“工程數(shù)學”之“數(shù)值分析”課堂教學改革的實踐與探討

高翠俠

（江蘇大學理學院 江蘇·鎮(zhèn)江 212013）

0 引言

隨著2017 年新工科建設的提出，“工程數(shù)學”的地位進一步加深，使得對這門課的教學要求也提高了。“工程數(shù)學”是針對工科學生開設的運用數(shù)學理論處理實際工程問題的專門課程，此課程普遍由多門數(shù)學子課程組成，比如矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、復變函數(shù)等。數(shù)值分析（Numerical Analysis）不同于其他子課程，其應用性更強，重在教授學生如何運用數(shù)值計算方法解決實際問題，強調學生的自主性、探索性、合作性和研究性。同時，不同于本科教學，研究生的數(shù)值分析教學更注重于學生能力的培養(yǎng)。

數(shù)值分析教學的目的在于計算理論方法的掌握和解決問題的實踐能力的培養(yǎng)，是數(shù)學計算與工程的結合、理論性與實踐性的結合，為學生各自領域的科研，甚至是以后的工作打下必要的基礎。而對于“工程數(shù)學”中數(shù)值分析的教學，教學內容多、課時少、難度大是普遍存在的問題，[1,2]加之學生前期所學數(shù)學基礎參差不齊，致使教學效果欠佳。因此，應該如何運用有效的課時對教學內容進行優(yōu)化，使得教學效果達到最高，是每一位任課教師需要思考的問題。

1 學情分析

江蘇大學（以下簡稱“我校”）的研究生“工程數(shù)學”課程是依托車輛工程、動力工程、材料工程、機械工程、光學工程、儀表儀器工程、建筑與土木工程等工科專業(yè)碩士研究生的學位課。學習群體涉及多個專業(yè)，同一專業(yè)也會涉及眾多的研究方向，這就對課堂上應用案例的選擇和講授提出了一定的挑戰(zhàn)。而首要的問題是對歷屆選課學生的專業(yè)背景、學術研究中所涉及數(shù)值計算方法等情況進行統(tǒng)計分析。“工程數(shù)學”在各行各業(yè)的實際應用很多，通過對近幾年本人所授工科研究生學生的畢業(yè)論文進行統(tǒng)計，涉及2018-2019 屆300 多篇論文，聚焦得到的核心詞匯見表1。

表1 所研究樣本中涉及數(shù)值計算知識點的統(tǒng)計分析

2 教學存在的一些問題與改革措施

2.1 對教師工科背景知識理解的要求

對學生學情的掌握是首要問題，而接下來的問題就是教師如何實施自己的教學。教學的進一步實施離不開教師對工科背景知識的了解，即教師自身專業(yè)素養(yǎng)的提高。而工科背景缺乏是數(shù)學教師普遍存在的問題之一。教師自身專業(yè)素養(yǎng)的提高包括：將自己的科研與工科教學相結合、更新教學素材、關注學科前沿等等。通過教學，不僅能使學生掌握基本理論，還能縮短基礎知識與學科前沿的距離，調動學生的學習興趣。

作為數(shù)學教師，不能局限于數(shù)學學科的精通，還需要對工科背景或者基礎理論知識有一定的掌握和思考，把各學科之間的聯(lián)系融入到你的課程中來。以如下一個具有突起的開槽里流體流動的伯努利方程[3]為例，

問題就轉化為利用迭代法求解非線性方程 的根

。首先繪制 函數(shù)圖像以確定根的大致區(qū)間，要求精度（絕對誤差） ，最大迭代次數(shù) 。此時，可以分別使用二分法、牛頓法和弦截法對方程組進行求解并進行對比。以上所講的都是數(shù)值計算的問題，而作為教師，還要明確關于伯努利方程的背景、方程中各參數(shù)的含義以及彼此之間的作用關系等等。了解“伯努利原理”是1726 年由丹尼爾伯努利提出的，是在流體力學的連續(xù)介質理論方程建立之前，水力學所采用的基本原理；了解其實質是流體的機械能守恒：動能+重力勢能+壓力勢能=常數(shù)；了解實際應用案例有噴霧器、汽油發(fā)動機的化油器、兵乓球的旋轉等等。

