基于問題導向的數學教學案例分析

田玉菊

問題是數學的心臟，學習數學也就是解決數學問題的過程，所以說，以問題為核心展開數學教學一直是廣大教師的追求。近期觀摩了一節七年級數學課，教學的內容為“平方差公式”，教師對問題導學的教學設計、教學實踐過程的進展以及取得的效果都得到了同行的贊許，值得我們借鑒和思考。

一、案例呈現

1.教學內容：乘法公式——“平方差公式”

2.教學目標：（1）會推導平方差公式，了解公式的幾何背景，并能運用公式進行簡單的計算。（2）經歷探索平方差公式的過程，進一步感悟數與形的關系，感悟數形結合的思想，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。

3.導學流程：

（1）你能根據以前學習過的知識求出陰影部分的面積嗎？（情境創設）

題目：在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），這兩個圖形中陰影部分的面積相等嗎？請分別寫出它們的表達式。

學生紛紛討論，答案如下幾種：

根據圖甲，可以把陰影部分的面積看作兩個矩形面積之和，即a（a-b）+b（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2

根據圖乙，整合后的陰影部分矩形的長與寬分別為（a+b）和（a-b），則陰影部分面積就為（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2（實際上這個同學已經運用乘法分配律的方法了，但此時還沒有完全理解它的含義）。

還有的同學直接表達出圖甲的陰影面積為大的正方形面積減去小正方形面積，即a2-b2，而圖乙表達式則為（a+b）（a-b），根據陰影部分面積相等得出：（a+b）（a-b）=a2-b2。

（2）請同學們再運用乘法分配律計算一下（a+b）（a-b），即（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2請你們結合你們的計算結果，看看它們是一種巧合嗎？能得出什么樣的結論？

結論：（a+b）（a-b）=a2-b2。

那么，你們發現以上的等式有什么樣的特征呢？能用語言描述嗎？（探究新知）

總結出平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。（剛才學生的探究與計算的過程恰恰為平方差公式的推導過程。）

（3）請問下列算式能否用平方差公式計算？如果能請計算一下。（知識鞏固）

（4）請大家仔細觀察，以下兩個題目是否可以運用平方差公式進行計算？如果能請嘗試計算一下。（知識拓展）

（5）總結與評價

二、過程性分析

從以上的案例教學看，首先教師以設置一定的情境開始，利用學生對幾何面積的已有知識，解決面積計算問題，通過幾何面積各種計算方法，然后因勢利導，再結合已知經驗乘法分配律，引導學生觀察與分析它的特點，并嘗試運用語言描述出來，即本節課的新知——平方差公式。緊接著教師呈現出4個鞏固知識的小題目和2個拓展性問題，無疑再次調動學生的思維，促使學生重新回到平方差公式的特點中去，在比較中思考，在思考中比較，這不僅是鞏固和提高的問題，而是知識、能力、思維進一步拓展的過程。

縱觀整個教學流程，教師根據教學目標和學生學習的重難點設計相關問題，然后緊緊以問題呈現、問題分析、問題實踐、問題解決為核心，逐步展開導學、導思、導練的教學過程。問題導向中的問題設計充分考慮到學生已有知識的利用，新舊知識的聯系，以及新知獲得與運用等，還體現出問題思路的階梯狀和層次性，且問題之間相互“照應”，教學效果明顯。

三、教學效果性思考

首先，問題導向教學促進了學生學習意識和能力發展，對于提升學生的數學學習力具有很強的效果。問題導向功能體現在對學生學習的“導”，學生能根據教師設計的導學問題逐漸展開學習，并能根據各自的學習特點運用多種學習方法逐步解決問題，獲得一定的成就感。

其次，問題導向教學促進學生思維的發展。而從教學過程來看，問題導學既有已有知識經驗的運用，也有對新知識的驗證，同時也是實踐的探索，新舊知識之間的聯系縱橫交錯，學生的思維在舊知與新知的切換中不斷被調動著、激活著。

再次，問題導向教學有效激發了學生合作學習的意識。導學問題設計目標明確，思路清晰，導學流程層層遞進，學生的學習一直處于發現問題、感知問題、分析問題和解決問題的過程，而且在這個過程中并不是一個人的獨立思考，還需要教師的點撥，同伴的互助，因而學生自主學習的空間相對拓寬，合作學習得到體現。

總之，數學學習重在思維激發，而問題是思維開啟的基礎，正所謂“問題是數學的心臟”，所以說，解決好數學的“心臟”問題，也就為數學思維的開啟提供足夠的動力。數學問題是辯證的，存在于矛盾和聯系之中，也正是如此，數學問題的教學應始終在問題的辯證分析中展開，這樣學生不僅獲得解決問題的能力，同時數學思維品質也得到發展。

（作者單位：江蘇省南京市華電中學）