F=1自旋相干態(tài)在外場中的量子演化

師春娟,張杰

(太原理工大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院,山西 太原 030024)

0 引言

自旋相干態(tài)(spin-coherent-state) 的演化首先是在贗自旋F=1/2多粒子系統(tǒng)中[1]提出的,其中3個自旋正交算符屬于SU(2)群,并滿足對易關(guān)系[Jx,Jy]=i?Jz。近年來,越來越多的目光集中于自旋壓縮態(tài)和多粒子量子糾纏態(tài)的制備[2],這些都是由自旋相干態(tài)在非線性效應(yīng)的驅(qū)動下演化而來。特別是自旋壓縮態(tài),已經(jīng)在量子信息[3]、量子模擬[4-5]、 高精度測量[6-7]以及原子干涉儀[8]等方面顯示出廣泛的應(yīng)用前景,一些實驗已經(jīng)在如何實現(xiàn)自旋壓縮態(tài)方面取得成功[9-10]。

F=1旋量玻色愛因斯坦凝聚體(BEC)又稱為3能級系統(tǒng),由于其具有內(nèi)部自旋自由度,且已經(jīng)在光阱[11]中實現(xiàn),經(jīng)常被看作是制備壓縮態(tài)和糾纏態(tài)[12]的最佳選擇。這個多粒子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以用SU(3)群描述,并表現(xiàn)出復(fù)雜的量子磁序[9-13],而傳統(tǒng)的自旋角動量空間{Jx,Jy,Jz}只是SU(3)群空間的一個子空間,換句話說,系統(tǒng)中的物理量除了傳統(tǒng)的自旋角動量算符外,還有所謂的四極矩算符,并可以表述成一組3×3的矩陣,二者的組合將引入更多自由度和新物理量。在贗自旋F=1/2多粒子系統(tǒng)中,只有傳統(tǒng)的自旋角動量空間{Jx,Jy,Jz},且任意泡利矩陣的平方是單位矩陣,任意兩個不同泡利矩陣的反對易關(guān)系為0。而在自旋F=1系統(tǒng)中,任意自旋矩陣的平方不再是單位矩陣,而是對應(yīng)的四極矩張量矩陣。另外,我們不難注意到,自旋F=1/2系統(tǒng)在Fock態(tài)|n1,n2〉(又稱Dicke態(tài))表象中有如下關(guān)系:

(1)

1 SU(3)結(jié)構(gòu)

為了更好地理解自旋F=1系統(tǒng)的性質(zhì),我們首先引入SU(3)群的概念。自旋F=1的單粒子密度矩陣可分為單極、偶極和四極矩[9],具體可以分為3個偶極(角動量)算符Jμ(μ=x,y,z),在自旋z軸表象中表示為一些3×3的矩陣

(2)

(3)

(4)

2 非線性哈密頓量和自旋相干態(tài)

2.1 非線性哈密頓量

外場中自旋F=1玻色凝聚體的哈密頓量二次量子化形式可寫成對稱部分和反對稱部分以及偶極-偶極相互作用三項之和[14-15]H=HS+HA+HD:

(5)

自旋角動量算符滿足如下關(guān)系:

(6)

(7)

(8)

2.2 自旋相干態(tài)在粒子數(shù)表象中的表示

自旋相干態(tài)(簡稱CSS) 指的是具有內(nèi)部自旋自由度的粒子在初始時刻的自旋狀態(tài)完全一致,并且隨著時間增長,所有粒子的狀態(tài)始終保持一致地變化。我已經(jīng)知道,不考慮內(nèi)部自由度的N個全同玻色子構(gòu)成的標(biāo)量BEC可以描述成Fock態(tài)的形式,如

而如果要考慮內(nèi)部自由度,我們只需要將上述表達(dá)式做如下擴(kuò)展:

(9)

(10)

由于自旋相干態(tài)中各粒子之間不存在關(guān)聯(lián),我們可以直積N次以獲得足夠多的粒子數(shù)。在自旋F=1系統(tǒng)中,粒子數(shù)占據(jù)態(tài)(Fock態(tài))表述為|n1,n0,n-1〉三組分的形式,因此F=1自旋相干態(tài)可以表示為

(11)

(12)

它由一系列三分量Fock態(tài)|n1,n0,n-1〉疊加而成[18-19],如果令

n1-n-1=m,η=n1+n-1=N-n0,

可以將Fock態(tài)改寫成類Dicke態(tài)模式:

(13)

而在兩分量F=1/2贗自旋系統(tǒng)中,自旋相干態(tài)表示為

(14)

我們可以看到,其中的m=0分量是區(qū)別于F=1/2和F=1系統(tǒng)的關(guān)鍵因素。

自旋F=1角動量升降算符滿足:

(15)

(16)

(17)

事實上,真正角動量本征態(tài)也是一系列Fock態(tài)的疊加,可以寫成

(18)

3 結(jié)果與討論

在這一部分我們討論外場中一階和二階塞曼效應(yīng)對自旋相干態(tài)動力學(xué)的影響,并計算總自旋期望值(屬于一階關(guān)聯(lián))和壓縮系數(shù)(二階關(guān)聯(lián))的演化。