2.2 明確實踐能力培養(yǎng)的教學目標

我校研究生“工程數(shù)學”課程由矩陣論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析三門子課程組成，共36 課時。數(shù)值分析占“工程數(shù)學”總課時的三分之一，共12 課時，具有典型的內容多、課時少特征。從而對數(shù)值分析教學內容的選擇、教學模式、考核方式等都提出了挑戰(zhàn)。

（1）教學內容選擇。內容的選擇依賴于教學的目標，“數(shù)值分析”作為理工科專門開設的一門課程，涉及內容廣，通常包括函數(shù)插值與數(shù)值逼近、線性與非線性方程（組）求解的數(shù)值方法、常微分方程求解等，具有理論證明或推導繁雜、難度大、缺乏應用案例分析的特點。而“工程數(shù)學”中的數(shù)值分析不同，其致力于學生解決工程問題能力、實踐能力的培養(yǎng)。因此，在教學內容選擇時，需擺脫“重理論、輕實踐”的傳統(tǒng)教學模式，即“重原理分析、輕證明推導”“重案例式教學、輕課堂講授”“重交互實驗、輕理論灌輸”。

（2）“理論講授-案例教學-小組研討”的教學模式。傳統(tǒng)的教學模式主要以理論知識講授為主，缺乏與實際問題的聯(lián)系，缺乏因實際問題解決而產生的生-生、師-生之間的互動，這不利于學生分析和解決問題能力的培養(yǎng)，更不利于新工科人才的培養(yǎng)。既然“工程數(shù)學”課程以實踐能力培養(yǎng)為教學目標，那么就在一定程度上決定了教學的方式。工程教學案例的引入，能夠讓學生更加清楚所學的數(shù)值計算方法在自己的領域中如何用、用在何處，真正做到從實際中來再應用到實際中去。教學實踐表明：案例教學以及小組專題研討，有利于提高研究生對本課程的學習興趣，有利于提高研究生的工程應用能力、創(chuàng)新實踐能力和學術研究動力。

（3）綜合的評價與考核機制。數(shù)值分析內容涵蓋較廣、綜合性較大，期末試卷上不能涵蓋所有知識點。既然教學內容和方式在逐步地改變，那么課程的考核方式也應隨之而變化。本課程的定位是培養(yǎng)新工科建設人才，而學生的成績評價是一個重要的環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的閉卷考核方式已不能完全符合新工科人才培養(yǎng)的需求。[4]在通過卷面考試評價學生基礎理論知識學習掌握程度的基礎下，還需創(chuàng)新考試方式，注重考核學生的實際編程能力和應用能力，比如可以將參加數(shù)學建模競賽的成績作為期末成績的參考標準之一。另一方面，充分利用課堂上所采用的教學案例，教學案例的講解一般是伴隨著程序的編寫，此時，可以讓學生通過調節(jié)部分參數(shù)得到新的設定的結果，以培養(yǎng)學生的實際操作能力，這也可以作為期末成績的考核標準之一。

3 打通不同課程之間的壁壘

數(shù)值分析部分的教學要注意與不同課程間的壁壘。首先，是與已有相關數(shù)學或非數(shù)學專業(yè)知識的銜接。作為工科課程，需要修高等數(shù)學、線性代數(shù)和數(shù)學軟件等課程。為了幫助學生加深對知識點的理解和掌握，需幫助學生將重要的相關知識點進行整合，厘清彼此之間的關系，形成一個整體的知識結構框架。例如，在線性方程組求解常用的直接法和迭代法的講解之前，先回憶以前學過的求解方程組的方法有十字相乘法、Gramer法則等，其中Gramer 法則線性代數(shù)中的一種重要的方程組求解判定法則，具有收斂、穩(wěn)定、結論可靠的有點，但是其缺點是計算量大。此外，還要注重教學內容與學生正在學習的專業(yè)課程的相互呼應。

