三線擺法測(cè)重力加速度初探

王家理 趙慶國(guó)

（六盤水師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，貴州 六盤水553004）

1 問(wèn)題的提出

現(xiàn)有測(cè)量重力加速度的經(jīng)典方法有三線擺法，單擺法，打點(diǎn)時(shí)法，落球法，彈簧稱法，平衡法以及滴水法。在這些測(cè)量重力加速度的方法中，有的方法測(cè)量出來(lái)的值較為準(zhǔn)確，有的方法測(cè)出來(lái)的值誤差比較大。

其中打點(diǎn)計(jì)時(shí)器測(cè)量重力加速時(shí)的方法，分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)難度比較大，而且在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中操作也比較困難，測(cè)出的數(shù)據(jù)誤差也比較大，其主要的原因是當(dāng)紙帶經(jīng)過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器時(shí)，紙帶和紙帶的子針發(fā)生沖擊而影響紙帶的運(yùn)動(dòng)，使得測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大。平衡法測(cè)量重力加速度時(shí)，其影響測(cè)量值準(zhǔn)確度的來(lái)源主要是實(shí)驗(yàn)儀器老化，以及在讀取數(shù)值時(shí)都會(huì)產(chǎn)生誤差。

而且，在測(cè)量標(biāo)有質(zhì)量的鉤碼時(shí)，發(fā)現(xiàn)其和真實(shí)值會(huì)有所不同，如果彈簧老化使得彈簧測(cè)量值也會(huì)有很大的誤差。因此這個(gè)方法不能測(cè)出精確的重力加速度值。滴水法測(cè)重力加速度的方法雖然實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)單，然而想要測(cè)得理想數(shù)值的話，在儀器操作上是不好做到的。

比如在調(diào)節(jié)閥門時(shí)，眼睛看到第二次水滴的同時(shí)又要聽到第一次的滴水聲，這是很難辦到的，這方法不但考驗(yàn)動(dòng)手的能力，還需要讓實(shí)驗(yàn)者有很好的反應(yīng)能力以及觀察能力。

在實(shí)驗(yàn)操作中這些細(xì)節(jié)對(duì)測(cè)出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)影響都不可忽略。假如沒有調(diào)正確，將給實(shí)驗(yàn)測(cè)出的數(shù)據(jù)產(chǎn)生不小的誤差，這個(gè)方法想要測(cè)出重力加速度的準(zhǔn)確值比較難。

單擺法測(cè)重力加速度的方法是用一條很小的細(xì)長(zhǎng)線，假設(shè)小球的質(zhì)量比細(xì)線的質(zhì)量大得多，且細(xì)線的長(zhǎng)度又比球的直徑大得多的話，那么就可把這個(gè)儀器就看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)被一條沒有質(zhì)量的細(xì)線系住，不計(jì)空氣阻力的影響以及細(xì)線的伸長(zhǎng)，當(dāng)擺動(dòng)的幅度很小，可以把其當(dāng)作單擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，從而就可以求出重力加速度的方法。

這方法原理比較簡(jiǎn)單，但實(shí)驗(yàn)過(guò)程中單擺在擺時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡很難在同一個(gè)面，用秒表計(jì)數(shù)時(shí)也不是很準(zhǔn)確，而且單擺的有關(guān)參量的測(cè)量方面也會(huì)對(duì)測(cè)出準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有不小的影響。

三線擺法測(cè)重力加速度的方法簡(jiǎn)單，但如果測(cè)量時(shí)，對(duì)有上下圓盤的高度以及下圓盤的擺動(dòng)周期，以及懸線的選擇都會(huì)對(duì)測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成誤差，本文主要用三線擺法測(cè)量重力加速度，分析上下圓盤的不同高度以及下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)不同周期對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的影響分析，并對(duì)測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較分析。

2 三線擺法測(cè)量重力加速的兩種方案

2.1 三線擺法測(cè)重力加速度的方法

實(shí)驗(yàn)原理：三線擺的裝置如圖1 所示，三線擺是通過(guò)兩個(gè)大小不相等，且分布均勻的兩個(gè)圓盤和三根長(zhǎng)度相等的懸線（懸線不易變長(zhǎng)）組裝而成。

圖1 三線擺原理圖

上圓盤和下圓盤的懸線點(diǎn)正好構(gòu)成等邊三角形，三線擺的上圓盤與下圓盤都處于水平，下圓擺懸掛在上圓盤的下方，且下圓盤可以圍繞兩圓盤的中心軸轉(zhuǎn)OO`轉(zhuǎn)動(dòng)。忽略空氣阻力，如果下圓盤擺動(dòng)的幅度很小，當(dāng)下圓盤的兩測(cè)放入兩個(gè)鋼體時(shí)，其運(yùn)動(dòng)滿足平行軸定律，根據(jù)能量守恒求出周期，從而可求出重力速度g。

實(shí)驗(yàn)時(shí)只需測(cè)出上下圓盤的當(dāng)度H，小圓柱體的質(zhì)量m，小圓柱體的半徑Rx，上圓盤的有效轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R，下圓盤的有效轉(zhuǎn)動(dòng)半徑r，下圓盤的質(zhì)量m0，小圓柱體質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸OO`的距離x，下圓盤空盤時(shí)的周期T0，載有小圓柱體時(shí)的周期T1，就可測(cè)出重力加速度g 的值。

