超聲輔助磨削杯形砂輪變幅器設計與試驗*

牛金榮 秦慧斌 馮 毅 周瑞峰 呂 明

(1 中北大學先進制造技術山西省重點實驗室 太原 030051)

(2 太原理工大學精密加工山西省重點實驗室 太原 030024)

0 引言

當前，硬質合金、陶瓷、光學玻璃、金屬基碳化硅復合材料等硬脆材料已廣泛應用于航空航天、醫療器械、汽車制造等諸多領域[1]。此類材料具有優異的機械、物理和化學性能，如密度低、比模量大、硬度高、化學穩定性高、耐磨損、耐高溫、耐腐蝕等，應用前景非常廣闊[2]。但硬脆材料具有高脆性、低斷裂韌性的特點，彈性極限與強度非常接近，加工過程中，當材料所受的載荷超過彈性極限時，就會產生斷裂破壞，在加工表面上出現裂紋及凹坑，表面質量和性能受到嚴重的影響[3]。在使用傳統方法加工的過程中，存在著刀具磨損嚴重、切削力大、加工效率低、加工表面質量差、容易造成材料損傷等諸多問題，不利于硬脆材料的推廣使用。

超聲磨削具有降低磨削力和磨削熱、減小加工損傷、提高加工效率和精度、延長刀具壽命等優點，是一種對復合材料、硬脆性材料等難加工材料有效的精加工工藝[4]。超聲磨削系統是實現超聲磨削的核心執行裝置，在國內外現階段研究中，從運動方式上可將其分為工件旋轉型和刀具旋轉型；從供電方式上可分為接觸供電式和非接觸供電式；從裝置結構上可分為主軸附件式和平臺式。其中主軸附件式的磨削裝置應用前景較為廣泛。該裝置能夠方便地安裝在傳統機床上使用，利用普通機床實現超聲磨削加工，對機床的改動很小，不影響機床原有的使用，具有良好的市場應用價值。

在超聲磨削系統中，激勵砂輪產生超聲頻率振動的關鍵部件是由變幅桿與砂輪組成的變幅器。砂輪規格種類繁多，結構形狀多樣，如何正確設計變幅器，便成為了超聲磨削系統設計的首要環節。杯形砂輪在磨削加工中應用廣泛，常用來端磨平面及刃磨刀具。在關于杯形砂輪磨削加工的研究中，Wu等[5]通過分析杯形砂輪對陶瓷涂層進行平面磨削的過程，建立了杯形砂輪的磨削力理論模型并進行了實驗驗證。王少雷等[6]則研究了杯形砂輪磨削過程中磨削深度和磨削速度對加工質量的影響。將杯形砂輪與超聲振動相結合，以杯形砂輪為磨削工具頭的超聲磨削系統可利用杯形砂輪實現對平面的超聲磨削加工。圖1為以杯形砂輪為加工工具的超聲輔助磨削主軸附件式工具系統結構簡圖。該裝置通過外套筒上的標準刀柄與機床主軸連接，通過導電滑環完成超聲波發生器與換能器間的電能傳輸。杯形砂輪在主軸帶動下做旋轉運動的同時，在換能器的激勵下產生超聲振動，完成對工件的超聲輔助磨削。在該超聲磨削系統中，杯形砂輪變幅器的正確設計具有重要意義。

圖1 杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統Fig.1 Spindle accessory UAG device with a cup wheel

在具有杯形結構的變幅器研究中，一種設計方法是完全通過有限元軟件進行設計，其中Brecher等[7]基于有限元軟件和Matlab 提出了一種應用于超聲輔助磨削的杯形砂輪變幅器的快速設計方法。同樣基于有限元軟件，唐岳[8]設計了用于瓷磚磨削加工的杯形砂輪變幅器。與以上兩者不同，另一種方法是通過理論對變幅器進行設計，并結合有限元進行修正。Xu[9]基于等效電路法和有限元分析，研制了具有錐形深孔的杯形工具變幅器。陳匯資等[10]基于一維縱振理論、薄板彎曲振動理論和耦合振動理論，結合有限元分析對一種用于硬脆材料高精度曲面加工的杯形工具變幅器進行了全諧振設計，并通過有限元軟件對杯結構的不同尺寸對變幅器整體諧振頻率的影響進行了研究。趙金墜[11]則基于復合變幅桿振動理論、薄盤彎曲振動理論、耦合振動理論，設計了一種忽略杯形砂輪磨料層的杯形工具變幅器。馬付建等[12]基于細長桿縱振理論和薄圓盤振動理論，結合有限元分析，對杯形工具變幅器進行了非諧振一體化設計。在上述基于振動理論對變幅器進行設計的研究中，均采用薄盤彎曲振動理論來建立杯形工具變幅器中圓盤段的理論模型，該理論假設條件中要求圓盤厚度與直徑的比值非常小，而杯形砂輪金屬基體的圓盤部分厚度與直徑的比值較大，更加適合用中厚盤理論來進行計算。