此外，要注重與理工科“數(shù)值分析”課程教學側重點的區(qū)別。除了“工程數(shù)學”中的數(shù)值分析教學內容外，我校還開設了專門的針對理工科研究生的“數(shù)值分析”課程，并且數(shù)值分析是很多高等院校理工科專業(yè)的必修課程。[5]理工科的“數(shù)值分析”課程涉及數(shù)學分析、代數(shù)、微分方程等眾多數(shù)學學科，要求學生修過數(shù)學分析、高等代數(shù)等基本學科，即具備扎實的數(shù)學理論基礎。對于“工程數(shù)學”中的數(shù)值分析課程而言，同樣需要學生具有以上多個數(shù)學學科基礎，但是不乏有學生同時選修“工程數(shù)學”和“數(shù)值分析”兩門課程，此時就要注意區(qū)分教學側重點。比如，理工科“數(shù)值分析”課程較多地注重定理的證明、計算公式的推導，容易與應用脫節(jié)。本課程的教學則要更加注重對案例的講解、借助信息化技術提高學生的體驗感、設計交互實驗增加學生的實踐能力，同時，對于有些理論推導證明可以省略，留給學生課后去閱讀。

最后，還要明確與矩陣論和概率統(tǒng)計課程之間的地位與作用。傳統(tǒng)的“工程數(shù)學”課程體系不系統(tǒng)，多是分別對不同模塊內容進行講解。[2]

4“線上教學”下本課程的機遇

為了落實教育部和學校關于“停課不停教、停課不停學”的政策，高校教師紛紛將教學搬到線上進行，數(shù)學類課程也不例外。數(shù)值分析本身就是面向計算機、強調實踐性的課程。在線下教學時就采用應用案例教學設計與信息技術相融合的教學方式，但是總未充分發(fā)揮學生參與實驗的作用，比如教室投影設備中沒有數(shù)學類軟件等。“工程數(shù)學”課程所涉及的常用數(shù)學軟件有MATLAB,Python,Lingo,Mathematica 等。教學軟件的模擬仿真、動畫展示能夠讓學生產生直觀的體驗，特別是面對復雜的定理和推導公式時。

圖1 不同插值方法和擬合圖形的繪制

線上教學無疑給案例教學、交互實驗等課堂活動帶來機遇。在疫情下，應積極構建信息化的、立體化的教學手段和教學資源，增加學生在課堂中對工程案例實現(xiàn)過程的體驗，打破時間和空間限制。

實驗1 不同插值曲線的繪制以及與曲線擬合的比較。

在講授插值法和曲線擬合內容時，可以借助MATLAB 軟件，讓學生參與運行和修改程序，體驗不同插值方法結果的差異性。程序1 實現(xiàn)了不同插值方法下插值曲線的繪制，以及同一實驗數(shù)據(jù)下擬合曲線的繪制。圖1 給出了實驗結果。觀察實驗結果，學生不僅可以清楚地了解插值與擬合的區(qū)別，還能對分段線性插值、三次樣條插值等不同差值方法、外插風險、誤差等概念有直觀和深入的理解。當然，這就要求學生在掌握算法的同時，還要熟練掌握和運用計算機編程語言。此外，基于這樣一個簡單的實驗，可以隨堂給學生布置小組任務，每一個小組要求提供出一組研究領域相關的實驗數(shù)據(jù)，擬合出一條曲線，使得這個曲線與原始數(shù)據(jù)間的誤差最小。

程序1 不同插值及擬合曲線的多子圖繪制

clc;clear all;

x=1:1:10;y=[15 12 17.5 17 22 16 15.5 14 12 13];

subplot(1,2,1)

xx=1:.25:10;yy=interp1(x,y,xx);plot(x,y,'kd',xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'nearest');plot(xx,yy)

hold on;yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(xx,yy)

subplot(1,2,2)

plot(x,y,'kd')

hold on;polyfit(x,y,4)

5 結束語

針對傳統(tǒng)研究生“工程數(shù)學”中“數(shù)值分析”教學模式中存在的課時少、內容量大、缺少交互實驗等弊端，本文從學生層面、教師層面進行分析，并從教學內容、教學模式、評價機制三個方面做出改革建議，打破傳統(tǒng)的以基本理論為主而忽略學生實踐能力、分析和解決實際問題能力培養(yǎng)的教學模式，更好地發(fā)揮出“工程數(shù)學”這門課程的重要作用。此外，在新冠疫情下，線上教學給學生帶來了全新的體驗。本課程應充分發(fā)揮其面向計算機這一特點，積極提升信息化、多元化、立體化的教學模式與資料，促進學生的學習動力和樂趣，有助于應用型人才、復合型人才的培養(yǎng)。