精心設計現實情境 引導學生主動探究
——“圓”第一課時設計與思考*

許 彬 耿恒考 (江蘇省蘇州中學園區校 215021)

數學源于對現實世界的抽象[1]，與人的生活和社會發展緊密相關.想要從實際情境中抽象出數學問題，需要學習者主動探究，但是部分教師并不清楚應該如何引導學生主動探究.《義務教育數學課程標準(2011年版)》強調：“在反應數學本質的前提下盡可能地貼近學生的現實，以利于他們經歷從生活情境中抽象出數學知識與方法的過程”.[2]因此教師在教學中應創設現實情境，用學生已有經驗作為教學資源，既重視學習主體的情感體驗，優化學習路徑，又能激發求知欲實現主動探究．在江蘇省中小學教學研究室舉辦的初中數學評優課活動中，筆者執教了蘇科版九年級上冊2.1“圓”第一課時，教學中精心設計現實情境，引導學生主動探究，準確達成學習目標，現場專家給予了“親近學生的課堂，富有探趣的數學”的評價，因此斬獲省一等獎．

1 內容分析

“圓”是學習對稱圖形、弦、弧、扇形等知識的基 礎，也是研究一些重要數學思想方法的上位知識．本課時將引導學生通過畫圓，形成圓的描述定義；了解點與圓的位置關系，抽象出圓的集合定義并能解決簡單問題；會判斷點與圓的位置關系，逐步學會用運動的觀點及數形結合的思想分析問題．作為一章的起始課，兼具統領全章知識教學和激發學生主動學習和探究欲望的作用．

2 教學設計

課前播放歌曲《圓圓的世界》：“我生在圓圓、圓圓的世界……”

圖1

環節1 知識引入

如圖1，地上有一個小立柱，人沿著直線站成一橫排“套圈”.游戲對所有人公平嗎？為什么？

設計意圖課前歌曲既凸顯學習主題又能緩解學生的課堂壓力；引入環節中用套圈游戲引發學生的探究興趣，該情境貼近現實，也讓學生感受到生活中處處有數學．

環節2 形成定義

(1)找出圖2中的圓.

圖2

(2)數學實驗.兩人一組，分別嘗試用棉線和橡皮筋畫圓，歸納實驗結論．

設計意圖圖片將數學知識與現實聯系起來，形成對圓的直觀感知，為數學實驗做準備．學生在思考如何畫圓中，根據橡皮筋和棉線畫圓過程的對比，得到畫圓的“定點+定長”兩要素.最后教師用幾何畫板動畫演示，引導學生歸納出圓的描述定義．

(3)如圖3，根據畫圖過程給圓下定義.

(4)總結：畫圓需要具備哪些要素？

(5)如圖4，講述《墨經》的“一中同長”．

圖3 圖4

設計意圖通過觀察畫圓活動，抽象圓的描述定義，培養學生的動手及歸納能力，體驗“定點+定長”的作用；在交流中培養學生的合作意識；通過實驗探究讓學生感受定點和定長在畫圓時缺一不可；再以《墨經》中的“一中同長”，讓學生感受圓的數學文化源遠流長．

環節3 探究點與圓的位置關系

圖5

(1)如圖5，校運會上一名運動員想挑戰12 m的鉛球記錄，你知道落點與記錄線之間有幾種位置關系嗎？

(2)討論：平面內的圓把平面分成了幾部分？

(3)歸納：比較點到圓心的距離(d)和圓的半徑(r)，有什么發現？

設計意圖由投擲鉛球挑戰記錄，將問題置于現實情境中，根據落點與記錄線的位置關系抽象出點與圓的位置關系，歸納出點到圓心的距離d與半徑r的數量關系：點P在圓內?dr，并學會文字與符號語言的互化．

環節4 知識應用

(1)如何設計套圈游戲才能夠公平？請與同伴交流并畫圖．

(2)例題：已知⊙O的直徑為8 cm，判斷點P與⊙O的位置關系.

