水中聲速測量實驗的模型修正

沈 玥，周詩韻

(復旦大學 物理學系，上海 200433)

聲速測量是大學物理實驗的基本內容之一[1]，通常采用共振干涉法和相位比較法測量超聲波的波長，乘以超聲信號發生器的頻率，即可計算得到超聲波在特定介質中的聲速. 該實驗的基本原理為：發射換能器發出的聲波與其在接收換能器上反射的聲波相干疊加，當2個換能器間的距離等于半波長λ/2的整數倍時，形成駐波，接收換能器上聲壓波腹達到極大[2]. 當測量介質為空氣時，增大接收器與發射器的距離，接收振幅的極大值單調減小，這表明需要考慮發射聲波的波形、傳播過程中的損耗以及換能器性能的影響[3-6]；當接收器與發射器非常接近時，原本相距λ/2的2次駐波共振極大值之間，出現振幅較小的“次極大”值. 這一現象產生的原因可能與信號源頻率不純導致“次頻”共振[7-9]，聲波在探頭間多次反射[10-11]，以及換能器厚度帶來的相位滯后[12]有關. 同樣的方法可以用來測量水中的聲速，例如研究聲速與水溶液中介質濃度(如NaCl)的依賴關系[13]. 然而在水中，接收器的振幅及相位的變化規律與空氣中不完全相同.

本文研究了水中聲速測量實驗中與原有模型不符的現象. 在介質為水的實驗條件下，沿用空氣中聲波的多次反射模型[10-11]，同時考慮聲波在水-空氣界面處反射的影響，建立了水中聲波的傳播模型. 用Mathematica軟件對模型進行數值模擬，并討論了液面高度對模擬結果的影響. 模擬結果與實驗結果相符.

1 實驗現象與結果

1.1 實驗原理和實驗裝置

從發射源發出的一定頻率的平面波，經過空氣傳播到達接收器. 若接收面與發射面嚴格平行，當兩者距離為半波長λ/2的整數倍時，入射波與反射波相干疊加形成穩定的駐波. 實驗上，連續移動接收換能器，記錄每次接收振幅極大或李薩如圖呈直線時接收換能器的位置，即可通過線性擬合計算出超聲波的波長λ. 聲波波速v可表示為

v=νλ,

(1)

在已知超聲波頻率ν的情況下，即可計算出波速.

使用杭州大華儀器制造有限公司生產的SV-DH-7A聲速測定儀進行實驗，通過配套的SUX-6型信號發生器對發射換能器輸入頻率ν為37.850 kHz的正弦信號. 用固緯公司生產的雙通道DS-1102A-U型示波器同時觀察輸入信號和接收換能器上獲取的信號. 聲速測定儀放置于45.3 cm×14.0 cm×12.4 cm的水槽內. 為考量水-空氣界面對實驗的影響，選擇液面較低(水面距換能器中軸線35.0 mm)和液面較高(水面距換能器中軸線為61.0 mm)的2種情況進行測量.

1.2 異常現象

在水中聲速的測量實驗中，學生在處理實驗數據時，通常以出現駐波時的探頭間距離為y軸，數據的序號為x軸進行線性擬合，斜率即為半波長λ/2. 共振干涉法和相位比較法的擬合優度R2通常可達0.996，計算得到聲速的測量值與標準值的相對偏差小于3%. 在實驗中，學生觀察到與理論預期不一致的“異常”現象，包括：

共振干涉法中，接收波振幅隨2個換能器間距的變化情況如圖1所示. 由于接收換能器增益可調，主要關注振幅的相對變化. 其中橙色點代表振幅主極大值，藍色點表示振幅極小值. 由于示波器精度的限制，在一定范圍內移動接收換能器，接收波振幅的變化都很小，圖1給出了更多的數據點來描述主極大附近的振幅情況. 可以看到，共振干涉法的測量不確定度較大. 隨著2個換能器距離的增加，接收振幅的主極大值并非單調減小，這與空氣中的情況不同[5-6]. 圖1中紅色虛線表示振幅主極大的包絡線，可以發現其谷值所對應的換能器距離與液面高度有關. 液面較低時，包絡線在探頭相距75 mm左右達到峰值，而在探頭相距223 mm左右達到谷值. 增加液面高度，則包絡線在探頭相距180 mm左右達到谷值. 此外，也觀察到了振幅“次極大”的現象，如圖1中的紅點所示. “次極大”現象在空氣中也有發現，但是僅出現在換能器的間距小于50 mm處[10]. 而在水中，換能器間距大于230 mm，這一現象仍然存在.

