尖點突變理論在邊坡抗震穩定分析中的應用

于 勉

(高郵市水利建筑安裝工程總公司，江蘇 高郵 225600 )

當使用強度折減法[1- 3]進行邊坡動力穩定分析時，結果的準確性與所用失穩判據關系密切。塑性區貫通、迭代不收斂和關鍵點位移突變判據是目前常用的動力失穩判據。其中，塑性區貫通無明確客觀指標；迭代不收斂在動力工況下的不收斂判定標準尚不明確和統一；關鍵點位移突變判據對突變點位置的判定受主觀因素影響較大。為了使關鍵點位移突變判據結果更為客觀，部分學者利用尖點突變理論來判定位移突變位置，如宋鑫華、包太等[4]運用尖點突變理論研究土質邊坡的穩定性；史俊濤、孔思麗等[5]將尖點突變模型運用到非均質土坡穩定分析中，結果表明：尖點突變模型求解出的安全系數精度較高；戴妙林、李強偉等[6]將尖點突變理論分別應用于均質土坡和巖質邊坡，結果表明：尖點突變模型計算出的安全系數與極限平衡法計算出的結果相近，其在均質土坡和巖質邊坡中的應用是可行的。但目前尖點突變理論在邊坡抗震穩定分析中的應用較少，文章將尖點突變理論應用于邊坡動力分析中，通過建立坡頂關鍵點水平向震后殘余位移與強度折減系數的尖點突變模型，進而定量給出邊坡的動力安全系數，并將計算結果與塑性區貫通判據結果進行對比，以此說明尖點突變理論在邊坡抗震穩定分析中的應用是可行的。

1 計算理論與方法

1.1 強度折減法

強度折減法固定地震荷載不變，把邊坡現狀抗剪強度參數(c，φ)等比例折減k倍，然后用折減之后的邊坡抗剪強度參數(c1，φ1)進行動力時程分析，計算公式如下：

(1)

定義使邊坡達到臨界動力失穩狀態時對邊坡抗剪強度參數(c，φ)的折減程度k為動力安全系數。

1.2 失穩突變模型

為避免人為判斷震后殘余位移突變點位置產生誤差，通過構造尖點突變模型[7]用數學判別式來定量搜尋突變點的位置。假設震后殘余位移E是隨邊坡動力折減系數k變化的連續函數，并進行四次泰勒級數展開，則

E=f(k)=a4k4+a3k3+a2k2+a1k+a0

(2)

E=b4c4+b2c2+b1c+b0

(3)

式中，

(4)

對式(4)求導，令導數等于0，即得平衡曲面方程

x3+ux+v=0

(5)

其分差集方程為

4u3+27v2=0

(6)

令

Δ=4u3+27v2

(7)

當Δ>0時，系統處于穩定狀態；當Δ=0時，系統處于臨界狀態；當Δ<0時，系統失穩破壞。

2 算例分析

2.1 計算模型

邊坡尺寸及有限元模型分別如圖1、圖2所示，強度準則選取Mohr-Coulomb準則，具體材料參數見表1。

圖1 邊坡模型尺寸

圖2 有限元計算模型

表1 邊坡材料物理力學參數表

文章基于規范反應譜[8]以阻尼比5%，動力放大系數βmax=2.5合成一組水平向峰值加速度為0.2g和豎向峰值加速度為0.133g人造地震波。人造波持時20s，計算步數為2000，步長0.01s，如圖3所示。

圖3 地震加速度時程曲線

文章采用黏彈性邊界[9]來模擬遠域地基輻射阻尼對地震波的影響，并將地震波轉換成等效節點力[10]施加在邊界上。

2.2 位移突變判據

提取關鍵點A的水平向震后殘余位移并分繪制其與動力折減系數的關系曲線(圖4)，從圖4中可以看出關鍵點A位移突變的位置處于k=1.35～1.4之間，具體突變位置需根據尖點突變理論來判定。

圖4 關鍵點水平向殘余位移與動力折減系數關系曲線

圖5和圖6分別為k=1.38和k=1.39時的關鍵點殘余位移與動力折減系數的擬合曲線，可以看出兩條擬合曲線的R2分別為0.9979和0.9946，都很接近1，說明擬合效果較好。

圖5 k=1.38時關鍵點水平向殘余位移與動力折減系數擬合曲線

圖6 k=1.39時關鍵點水平向殘余位移與動力折減系數擬合曲線

根據圖5，當動力折減系數k=1.38時，根據式(2)～式(7)對前10個包括k=1.38共11個動力折減系數進行四次多項式擬合，得到下式：

E=54.385k4-248.1k3+423.66k2-
320.83k+90.895

(8)

簡化后代入式(4)得突變模型標準式：

(9)

得到：Δ=4u3+27v2=4·(-0.10443)+27·0.03042=0.02。

根據圖6，當動力折減系數k=1.39時，同上，對前12個包括k=1.39共13個動力折減系數進行四次多項式擬合，得到下式：

E=80.397k4-370.14k3+637.46k2-
486.62k+138.91

(10)

簡化后代入式(4)得突變模型標準式：

(11)

得到：Δ=4u3+27v2=4·(-0.17553)+27·0.02352=-0.0067。

結果顯示：當k=1.38時,Δ=0.02>0，此時邊坡結構穩定；當k=1.39時,Δ=-0.0067<0，此時邊坡失穩破壞。所以邊坡動力安全系數處于1.38～1.39之間，為了安全考慮，動力安全系數定為1.38。

2.3 塑性區貫通判據

隨著折減系數的增大，巖土材料在不斷軟化，塑性區從邊坡最薄弱的地方慢慢開展直至貫通。如圖7所示，當k=1時，塑性區只產生于坡腳一小塊區域內，隨著k的不斷增大，塑性區慢慢向坡頂擴展；當k=1.32時，塑性區延伸到坡頂，邊坡產生了貫通坡頂和坡腳的滑裂帶。

圖7 邊坡塑性應變云圖

由塑性區貫通判據計算出的邊坡安全系數為1.32，小于位移突變判據給出的安全系數1.38，說明塑性區剛剛貫通時，邊坡還具有一定的承載力，并未整體失穩，正好印證了塑性區貫通是邊坡失穩的必要非充分條件這一觀點[11]。

3 結論

(1)通過建立坡頂關鍵點水平向震后殘余位移與折減系數的尖點突變模型，可以定量給出邊坡的動力安全系數，所得結果稍大于塑性區貫通判據結果，證明了尖點突變模型在邊坡動力穩定分析中的應用是可行的。

(2)由于邊坡動力問題的復雜性，建議在確定邊坡動力安全系數時綜合運用位移突變判據和塑性區貫通判據。