①若PO=4.5 cm，則點P在；

②若PO=3 cm，則點P在；

③若PO=，則點P在圓上．

(3)歸納(配合Flash演示)：圓上各點都滿足什么特點呢？圓內的點呢？圓外的點呢？

設計意圖運用d與r的等價關系解決現實和數學兩個方面的問題，處處體現數學與現實的密切關系，目的是為研究圓的集合定義做鋪墊．在學生交流、補充之下，教師用Flash動畫演示點由疏到密最終集合成圓，結合“純粹性”“完備性”，由具體到抽象，讓學生觀察“點集”，說出“符合某種條件”的點集，形成圓的集合定義，即圓是平面內到定點距離等于定長的點的集合.圓內、圓外的集合定義亦可生成．

圖6

如圖6，已知點P,Q，且PQ=4 cm．

(1)畫出下列圖形：到點P的距離等于2 cm的點的集合；到點Q的距離等于 3 cm的點的集合．

(2)在所畫圖中，到點P的距離等于2 cm且到點Q的距離等于3 cm的點有幾個？請在圖中將它們表示出來．

(3)在所畫圖中，到點P的距離小于或等于 2 cm且到點Q的距離大于或等于3 cm的點的集合是怎樣的圖形？把它畫出來．

設計意圖交流探究的目的是讓學生利用“判斷位置，比較大小”，即由數量關系刻畫位置關系．此環節引導學生用集合的觀點理解圖形，還滲透了交集法，即先由部分條件構成一個集合，然后再由剩余的條件構成另一個集合，兩個集合的交集就是問題的解.這也讓學生體會到交集法對現實有很強的指導意義，數學最終還要回歸生活、指導生活．

環節6 小結與作業

(1)總結本節課內容并猜想將會學習哪些和圓相關知識；

(2)作業：為班級設計一枚圓形(或含圓)的班徽，要求能體現班級精神，并闡述含義.

設計意圖課堂小結既回首課堂又展望了圓知識的后續學習；作業是課堂知識的延伸，根據本節課的學習，在作業布置上沒有選擇習題訓練，而是要求創意設計圓形班徽，充滿趣味性，符合班級實際，富有開放性、探究性.

3 思考感悟

第一，用學生熟悉的現實創設教學情境，可讓學生清楚感受數學知識從哪里來，給學生提供機會用數學的眼光觀察現實世界[1]．課前歌曲情境舒緩了公開課壓力，用歌詞將學生帶入熟悉的生活場景；游戲情境“這樣套圈是否公平？”引導學生積極思考，有趣的游戲就猶如在平靜水面投下的一粒石子，激起層層漣漪；由“如何設計套圈游戲才公平”這一問重返游戲，用所學知識彌補游戲缺點，使游戲公平，游戲貫穿在圓的定義、d與r關系生成的始末，學生探究知識的主動性始終高漲；用學生常見的橡皮筋、棉線開展畫圓實驗，歸納畫圓兩要素，因為學生對這兩種物品的屬性很了解，所以抽象出知識更容易；創設運動會擲鉛球情境來理解點與圓的位置關系，化抽象為形象直觀.這些現實情境在教學中強烈激發出學生的探究欲望，形成學習的內驅力，牽引著求知好奇心，順利實現教學目標．

第二，數學源自現實生活，將數學知識放置于現實情境中，學生會用數學的思維思考現實世界[1]，能將新知與學生間的溝壑填平，使學習的道路平坦．心理學研究表明，“學習內容和學生熟悉的背景越貼近，學生自覺接納知識的程度越高.”如展示含有圓的生活物品，能從直觀上感知圓；圓的集合定義比較抽象，學生理解難度大，設計在學生熟悉的體育項目“擲鉛球挑戰記錄”中，鉛球落點與圓心間的距離為d，記錄線就是以運動員站立點為圓心、12 m為半徑r的圓，由“破”“平”“低于”記錄成績探究d與r的三種關系，由形到數，再數形等價互推，最后將具有共同特征(特殊性、完備性)的所有點集中在一起就組成了圓，圓外、圓內的集合定義也會觸手可得；將圓上點的特性設計在套圈游戲情境中，讓新知獲取變得有趣且簡單．數學文化是生活與數學的結晶，使知識教學積淀厚度，比如“一中同長”是我國數學家對圓的認識、探究史；探究圓的兩個概念時運用抽象、歸納、類比等數學方法，感受等價、數形結合、特殊到一般等數學思想.這些亙古雋永的數學文化均包含在與學生最貼近的現實情境中．

總之，現實情境拉近了學生與數學知識之間的距離，給學生搭建起觸摸新知的“腳手架”，使抽象的知識不晦澀，理解知識的難度大大降低，形成“現實味”向“數學趣”的完美過渡.這種有趣、有味、有厚度的數學教學使學生享受到學習數學的快樂，有效提升數學核心素養，最終會用數學的語言表達現實世界[1]．