數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的實踐與研究

王玉敏

吉林師范大學，吉林 四平 136000

一、數(shù)形結合思想的重要性

數(shù)形結合這一重要數(shù)學思想萌芽于古希臘，歐幾里得所著的《幾何原本》就是用幾何的方法來研究代數(shù)問題，而所有代數(shù)問題轉化為幾何問題來解決是古希臘數(shù)學的一個特色。再到后來17世紀笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學，使得“幾何”“代數(shù)”這兩家人終合為一家人，從此之后，數(shù)形結合的思想得到了突飛猛進的發(fā)展。我國的數(shù)形結合始于公元前十一世紀，商高曾提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經(jīng)》記錄著商高同周公的一段對話，商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”公元三世紀，趙爽制作了一副“勾股圓方圖”用數(shù)形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。公元263年左右，劉徽用“割圓術”計算圓周率，公元480年左右，南北朝數(shù)學家祖沖之利用圓的內(nèi)接正24576邊形，進一步得出精確到小數(shù)點后7位的結果，創(chuàng)造了當時世界上的最高水平，領先西方國家1000多年。這些成就都是將數(shù)值代數(shù)和直觀幾何有機地配合起來所得到的。從以上的史實中能看出這一思想從古至今影響深遠，它能使復雜的東西簡單化，抽象的東西直觀化，掌握這一思想在解決問題的過程中可以起到事半功倍的效果。而初中生正處于形象思維向抽象邏輯思維轉化的階段，在教學過程中逐步滲透這一思想能調動學生學習的興趣，培養(yǎng)分析問題能力，提高學習效率，同時也為學生后續(xù)的高中的學習打下堅實的基礎。

二、數(shù)形結合思想的生長過程

美國著名教育心理學家布魯納提出的“螺旋式課程”，就是以與兒童思維方式相符的形式將學科結構置于課程的中心地位，隨著年級的提升，不斷拓廣加深學科的基本結構，使之在課程中呈螺旋式上升的態(tài)勢。不僅課程如此設置，重要的數(shù)學思想也是從初一開始滲透，重復出現(xiàn)，逐漸加深，使之達到熟練應用的目的。

（一）思想的萌芽期

七年級上冊第一章第二節(jié)《數(shù)軸》就是數(shù)形結合思想初次引入的實例，用一條直線上的點表示數(shù)，可以借助圖直觀地表示很多與數(shù)相關的問題。教師可以引導學生利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，即數(shù)軸右邊的數(shù)永遠大于左邊的數(shù)。僅僅借助一個數(shù)軸，學生就可以輕而易舉的理解，可以做到舉一反三。同時數(shù)軸的引入，也為后面學習相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)加減法提供了有用的工具，借助數(shù)軸去理解相反數(shù)、絕對值比起讓學生死記硬背定義要更容易理解，降低了學生的認知難度。尤其在學習有理數(shù)加法時，引入了負數(shù)，該如何加減呢？教材以生活中實際問題為例，“以物體先向右運動5米，再向右運動3米，兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？”然后“物體先向左運動5米，再向左運動3米，兩次運動的最后結果是什么？可以用怎樣的算式表示？”學生根據(jù)所學列出式子，教師引導學生總結法則，接下來給出兩次異向運動，由學生自己探究算式的列法、法則，仿照前面的過程，利用數(shù)軸，學生已經(jīng)可以獨立列出算式，在教師的適當指導下得出有理數(shù)加法法則。

在這一過程中，學生能充分體會到數(shù)軸所帶來的直觀性，感悟到借“形”助“數(shù)”的優(yōu)越性。教師不需要明確指出這是數(shù)形結合思想，只是先讓學生去慢慢感受，讓這一思想在心中萌芽。

（二）思想的生長期

七年級下冊第七章《平面直角坐標系》用有序數(shù)對來刻畫平面內(nèi)點的位置，建立圖形與數(shù)量間的聯(lián)系，明確地將幾何問題與代數(shù)問題聯(lián)系起來，進行相互轉化。

八年級上冊第十四章《乘法公式》中，平方差公式和完全平方公式就是從“數(shù)”和“形”兩方面推導的。首先從數(shù)的方面引入，利用多項式乘多項式法則，學生很容易發(fā)現(xiàn)：

但教師在教學過程中不能到此為止，數(shù)與形二者不可分割，所以接下來要從形的方面去驗證，通過圖形面積的變化直觀感受這兩個公式，體會數(shù)學的整體性。

八年級下冊第十七章《勾股定理》揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關系，然后教材中介紹了“趙爽弦圖”，通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理。勾股定理是從“形”到“數(shù)”，勾股定理的逆定理是從“數(shù)”到“形”，二者互逆，密不可分。這一由圖形中得出的完美的數(shù)量關系，更是引起了人們的廣泛興趣。幾千年以來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都研究過它的證明。可以說，人們已經(jīng)體會到數(shù)形結合這一思想的優(yōu)越性，并能主動運用它解決問題。

八年級下冊第十九章《函數(shù)》，學生首次接觸用函數(shù)的觀點解決運動變化問題，這對他們來說是一個難點，而利用數(shù)形結合就能將難點慢慢攻破。例如如下的問題：

