基于改進無偏灰色模型的礦山地表沉降預測研究

權文斌，雷雨龍，尚 軒

(陜西陜煤黃陵礦業有限公司一號煤礦，陜西 延安 727307)

0 引言

我國是一個富煤貧油的國家，目前仍然將煤炭作為最主要的消耗性能源，為國家的經濟發展提供動力，而隨著煤炭資源枯竭以及深部開采煤炭資源技術不太成熟，更好地解決“三下”開采以及薄煤層開采方面所面臨的問題是未來煤炭發展的主要目標之一。同時地下煤炭資源的開采會使得處于采空區上方的建筑物和地表產生不均勻沉降，因此，準確科學的預測礦山地表沉降變化趨勢受到越來越多的關注。

在各種預測模型中，無偏灰色模型具有消除傳統灰色模型固有誤差的特性，計算所需數據量少，計算便捷，適合中長期的預測。由于無偏灰色模型仍然是一種指數函數，解決函數微分方程時就會要求原始數據序列的波動不能過大，否則會使預測模型的預測結果誤差增大，不能正確反映預測的效果。文中利用3次樣條插值法對原始數據進行預處理，增加一定的數據量，使數據序列更加平滑，繼承無偏灰色模型的特性，并提高了改進無偏灰色模型的擬合預測精度。文中，作者將改進無偏灰色模型應用于礦山地表沉降監測中，并與無偏灰色預測模型進行對比分析，得出結果充分展示了改進無偏灰色模型的優越性。

1 無偏灰色模型

1.1 灰色系統理論

華中理工大學的鄧聚龍教授在20世紀80年代首次提出了灰色系統理論，該理論本質上是一種數學方法用于解決信息不完備問題，它將控制論的觀點和方法延伸到復雜的大系統中，將自動控制于運籌學的數學方法相結合，用獨特的方法和手段研究了廣泛存在于客觀世界中具有灰色性的問題。灰色系統在較短的時間內得到了快速的發展，其已廣泛應用到社會科學以及自然科學等諸多領域。

灰色系統理論的建模是一種貧信息建模，它把一切隨機過程看做是一種灰色過程，該灰色過程是在一定范圍內變化的、與時間有關的過程。建模時對原始數據進行重新生成，將沒有規律的原始數據序列通過累加或累減處理而成為具有較強規律性的新數列，新數列再用微分方程來描述，解此微分方程即得到自變量與因變量的關系。總的來說，灰色系統理論的建模所針對的數列是生成后的數列，其對原始數據沒有大樣本的要求，只要原始數列有4個以上的數據就可通過組成變換來建立灰色模型。

1.2 建立無偏灰色模型

設有非負準光滑的等間距的原始數據序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，無偏灰色模型的建立步驟如下

(1)

確定數據矩陣B、YN：

(2)

(3)

(4)

建立無偏灰色預測模型：

(5)

2 改進無偏灰色模型

2.1 3次樣條插值

插值是知道部分節點數據的前提下，求解過這些已知點的曲線，根據求解的曲線函數對曲線上未知點位進行預測。

樣條軟尺在術語上是指在技術制圖中，使用軟尺連接兩個相鄰數據點，以達到連接曲線光滑的效果。樣條插值是一種分段多項式插值法。數學上是指曲線光滑需要在曲線上一階導連續，因此，在節點處需要滿足一階導數相等。另外，為了使得曲線的曲率最小，要求曲線二階導連續，在節點處需要二階導相等。

3次及以上多項式可以滿足節點處光滑和曲率最小要求，但是次數高的曲線容易震蕩，因此，常常選用3次多項式。

2.2 建立改進無偏灰色模型

改進無偏灰色模型主要體現在：利用3次樣條插值對原始數據序列進行預處理，增加數據量，使數據序列更加平滑，如圖1所示。

圖1 改進無偏灰色模型流程

a

b

a

x

0

x

1

x

n

b

x

k

y

k

f

x

k

k

n

S

x

插值條件：S(xk)=yk,k=0,1,…,n;

分段條件：在小區間[xk,xk+1],(k=0,1,…,n-1)上，S(x)是3次代數多項式，即S(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3；

光滑條件：S(x)∈C2[a,b]。

則稱S(x)為樣條節點xk上的3次樣條插值函數(Cubic Spline Interpolation)，稱求S(x)的方法為3次樣條插值方法。

設原始數據序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(k-1),x(0)(k)},k=1,2,…,n，對原始數據進行3次樣條插值處理后的序列為S(0)={s(0)(1),s(0)(2),s(0)(3),…,s(0)(k-1),s(0)(k)}，計算表達式如下

k=1,2,…,n

(6)

若在該函數在兩端點處沒有一階導數和二階導數值時，則由對應的差商值代替。

3 礦山地表沉降預測

某礦區地表沉降監測數據共16期，具體數據如圖2所示。以圖2中第1期至第12期原始數據建立無偏灰色模型和改進無偏灰色模型，將2種預測模型所得出的預測結果與第13期至第16期的實測數據進行精度分析比較，通過相對誤差來判斷模型的有效性。

圖2 地表沉降監測數據

3.1 建立無偏灰色模型

x(0)(k)=2.987 45e-0.000 681 49(k-1),k=1,2,…,n

3.2 建立改進無偏灰色模型

對原始數據序列進行3次樣條插值處理，插值節點設置為每個小區間的中點處，即為[xk,xk+1]的中點xk+0.5，由于數據沒有一階導數和二階導數，則導數值由差商值代替。用于建立模型的原始數據共12期，經過間隔為0.5的3次樣條插值法處理后的數據周期變為23期，預處理后數據見表1并如圖3所示。

表1 3次樣條插值法處理后數據

圖3 3次樣條插值處理后數據

x(0)(k)=2.987 35e-0.000 337 88(k-1),k=1,2,…,n

通過無偏灰色模型和改進無偏灰色模型對礦區地表沉降監測數據的第1期至12期進行模擬，并預測第13期至第16期的監測數據值，2種方法的預測值如圖4所示，擬合值如圖5所示，2種預測模型的性能比較見表2。

圖4 2種預測模型預測結果

圖5 2種預測模型的擬合值比較

表2 2種預測模型的性能比較

4 結論

(1)改進無偏灰色模型比無偏灰色模型更符合礦區地表的沉降監測數據的特點。

(2)經過3次樣條插值法處理后，原始數據的數據量增加，數據序列更加平滑，提升了無偏灰色模型的預測精度。

(3)對比兩種預測模型，改進無偏灰色模型比無偏灰色模型的擬合預測精度高，其平均相對誤差和平均絕對誤差分別為0.003 48%、0.009 80%和0.007 86%、0.011 39%。

礦山的沉降過程受到很多方面因素的綜合影響，并且沉降的整個過程是動態緩慢的，這也使得對觀測的沉降數據分析從以前的線性分析逐漸發展到非線性分析，由靜態分析發展到動態分析，多樣化逐步成為變形分析的主要模式。為了能夠更好地反映礦山沉降趨勢，進一步提高礦山地表沉降預測的精度，在建立模型預測趨勢時對建模的原始沉降數據要不斷更新，也是該模型需要進一步研究改進的地方。在預測模型方面，不同的預測針對不同的礦區地表沉降數據，預測精度都會有所不同，因此針對具體的礦區沉降數據處理時，應采用多種模型進行對比，從而選擇出比較好的預測模型。作者通過研究對比了不同模型預測結果的精度，結果顯示改進無偏灰色模型能更好地預測礦山地表沉降趨勢，對于類似條件的礦區可以提供借鑒。