淺議幾何概型的四種概率計算

摘?要：幾何概型是古典概型的進一步發展，處理幾何概型問題關鍵是把問題轉化為相應的幾何圖形，利用圖形的幾何度量求隨機事件的概率。

關鍵詞：幾何概型;概率;古典概型

幾何概型是古典概型的進一步發展。與古典概型相比較，相同點在于：每一種結果發生的可能性相等。不同點在于：在一次試驗中，古典概型中等可能事件只有有限個，幾何概型中等可能事件有無限個。

教學大綱對幾何概型的難度要求并不高，在練習和復習題中通常以填空或選擇題的形式出現。處理幾何概型問題不僅要明確概念、掌握公式，更主要的是及時把問題轉化為幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率。因此，正確選擇恰當的幾何概型決定了問題解決的成敗，下面通過具體例題就幾何概型的四種測度簡單談談自己的看法。

一、 角度型

【例1】?設A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點B，與A連接，求弦長超過半徑的2倍的概率。

分析：在圓周上任取一點是隨機的且是等可能的，符合幾何概型的條件。關鍵是選擇恰當的幾何量，確定好事件發生的分界點。

解：設圓的半徑是r，當弦長恰好為2r時，它所對的圓心角恰好為90°，則要是弦長大于2r，圓心角必大于90°且小于270°。所以所求事件的概率為270°-90°360°=12。

評注：本題是一個與角度有關的幾何概型，關鍵是建立好幾何圖形與概率問題的聯系。

二、 長度型

【例2】?在等腰直角三角形△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AB

分析：在斜邊AB上任取一點是隨機的且是等可能的，符合幾何概型的條件。

解：以點A為圓心作一個小圓，交AB于C′，不妨設AC=a，使AC′=AC=a，則AB=2a，從而所求的概率為AC′AB=a2a=22。

這是與長度有關的幾何概型問題。

但是，如果上例作以下變形：在等腰直角三角形△ABC中，過點C作一條射線CM，交AB于M點，求AM

有不少同學可能還是會用以上思路求解。但事實上，如果在AB上再取兩點E、D，使得AE=ED=DB，但是∠ACE≠∠ECD≠∠DCB，則過點C作一條射線CM在∠ACE和在∠ECD內的條數不相等，與基本事件的等可能性矛盾。在變形后的題目中基本試驗的前提過點C作一條射線CM。當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區域問題時，是常以角的大小作為區域度量來計算概率的。

正解：以點A為圓心作一個小圓，交AB于C′，連接CC′，則∠ACC′=67.5°，從而所求概率為∠ACC′∠ACB=67.5°90°=34。

所以這成了與角度有關的幾何概型問題36π。

三、 面積型

【例3】?兩人相約在8點到9點會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，那么兩人能見面的機會有多大？

分析：兩個人到達的時間是隨機的且是等可能的，符合幾何概型的條件。

解：設甲到達時刻為x（分鐘），乙到達時刻為y（分鐘），則0≤x≤60，0≤y≤60，|x-y|≤20，

結合圖形可得所求概率為：49。

評注：此題用面積計算，關鍵是找到兩人能見面這一事件發生的所有結果構成的區域。

四、 體積型

【例4】?一個球形容器的半徑為3cm，里面裝有純凈水，因為實驗人員不小心混入了一種病毒，從中任取1mL，含有病毒的概率是多少？

分析：病毒在水中的分布可以看作是隨機的，從中取得1mL水，可看著構成的事件的區域，球形容器內的水的體積可看成做實驗的所以結果構成的區域，可以用體積比公式計算其概率。

解：根據題意，球形容器內的水的體積為36π（mL），所以從中任取1mL的水，含有病毒的概率為136π。

評注：用體積計算概率時，要注意所求概率與取出體積的關系。事實上，水中所含病毒的概率只與杯中水的體積有關，因而只需要求得取出水樣的體積與原有水的體積的比即可。

總之，拿到一道概率題時，先要分析該題是幾何概型還是古典概型。如果是幾何概型，解決幾何概型的關鍵是根據題意，弄清題目中的測度是長度、面積還是體積，有時甚至是角度。

作者簡介：

徐文明，湖北省襄陽市，襄陽職業技術學院。