基于序貫檢驗給出了一種持久性變點個數的估計。

上述這些研究都是在原假設為平穩過程下,采用比率方法對持久性變點問題做了分析,而諸多宏觀經濟數據大多為單位根過程。當過程為單位根過程時,以上結果會出現經驗水平扭曲的問題,因此Banerjee等[10]和Leybourne等[11]均采用DF型比率統計量對原假設為單位根過程的持久性變點問題進行了分析。Leybourne等[12]進一步分析了上述DF型比率統計量在含有持久性變點的備擇假設下的漸近性質。但文獻[12]的模擬表明,該DF型檢驗統計量不能較好地控制經驗水平,為此本文采用回歸殘差比率的方法來檢驗在原假設為單位根過程的持久性變點問題。數值模擬結果表明,與文獻[12]相比,本文檢驗能很好地控制犯第一類錯誤的概率,較大地改善了經驗水平的扭曲現象,在有限樣本下有較好的經驗勢,并且當原假設為平穩過程,本文方法的經驗水平也較文獻[12]有所改進。

1 主要結果

考慮時間序列模型

(1)

其中ρ1,ρ2≤1是未知參數,k*=[Tτ*]是未知變點,[Tτ*]表示不超過Tτ*的最大整數,隨機項ut滿足以下的假設條件:

假設1

(1)E(u)=0;

(2)E|u|γ+ε<∞,γ>2;

基于(1)式的數據生成過程,原假設H0:隨機過程{yt}在整個樣本區間上是一個單位根過程,即ρ1=ρ2=1;備擇假設為H01:隨機過程{yt}在時刻[Tτ*]從平穩過程變化到單位根過程,即ρ1<1,ρ2=1,或者備擇假設為H10:隨機過程{yt}在時刻[Tτ*]從單位根過程變化到平穩過程,即ρ1=1,ρ2<1。

針對上述假設檢驗問題,定義

定義下面的比率檢驗統計量

定理1 在假設1成立的條件下,在原假設H0下,有

其中“?”表示弱收斂,

其中

當原假設成立時,由假設1可知,對于

及

其中W(r)是維納過程,并且由Chan和Wei[13]的泛函中心極限定理和連續映照定理得

T-3/2S1,[Ts](k)=

從而

同理對于0

T-3/2S0,[Ts](k)=

因此

故由連續映照定理得

證畢。

定理2 在假設1成立的條件下,在備擇假設H01下,有

其中“?”表示弱收斂,

證明當備擇假設成立時,可能的變點位置存在兩種情形:第一種情形是位于真實變點位置k*之前,即0

1) 對于第一種情形0

對于統計量的分子部分,當τ≤s<1時,

(2)

并且由連續映照定理得,τ*≤r<1,

-W(τ*)}dr≡σuψ3(τ,s),

(3)

則

從而可得

2) 對于第二種情形k*=[Tτ*]

根據(2)式和(3)式的證明易得出,τ*≤r≤τ, 0

從而

最后綜合第一種情形和第二種情形的結果,可以得到

證畢。

注:定理2表明該統計量將以速度T2發散到無窮大,且其勢函數與真實變點位置有關。

2 數值模擬

本節通過數值模擬分析本文檢驗方法的有限樣本性質,并將新方法的經驗水平和勢與文獻[11]提出的R統計量進行了比較。為模擬本文統計量RT的臨界值,先生成T個獨立同分布的正態隨機數,由泛函中心極限定理可以獲得維納過程的一次實現,再應用隨機積分的定義得到極限分布的一個觀測值,重復觀測10 000次得到經驗分位數。表1列出了不同樣本量下經10 000次循環得到的臨界值。

采用如下模型

yt=αyt-1+εt-θεt-1,t=1,2,…,T,

并設參數α=(1, 0.9, 0.5, 0.0),θ=(0, 0.6, -0.6)生成模擬數據。分別取樣本量為60,120和240,在5%檢驗水平下模擬經驗水平。表2給出了RT統計量在不同參數組合下經5 000次循環得到的經驗水平,并與文獻[12]的方法進行了比較。從結果可以看出:(1)在單位根原假設下,文獻[12]的R統計量經驗水平扭曲較大,尤其是當θ=0.6時,經驗水平隨著樣本量的增加有逐漸增大的趨勢,這使得在區分序列是服從單位根還是存在變點時更容易拒絕單位根原假設。和文獻[12]相比,本文統計量的經驗水平隨著樣本量的逐漸增大而逐漸接近于設定的檢驗水平,尤其當樣本容量為T=240時能很好地控制經驗水平,說明本文的統計量能較為準確地區分序列中是否存在持久性變點的情況。(2)對于平穩性原假設,文中統計量的經驗水平仍然更為接近預先設定的檢驗水平,因此,即便檢測序列是平穩的,但只要沒有持久性變點,本文的檢驗也不會拒絕無變點的原假設。

表1 臨界值

表2 經驗水平

采用數據生成過程

設參數α=(0.9, 0.5, 0.0),τ*=(0.3, 0.5, 0.7)。分別取樣本容量為T=60,120,240,在5%檢驗水平下做模擬,得到經驗勢。表3給出了文中統計量在不同參數組合下經5 000次循環得到的經驗勢函數。由表可見:(1)變點位置越靠后時經驗勢最高,說明變點位置較靠后時更容易檢測出變點的存在。(2)隨著樣本量的增加,經驗勢函數在增加。(3)與Leybourne等[11]的R統計量相比,本文統計量總體上有更高的經驗勢。

3 結論

基于回歸殘差,本文應用比率統計量研究原假設為單位根過程的持久性變點檢驗問題,在原假設下得到漸近分布,同時得到備擇假設下的一致性。數值模擬結果表明,本文方法能很好地控制經驗水平,在備擇假設下較靠后的變點都有很好的檢驗效果,甚至在平穩原假設下經驗水平也能較好地接近設定的檢驗水平,因此不會拒絕無變點原假設。此外,本文假設為AR(1)模型,應用BN分解定理,可將本文結論推廣到一般線性過程。