借助GeoGebra對圓錐曲線中一類定直線問題的探究及拓展

閆 偉 (廣東省中山市濠頭中學 528437)

1 問題的提出

圓錐曲線中的定直線問題歷來是各類考試的重要考點，此類問題通常是一些特殊的點在特定約束條件下運動的軌跡形成了直線．本文介紹筆者在一節高三復習課中講評的定直線問題，先猜想問題的一般情形，然后借助GeoGebra進行實驗探究，并對試題作了深入的探究和拓展．

(1)求橢圓C的方程.

筆者注意到，當動直線l繞點F旋轉時，直線l′與直線PN的交點恒在橢圓的準線x=4上．此結論引起了筆者的關注，基于此提出以下幾個新問題．

問題4若將橢圓改成雙曲線，直線l′與直線PN的交點是否還恒在一條定直線上呢？若換成拋物線，結果又會是怎么樣的呢？

問題5若點F不在對稱軸上呢？是橢圓內的其他點，我們又會得到什么結論呢？

2 基于GeoGebra的探究

問題2～5將橢圓和點F及點P一般化后，由于涉及到的運算和直線PN的直線方程較為復雜，判斷上述結論成立與否有一定的難度，因此筆者借助GeoGebra進行探究，通過實驗演示觀察結論是否成立，同時為后面的代數證明提供更加直觀、形象的思路支持．

實驗1 (1)在GeoGebra繪圖中先設置兩個“滑動條”控制變量a,b，輸入x^2/a^2+y^2/b^2=1得到一個橢圓c；(2)輸入框中輸入焦點[c]，得到橢圓的右焦點F；(3)使用“滑動條”創設變量m，作出經過點F的直線l:x=my+c，利用交點工具確定點M,N；(4)過點M作y軸的垂線l′；(5)在輸入框中輸入P=((2a^2-b^2)/2sqrt(a^2-b^2), 0)得到 點P；(6)作出直線PN與直線l′的交點T；(7)選中交點T并跟蹤，然后通過滑動條m拉動直線l，發現交點T的軌跡是一條豎直的直線；(8)輸入框中輸入x=a^2/sqrt(a^2-b^2)得到橢圓的準線，發現上述軌跡與準線重合(圖1)．

圖1

實驗2 按照上述實驗操作步驟修改第(2)(3)步，去掉右焦點，再通過“滑動條”設置一個變量t，作出點F(t, 0)，并作出過點F的直線l:x=my+t，第(5)步變為：在輸入框中輸入P=((a^2+t^2)/2t,0)得到點P，其他步驟不變．改變點F的位置，再拉動直線l，發現直線l′與直線PN的交點T的軌跡跟著變化(圖2)，點T的橫坐標即圖2中豎直的直線位置隨著變量t的增大而減小，并且與t的乘積恒為a2．當改變橢圓的方程時我們仍然有同樣的結論．

圖2

3 問題的拓展與證明

通過以上兩個實驗的探究，筆者將上述問題拓展到一般情形：

當t=c時，F是右焦點，結論1是結論2的特例．借助GeoGebra繼續探究，將橢圓換成雙曲線和拋物線，同樣發現交點恒在定直線上，于是可得：

結論4 已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(0,0)，過拋物線對稱軸上一點F(t,0)(t>0)且斜率不為零的動直線l與拋物線交于不同兩點M,N，過點M作y軸的垂線l′，則直線l′與直線PN的交點恒在直線x=-t上．

結論3、4的證明以及GeoGebra平臺演示實驗都和結論2的過程相仿，此處不再贅述．

圖3

結論7 已知拋物線C:y2=2px(p>0)和內側一點F(x0,y0)，過點F作直線m:p(x+x0)-yy0=0的垂線，垂足為點A，取FA中點P，過點F的任一直線l交拋物線C于不同兩點M,N，過點M作直線FA的平行線l′，則直線l′與直線PN的交點恒在極線m上．

結論5～7的證明留給有興趣的讀者．根據極點和極線的性質，我們將結論5～7統一概括為：

結論8 已知圓錐曲線C和異于曲線中心的一點F(x0,y0)，點F關于曲線C的極線為m，過點F作直線m的垂線，垂足為點A，取FA中點P，過點F的任一直線l交曲線C于不同兩點M,N，過點M作直線FA的平行線l′，則直線l′與直線PN的交點恒在極線m上．

極點與極線是解析幾何中的一條重要性質，它在圓錐曲線問題的探究中有十分重要的應用，本文借助GeoGebra平臺對這一類定直線問題的探究很好地佐證了這一點．

4 探究后的反思

在“互聯網+”時代，信息技術的應用對數學教學產生了深遠的影響.如何使數學教學適應時代的發展，已經成為新時代教師關注的焦點．在本文的實驗探究中，運用GeoGebra制作橢圓模型，再通過控制變量不斷改變動直線和方程參數來演示圖形變化過程，讓學生觀察所求點的軌跡的運動情況，進而將實驗結果拓展到圓錐曲線的統一結論，不僅為學生理解試題本質創設教學情境，而且為學生探索試題規律啟發思維，為學生解決數學問題提供直觀形象．GeoGebra平臺技術的可視化實驗讓學生有機會親身體驗探究問題背后的規律，還能“看透”深層次的數學本質，讓學生主動發現問題、解決問題，發現和體會數學的美，充分調動了學生的學習興趣和積極性，有助于學生樹立學好數學的信心，亦有利于培養邏輯思維、空間想象、探究學習、創新和實踐等能力，從而促進學生數學學科素養的提升．