基于線性規劃模型中多目標規劃模型處理的研究

熊慶如

（浙江東方職業技術學院，浙江 溫州325011）

在科學管理和社會、經濟與生活的各種活動中，經常會用到一類合理地分配和使用有限資源，使能獲得“最優效益”的問題。如果要研究問題的目標函數和約束條件的函數都是線性的，這類問題就是線性規劃問題。對于只有單個的目標函數的線性規劃，我們都能方便地解決。但是在實際應用中往往出現多個目標函數的線性規劃，為了幫助解決此類問題，筆者羅列了幾種常見的情形，利用數學的基本思想和方法，歸納出幾種解決的方法。

1 化多目標模型為單目標模型——目標法

1.1 模型1

1.2 模型求解

求解思路：把多目標化為單目標。求解方法：使用多種方法，視模型特點而定。這里介紹目標法。

從多個目標中選出一個目標來（這些目標函數往往是相互矛盾的），這里不妨選擇利潤最大作為主要目標。把其他的目標函數轉化成約束條件，這樣就稱為了單目標。如何將目標函數轉化為約束條件呢？

首先，我們要知道需要轉化的目標函數的范圍，為求范圍，就需要求其最大值和最小值。在其范圍內取一個合適的值作為約束條件值，形成約束有條件。

現在以案例1 為例說明求第二目標范圍。這里先把刪除第一目標，再求第二目標最小值。其程序如下：

從結果發現，f2的最小值為0。

同理求最大值，得到如下結果是，f2的最大值為60，因此，我們可以確定目標2 的取值范圍是：f2∈[0，60]，不妨取f2燮50。（這里可根據題意也可以取0 至60 之間的其他數）

因此，原多目標模型就轉化為單目標模型，結果如下：

結果顯示：（f1*，f2）=（106，50），（x1，x2，x3）=（8，2，1），此未知數的值，不是最優解，只是滿意解。

2 化多目標模型為單目標模型——線性加權法

2.1 模型2

2.2 模型求解

分析：兩個目標都求最小，我們考慮將將這兩個目標函數相加，然后求最小，minf1+f2，但是考慮到兩個目標函數的系數權重有所不同。

比如，上述模型中，

第一目標范圍是：f1∈[230，1150]

第二目標范圍是：f2∈[12，60]

這兩個目標的數量級不同，如果就這樣簡單相加，會造成“大數吃小數”的現象，從而造成結果失真。所以不能貿然將兩個目標加到一起，為此需要進行“標準化”處理。使得f1與f2的數量級相同，達到具有可比性。

如何進行“標準化”呢？

第一目標標準化：

第二目標標準化：

f1與f2都是[0，1]之間的數，其數量級相統一了。但考慮到兩個目標因素相對有所偏重，兩個目標函數應該采取偏重的辦法進行處理。這里引進權重比系數w1與w2（其中w1+w2=1，w1，w2>0），

化為單目標就得到：minf=w1f11+w2f22

比如w1=0.6，w2=0.4 或w1=0.7，w2=0.3，在同一數列級上的兩個因素就有所偏重了。這種方法我們就定義為線性加權法。

根據這一思路，在lingo軟件中，編寫程序如下：

3 化多目標模型為單目標模型——功效系數法

3.1 案例3

3.2 模型求解

案例3 與案例2 的不同點，在于目標1 函數與目標2 函數不同，一個是求極大值，另一個是求極小值，兩者就直接相加了。

第一目標標準化：

在第一目標標準化中，f1與f11是同向的，即f1取得極大值時，f11也取得極大值；在第二目標標準化中，發覺f2與f22是逆向的，即f2取得極小值時，就是f22取得極大值。

所以，將f11與f22合并相加就得到一個同向的函數，稱作極性統一，數列級也統一。求這一個函數的極大值就滿足題意了。

最后，引進權重系數，將多目標化為單目標了：

將此法通過lingo軟件編程如下：

運行結果顯示，目標值是（f1，f2）=（990，44），自變量取值是（x1，x2，x3）=（11，0，0）

4 化多目標模型為單目標模型——理想解法

4.1 模型4

4.2 模型求解

目標函數相互矛盾。

第一目標的范圍是：f1∈[230，1150]，第一目標是求最大值，它的理想解是1150；

第二目標范圍是：f2∈[12，60]，第二目標是求最小值，它的理想解是12；

化為單目標：minf=w1（1150-f1）+w2（f2-12）

通過求f的最小值，讓f1逼近其理想值1150，f2逼近其理想值12，這樣就可以取到最優值。

在軟件lingo中運行程序：

程序運行結果顯示：目標值是（f1，f2）=（1150，57），自變量取值是（x1，x2，x3）=（7，1，3）