3.1 沒有外磁場時的演化

(19)

(20)

(21)

(22)

詳見附錄B。壓縮系數(shù)是刻畫非線性效應(yīng)的重要參數(shù),其定義為:

(23)

其中:

(24)

這一結(jié)果同樣與數(shù)值計算結(jié)果完全一致。我們的解析結(jié)果可以很好地用來研究壓縮率和粒子數(shù)的關(guān)系,如圖1(c)所示。嚴(yán)格對角化數(shù)值計算的矩陣規(guī)模會隨粒子數(shù)而指數(shù)增長,顯然我們的解析結(jié)果在研究大粒子數(shù)情況有獨特優(yōu)勢。

圖1 (a)平均自旋的演化; (b)自旋壓縮參數(shù)ξ2的演化,總粒子數(shù)N=20,黑色實線和紅色虛線分別表示解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果;(c)壓縮隨總粒子數(shù)的變化關(guān)系Fig.1 (a) (Color online) The evolution of the average spin (b) the spin-squeezing parameter ξ2 with total particle numbers N=20.The black solid line and the red dashed line denote the analytical and numerical results respectively;(c) the dependence of spin-squeezing parameter ξ2 on the total number N.

3.2 受外磁場影響的相干態(tài)的演化

如果磁場受到弱磁場作用影響,塞曼分裂是線性的,二階塞曼效應(yīng)可以略去，有效哈密頓量為

(25)

初始總自旋的演化為

(26)

圖2 (a)平均自旋的演化;(b)自旋壓縮參數(shù)ξ2的演化,總粒子數(shù)N=20,黑色短虛線和粉色實線分別表示p=0、p=30的結(jié)果Fig.2 (a) (Color online) The evolution of the average spin the spin-squeezing parameter ξ2with total particle numbers N=20.The black short-dashed line and the orange solid line denote the p=0 and p=30 results， respectively.

(27)

我們計算出二階關(guān)聯(lián):

發(fā)現(xiàn)壓縮系數(shù)也被調(diào)制,如圖2(b)所示。其中

a1=1-(cosμ)2N-2(cos2α),

(28)

(29)

當(dāng)考慮微波驅(qū)動交流塞曼效應(yīng)時,二階塞曼效應(yīng)參數(shù)q的正負(fù)號可以通過紅藍(lán)失諧來改變。這對于調(diào)節(jié)自旋相干態(tài)給出了重要手段,我們首先考慮二階塞曼項占主導(dǎo)情況:

(30)

圖3 (a)平均自旋的演化; (b)自旋壓縮參數(shù)ξ2的演化,總粒子數(shù)N=20,黑色短虛線和紅色實線分別表示q=0和q=30的結(jié)果; (c)展示的是壓縮演化的細(xì)節(jié)圖Fig.3 (a) (Color online) The evolution of the average spin (b) the spin-squeezing parameter ξ2 with total particle numbers N=20，The black short-dashed line and the red solid line denote the q=0 and q=30 results，respectively;(c) the details of spin-squeezing parameter ξ2.

平均自旋演化為

(31)

[(N-1)(1+cos(2μ-2q)+(cosμ)2)]+

C=A+N。

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

初態(tài)演化是

圖4 (a) 平均自旋的演化;(b)自旋壓縮參數(shù)ξ2的演化,總粒子數(shù)N=20,黑色短虛線和紫色實線分別表示p=q=0和p=q=30Fig.4 (a) (Color online) The evolution of the average spin (b) the spin-squeezing parameter ξ2 with total particle numbers N=20.The black short-dashed line and the red solid line denote the p=q=0 and p=q=30 results， respectively

(38)

[1+cos(2μ+2q)]-(1+cosq))+(cosμ)2N-2cosq],

C=A+N。

(39)

角動量升降算符演化成

4 結(jié)論

附錄ASU(2)子空間和對易關(guān)系

[↓,→]^Jy^Jz^Nyz^Nxz^Nxy^Nxx^Nyy^Nzz^Jxi^Jz-i^Jyi(^Nzz-^Nyy)-i^Nxyi^Nxz02i^Nyz-2i^Nyz^Jyi^Jxi^Nxyi(^Nxx-^Nzz)-i^Nyz-2i^Nxz02i^Nxz^Jz-i^Nxzi^Nyzi(^Nyy-^Nxx)2i^Nxy-2i^Nxy0 ^Nyz-i^Jzi^Jy0-2i^Jx2i^Jx ^Nxz-i^Jx2i^Jy0-2i^Jy ^Nxy-2i^Jz2i^Jz0 ^Nxx00 ^Nyy0

附錄B相干態(tài)動力學(xué)演化在粒子數(shù)表象中的計算

三分量Fock的初始自旋相干態(tài)可以基于Fock態(tài)|n1,n0,n-1〉表示為

|n1,n0,n-1〉。

(A1)

自旋系統(tǒng)的基本演化是

(A2)

(A3)

我們得到以下公式:

(A4)

或

(A5)

此時有:

(A6)

為了計算期望值,我們需要向右移動湮滅算符,向左移動產(chǎn)生算符,

(A7)

(A8)