例1．甲乙兩人騎自行車前往A地，他們距A地的路程s（km）與行駛時間t（h）之間的關系如圖所示，請根據(jù)圖像提供的信息解答下列問題：

（1）甲乙兩人的速度各是多少？

（2）求出甲距A地的路程s與行駛時間t之間的函數(shù)關系式。

（3）在什么時間段內(nèi)乙比甲離A地更近？

分析：這道題是典型的“以形助數(shù)”問題，通過圖像完全能夠求出甲乙兩人的速度分別是，第二問通過設一次函數(shù)解析式，代入兩點坐標求出，第三問利用圖像能一目了然看出答案，兩條直線交點即為兩人相遇，相遇之后乙的圖像明顯位于甲的圖像下方，因此在此段時間內(nèi)乙比甲離A地更近，求出時間即可。

例2．1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升。與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0．5m/min的速度上升，兩個氣球都上升了1h。

（1）用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）關于上升時間x（單位：min）的函數(shù)關系；

（2）在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？

（2）最好是利用函數(shù)圖像解決此問題，在同一直角坐標系中，畫出兩個函數(shù)圖像，這兩條直線的交點坐標為(20,25)，說明當上升20min時，兩個氣球都位于海拔25米的高度。

1．思想的成熟期

學生在學習了一次函數(shù)之后，對數(shù)形結合思想已經(jīng)潛移默化的深入他們的意識中，升入九年級，二次函數(shù)的學習可以說將這一思想應用到極致，無處不在。

例1：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過三點A，B，C

（1）求拋物線的解析式和對稱軸。

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得三角形PAB周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

分析：第一問通過圖像觀察到拋物線經(jīng)過三點，可以設解析式的一般形式，然后代入三點坐標；第二問根據(jù)“兩點之間線段最短”作出圖形，直線AC與對稱軸交點即為點P，這就使得原本很抽象的問題在圖上展示的一目了然，降低了問題的難度，提高解決數(shù)學問題的能力，接下來學生只需要計算就可以了。這是數(shù)形結合思想的一個很好的應用。

另外初三下冊的《相似三角形》更是體現(xiàn)了“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”二者相互轉化，密不可分，下面以一道習題為例：

分析：根據(jù)題意，化動點為不動，畫出圖形，接下來從數(shù)的角度切入，利用相似三角形的性質，求出需要的邊長。要解決這一道題，第一步畫出圖形尤為關鍵，第二步需要精準計算，兩步只要有一步缺失，這道題就無法求出，由此可見數(shù)形結合思想的完整性與統(tǒng)一性。

三、對教學提出的幾點建議

（一）首先，教師要引起絕對的重視。作為學生的引導者，教師要有意識地將其融入課堂中來，在概念的教學中，不能只是簡單的一個定義，幾條注意，也不能讓學生死記硬背，這樣不僅浪費時間，而且還會降低對數(shù)學的興趣。在教學過程中，教師要充分利用數(shù)形結合思想，使學生借助圖形，在頭腦中形成數(shù)學模型，來強化相關知識的學習和應用能力。同時要積極引導學生感受在概念形成過程中所蘊含的數(shù)學思想，包括教材中的各種定理、公式以及法則，都是歷代數(shù)學家們智慧的結晶，這也是他們經(jīng)過多次推斷，反復修改，運用數(shù)學思想得出的正確的論斷。比如勾股定理及其逆定理教學過程中，教師要通過大量的圖形演示，深刻體會此定理的發(fā)現(xiàn)和推導過程，帶領學生感悟數(shù)與形的完美統(tǒng)一。

（二）其次應該強化練習。俗話說“授人以魚不如授人以漁”，教學的最終目的是教給學生解決問題的方法，使其能做到會一個而會一類。在講解習題過程中，教師應指引學生怎樣由已知條件實現(xiàn)由形變數(shù)或由數(shù)化形，而不是就題論題或以得出正確結果為最終目的。而且教師要鼓勵學生找解決問題的多種方法，在多種方法中比較得出最簡單的方法。例如在幾何問題中證明兩條線段相等，可以通過證兩條邊所在的三角形全等，還可以利用等腰三角形等角對等邊、垂直平分線的性質等等。總之是為了學生更好地理解數(shù)形結合思想的精髓。

（三）在課堂教學過程中可以充分利用現(xiàn)代多媒體展示數(shù)形結合方法。初中階段的學生抽象思維漸漸形成，但還處于薄弱期，對于有些“運動”的點、線段、圖形可以借助多媒體，讓學生直觀的感受量的變化，可以深刻體會數(shù)形結合這一思想方法的好處，同時又激發(fā)了學生的學習興趣。

（四）在數(shù)形結合的思想下有意識地訓練學生幾種基本能力，包括使用尺規(guī)作圖的能力、問題的推理能力、轉化能力。

（五）在平時的課堂教學中，要深入挖掘數(shù)形結合思想，不能搞“一刀切”，采取循序漸進的策略，必要時可以根據(jù)學生的實際情況進行分層教學，最終目的是希望人人都能得到不同的發(fā)展。

（六）應及時總結歸納，提煉思想方法。只是在知識傳授中以及習題講解過程中運用數(shù)形結合思想方法是不夠全面的，所以在章末復習時，要帶領學生提煉思想方法和如何應用，整理歸納知識點和題目，便于形成知識體系，并在解題過程中養(yǎng)成用這種思想解決問題的習慣。

四、結束語

課程標準明確提出學生除了要掌握必須的數(shù)學知識外，還要掌握基本的數(shù)學思想方法。確實數(shù)形結合思想能夠不斷發(fā)展學生的數(shù)學思維，豐富認知情感，提升數(shù)學素養(yǎng)。因此，教師作為引導者，應該有意識的提升教學的趣味性，不斷豐富教學內(nèi)容，提高教學效率，在教學過程中要合理導入數(shù)形結合思想，使這種思想真正成為學生的一種習慣，一種受益一生的素養(yǎng)。