相位比較法中，連續移動接收換能器并記錄李薩如圖呈直線時的位置. 對數據點進行線性擬合并觀察其殘差圖. 如圖2所示，殘差圖表現出二次曲線特征. 當液面較低時，殘差圖上凸，表明在水槽中部(約處160～200 mm)，每次需要移動換能器超過λ/2的距離，才能觀察到李薩如圖出現1次直線. 當液面較高時，殘差圖下凹，即在水槽中部每次只需移動小于λ/2的距離，就能觀察到李薩如圖出現一次直線. 實驗中，相位比較法測得的數據點一般具有0.5 mm的不確定度，約是殘差偏離范圍的1/10，因此可以認為該實驗方法具有系統誤差. 需要說明的是，在共振干涉法中，主極大的位置不確定度為2～5 mm, 如圖1所示，而擬合殘差圖的偏離范圍也在±5 mm之間，因此不對共振法的殘差圖做分析.

(a)液面較低

(b)液面較高圖1 實驗中測得接收振幅與接收器移動距離的關系

(a)液面較低

(b)液面較高圖2 相位比較法實驗殘差圖

2 模型建立

2.1 多次反射模型

圖3給出了實驗裝置的示意圖. 以發射器為原點建立坐標系，考慮聲波的衰減，發射器發射的初始聲波在t時刻被相距為l的接收器接收，則到達接收器時的初始聲波為

(2)

其中,α為聲波在介質中傳時的衰減系數，A為超聲波振幅，ω為角頻率，λ為波長，φ0為初始相位.

圖3 實驗裝置側視示意圖

考慮聲波在換能器之間的多次反射. 假定Yn+1(t,l)是Yn(t,l)的反射波，當n為奇數時，超聲波自接收器傳播到發射器，而n為偶數時，自發射器傳播到接收器. 接收器只能接收到所有下標為偶數的波列. 考慮聲波在介質中的指數衰減，當探頭相距較大時，Y6及其之后的反射波可被忽略，則接收聲波可以表示為

(3)

其中Y2k(t,l)為

Y2k(t,l)=γ2kexp[-α(2k+1)l]·

(4)

在水中，聲波波長變長，衰減系數變小，因此即便距離較遠，聲波在發射器與接收器之間多次反射的影響依舊不可忽略，多列反射波疊加造成了實驗中觀察到的次極大現象. 溫度為26.0 ℃，大氣壓條件下，水中的聲速為1 498.3 m/s[14]，實驗中所用聲波頻率為37.850 kHz，則聲波的波長為3.960 0×10-2m，為方便計算取λ=4.000 0×10-2m；換能器界面由鋁制成，正入射時聲壓反射系數γ與界面兩邊介質的聲阻抗Z1和Z2滿足

(5)

這幾列聲波的頻率是一致的，在數學上可以證明Y′(t,l)必可化簡為A′cos (ωt+Φ)的形式，實驗中接收波振幅即為Y′(t,l)的振幅A′. 為消除時間的影響，方便地得到A′的表達式，使其只為距離l的函數，可將Y′(t,l)先平方，對時間t做1個周期的積分，再除以周期長度T，即

(6)

平方是為了防止三角函數在t軸上下震蕩導致積分值為0，由此可利用Mathematica模擬接收波振幅隨接收器移動距離的關系如圖4所示.

圖4 振幅相對強度與探頭距離的關系(多次反射模型)

該模型與共振干涉法中接收波聲壓隨探頭距離周期性變化的現象相符，并出現了振幅“次極大”. 然而該模型下聲壓極大值隨距離是單調減小的，這與水中的實驗現象并不相符，需要對該模型進行更多的修正.

2.2 液面反射模型

測量水中聲速時，換能器并非處于無限大的水域. 如圖3所示，其側面和底面是水與有機玻璃水槽壁的交界面，上界面是水和空氣的交界面. 換能器位于水槽中央，聲波從水槽中線發出. 由于聲源距各界面的距離與水中聲波波長為同一數量級，因此需要考慮聲波在各界面上的反射波對實驗結果的影響.

空氣聲阻抗為425.8 kg/(m2·s)，有機玻璃的聲阻抗為3.16×106kg/(m2·s)[14]. 由(5)式，假設聲波正入射，計算可得上界面的反射系數為0.999，其余三面的反射系數為0.362，上界面的反射更為明顯. 在實驗中也發現，不改變換能器的位置，僅改變液面高度，示波器上李薩如圖的形狀也會改變. 這一現象說明上界面的反射對本實驗有很大的影響. 僅考慮聲波在水與空氣的交界面上發生反射并到達接收器，如圖3所示，可以寫出到達接收換能器的反射波Yr為

(7)

定義d/2為界面到換能器中軸線的距離，則

(8)

考慮到斜入射時有效聲阻抗并不嚴格與正入射時相同，并且存在能量耗散，在實際實驗中反射聲波的影響會更小，因此取反射波的權重因子W=0.9，略小于反射系數. 由于這列波不是垂直入射于接收器表面，接收器不能完整接收該列聲波，因此在最后乘以cosθ. 于是，在僅考慮入射波和水-空氣界面反射波的情況下，接收器處的聲波為

Y′(t,l)=Y0(t,l)+Yr(t,l),

(9)

取d/2=50.0 mm，其余參量同上. 采用(6)式模擬接收波振幅隨接收器移動距離的關系. 由于此時并未考慮聲波在換能器間的任何反射，因此所得到的模擬結果無法體現聲壓的周期性變化，但可以得到主極大包絡線的變化趨勢.