2.2 根據(jù)三線擺測(cè)重力加速度設(shè)計(jì)出的另一種測(cè)量法

實(shí)驗(yàn)原理：三線擺測(cè)量重力加速度的組成如圖1 所示，三線擺是通過(guò)兩個(gè)大小不相等，且分布均勻的兩個(gè)圓盤和三根長(zhǎng)度相等的懸線（懸線不易變長(zhǎng)）組裝而成。

上圓盤和下圓盤的懸線點(diǎn)正好構(gòu)成等邊三角形。三線擺的上圓盤與下圓盤都處于水平，下圓擺懸掛在上圓盤的下方，且下圓盤可以圍繞兩圓盤的中心軸轉(zhuǎn)OO`轉(zhuǎn)動(dòng)。忽略空氣阻力，如果下圓盤擺動(dòng)的幅度很小，下圓盤的擺動(dòng)可當(dāng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下圓盤在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其擺動(dòng)周期與下圓盤的系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量存在一定的關(guān)系，所以當(dāng)下圓盤上有待測(cè)物體放上之后，下圓盤在扭轉(zhuǎn)時(shí)，其周期將會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變。

通過(guò)下圓盤的扭動(dòng)周期，系統(tǒng)的擺動(dòng)質(zhì)量，和其他相關(guān)的參量，就可計(jì)算出下圓盤與待測(cè)物的總慣量，再通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸平軸定理，得到一種測(cè)量重力加速度的新方法。

可以看出，圓柱m 質(zhì)心與中心轉(zhuǎn)軸OO`的距離為x2時(shí)，比圓柱體m 質(zhì)心距中心轉(zhuǎn)軸OO`的距離為x1時(shí)，對(duì)中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)OO`的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增加了2m（x22-x12），所以有

在實(shí)驗(yàn)時(shí)，只需測(cè)出上圓盤到下圓盤的距離H，小圓柱的質(zhì)量m，小圓柱體m 質(zhì)心距中心轉(zhuǎn)軸OO`的距離x1，x2，下圓盤的懸線點(diǎn)到中心轉(zhuǎn)軸OO`距離R，上圓盤的懸線點(diǎn)到中心轉(zhuǎn)軸OO`距離r，以及T2，T1，就可得到本地的重力加速度g 的值。

3 兩種方法的比較

兩個(gè)方法需要測(cè)量的參數(shù)相同之處，測(cè)量時(shí)都需要測(cè)量上下圓盤之間的高度H，小圓柱體的質(zhì)量m，上圓盤的有效轉(zhuǎn)動(dòng)半徑R，下圓盤的有效轉(zhuǎn)動(dòng)半徑r，下圓盤的質(zhì)量m0，下圓盤的懸線點(diǎn)到中心轉(zhuǎn)軸OO`距離R。

因此在這些參數(shù)測(cè)量值上產(chǎn)生的誤差，都同時(shí)對(duì)兩個(gè)方法測(cè)量出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。

兩個(gè)方法需要測(cè)量的參數(shù)不同之處：

方法一需要測(cè)量的值是小圓柱體的半徑Rx，小圓柱體質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸OO`的距離x，下圓盤沒有待測(cè)物時(shí)的周期T0，載有小圓柱體時(shí)的周期T1。

方法二需要測(cè)量的值是，小圓柱體m 質(zhì)心距中心轉(zhuǎn)軸OO`的距離x1，x2，以及T2，T1，測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都為不同的四個(gè)參量的測(cè)量值來(lái)決定，都各有優(yōu)缺點(diǎn)。

方法一在實(shí)驗(yàn)時(shí)，先測(cè)出下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm0，在通過(guò)測(cè)出的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1去下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm0有關(guān)，得到小圓柱體m 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，所以測(cè)出的小圓柱體m 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 值與下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm0有關(guān)，由于下圓盤在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)生平動(dòng)而產(chǎn)生動(dòng)能，因此下圓盤的質(zhì)量m0較大的話，測(cè)出的下圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值會(huì)有較大的誤差，使得小圓柱m 測(cè)出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值不準(zhǔn)確，因此對(duì)測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果將有一定的影響。

方法二在實(shí)驗(yàn)時(shí)，先測(cè)出小圓柱體m 的質(zhì)心與中心轉(zhuǎn)軸OO`距離為x1時(shí)，得到的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再測(cè)量小圓柱體m 的質(zhì)心與中心轉(zhuǎn)軸OO`距離為x2時(shí)得到的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最后通過(guò)兩次測(cè)出的總慣量之差得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這個(gè)方法里沒有涉及到下圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm0，因此這個(gè)方法對(duì)下圓盤的質(zhì)量沒有條件要求，測(cè)得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

從三線擺法測(cè)重力加速度上下圓盤的高度不同以及周期不同時(shí)，得出的重力加速度值來(lái)分析在用三線擺測(cè)重力加速度時(shí)選用最佳高度及最佳周期，從而得到有關(guān)結(jié)論，使得實(shí)驗(yàn)時(shí)誤差相對(duì)減小，使得其測(cè)量值更加準(zhǔn)確。