在圖5中，在約l=110 mm左右包絡線達峰值，在l=240 mm左右處達到谷值，隨后再次增大. 與圖1(a)中主極大包絡線的變化趨勢相符合.

圖5 振幅相對強度與探頭距離的關系(液面反射模型)

3 討 論

3.1 共振干涉法中參量d的影響

結合以上2種反射模型，接收器處聲波為

(10)

設置與前文相同的參量，令d/2=50.0 mm，采用與(6)式類似的處理方法來模擬共振干涉法中接收波振幅隨接收器位置的變化關系，如圖6(a)所示. 可知當兩換能器距離較近時(小于130 mm)，兩次極大值之間出現了振幅較小的“次極大”，而“主極大”振幅的包絡線先增大后減小再增大，呈非單調變化，這與圖1(a)的現象一致. 此時，“主極大”包絡線的谷值出現在換能器相距250 mm左右. 增大液面到換能器中心的距離，令d/2=65.0 mm，如圖6(b)所示，包絡線的谷值則出現在兩換能器相距125 mm左右. 這與圖1中包絡線谷值位置隨液面高度的變化趨勢一致.

(a)液面較低

(b)液面較高圖6 振幅相對強度與探頭距離的關系(綜合兩種模型)

3.2 相位比較法中參量d的影響

(a)液面較低

(b)液面較高圖7 相位比較法模擬結果的線性擬合殘差圖

利用Mathematica繪制參數方程

(11)

的函數圖來模擬實驗中的李薩如圖，并考察參量d對相位比較法造成的影響. 令d/2取50.0 mm和65.0 mm來模擬液面較低和液面較高的不同狀態，其余參量同前文. 記錄李薩如圖呈直線時對應的距離l，并進行直線擬合，所得殘差圖如圖7所示. 當液面較低時，殘差圖上凸，而液面較高時下凹，這種特征與實驗結果相符.

3.3 李薩如圖的“多余”直線

在相位比較法中，如果只考慮理想模型，每當兩換能器的相位差滿足2kπ或(2k+1)π時，李薩如圖都會出現直線. 此時換能器每次移動的距離是λ/2，隨換能器的移動，直線的斜率左右交替. 然而實驗中發現，有時會在換能器移動λ/2的距離內出現1次“多余”的直線，其傾斜方向與上一次直線相同，如圖8所示. 相似的現象在空氣中也有論述，但僅發生在接收器與發射器間距為λ以內時，其原因可能與聲波的多次反射有關[15]. 在水中的實驗時，這一現象僅在液面極低(水面距換能器中軸線25.0 mm)、兩換能器間距170～200 mm之間觀察到. 若增高液面，當水-空氣界面高于換能器中軸線30.0 mm以上，該異常消失. 在之前的討論中，實驗上液面較低的狀態對應水面距換能器中軸線35.0 mm，因此并未出現這一現象.

(a)l=173.82 mm

(b)l=182.35 mm

(c)l=196.05 mm圖8 實驗中觀察到的李薩如圖異常

在上面的討論中，模擬取d/2=50.0 mm和d/2=65.0 mm時，沒有觀察到這一現象. 而當減小到d/2=40.0 mm時，便可觀察到1次異常點. 如圖9所示，當l=172.22 mm和l=197.01 mm時，李薩如圖分別出現斜率為負和正的直線，兩者出現的間距為24.79 mm，略大于λ/2. 在這2次位置中間，當l=178.38 mm時，李薩如圖出現1

次“多余的”直線，斜率為負，與l=172.22 mm時相同. 這一結果與圖8的現象一致. 其原因是液面反射波中Yr(t,l)非線性變化的相位干擾. 隨著液面增高，反射波影響減小，異常現象消失.

(a)l=172.22 mm

(c)l=197.01 mm圖9 模擬結果中的李薩如圖異常

4 結 論

用共振干涉法和相位比較法測量水中的聲速，發現了不同于理論預期的異常現象. 考慮聲波在接收和發射換能器間的多次反射，以及聲波在水-空氣界面的反射，建立了實驗模型，并應用Mathematica進行模擬. 模擬結果可以顯示：共振干涉法中，兩換能器間的多次反射引起了振幅“次極大”的出現. 液面反射波與正常傳播的波列的相位差，決定了接收聲波在特定位置上相干相長或相干相消，引起了振幅主極大的非單調變化. 這一相位差與水面高度有關，因此水深不同，相干相消的位置也不同. 由于液面反射波引入了非線性變化的干擾相位，使接收波列的相位變化更為復雜，導致了相位比較法的系統誤差：當水深增加時，殘差圖從上凸變為下凹. 而特別的，當液面特別低時，模擬中觀察到了李薩如圖的“多余”直線. 本文的模型較好的解釋了水中聲速測量實驗中的諸多現象.