針對上述問題，本文對超聲輔助磨削主軸附件式工具系統中杯形砂輪變幅器進行了研究，將杯形砂輪變幅器劃分為圓錐桿、圓盤、圓管和磨料層4部分，通過Mindlin 中厚盤理論得出了圓盤的橫向位移、徑向轉角、徑向彎矩和徑向剪力的函數表達式，并分別建立了圓錐桿、圓管和磨料層的位移和應變函數表達式。通過變幅器各組成部分之間的邊界條件和耦合條件，推導了杯形砂輪變幅器的頻率方程。在理論基礎上，通過Matlab開發了杯形砂輪變幅器設計軟件。利用該設計軟件對變幅器進行了設計，并通過有限元軟件進行分析及修正，最終確定了杯形砂輪變幅器的尺寸并制作了實物。將研制的杯形砂輪變幅器與BT40 一體化外套筒、導電滑環裝配在一起，組成了杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統并進行了試驗分析。

1 杯形砂輪變幅器設計理論

1.1 變幅器理論模型

杯形砂輪變幅器由杯形砂輪、圓錐桿和緊固螺母組成，杯形砂輪通過螺紋連接固定在圓錐桿小端。杯形砂輪包括金屬基體和磨料層兩部分，為便于分析，將金屬基體假想為由圓盤、圓管組成的結構。圖2為杯形砂輪變幅器的結構示意圖，其中I為圓錐桿，II為砂輪金屬基體圓盤，III為砂輪金屬基體圓管，IV為砂輪磨料層，V為六角螺母。由于螺母體積較小，因此在理論分析中將其忽略。圓錐桿左端半徑為R1，右端半徑為R2，長度為L；砂輪金屬基體圓盤的中心孔半徑為R3，盤厚為t1；砂輪金屬基體圓管的內圓半徑為R4，外圓半徑為R5，管長為t2；砂輪磨料層的厚度為t3。變幅器各部分的密度、彈性模量和泊松比分別用ρi、Ei、μi(i=1,2,3)來表示，i=1,2,3 分別對應圓錐桿、杯形砂輪金屬基體、杯形砂輪磨料層。

圖2 杯形砂輪變幅器結構Fig.2 Structure of cup wheel transformer

杯形砂輪變幅器中，圓錐桿左端連接壓電換能器，換能器激勵圓錐變幅桿作縱向振動，變幅桿激勵圓盤做橫向彎曲振動，在圓盤外側的圓管和磨料層則在圓盤邊緣的帶動下做縱向振動，在磨料層的右端，振動以縱向振動的形式輸出。

(1)圓錐桿

變幅器工作時，圓錐桿在換能器激勵下產生縱向振動，其縱振位移ξ1和應變ε1的函數表達式為[13]

(2)圓盤

圓盤在錐形變幅桿縱向振動的激勵下做橫向彎曲振動。依據Mindlin中厚盤求解理論，圓盤的橫向位移w和徑向轉角βr的函數表達式為[14]

其中，

其中，Aj、Bj(j=1,2)為待定常數，由圓盤邊界條件確定；J0(·)、Y0(·)分別為圓盤橫向彎曲振動時的節徑數為零的第一類和第二類貝塞爾函數。

此外，根據Mindlin 理論，圓盤徑向彎矩Mr和徑向剪力Qr為

式(5)中，彎曲剛度D、剪切彈性模量G、剪切影響因子kτ的計算方式為

(3)圓管

當杯形砂輪變幅器圓管部分的直徑超過四分之一波長時，其實際振動表現為縱向、徑向耦合振動，求解該振型的理論非常復雜，難以得到解析解。為了簡化分析，忽略了其徑向振動，采用了一維縱振理論來建立圓管部分的理論模型[15]。在這種情況下，圓管縱振位移ξ3和應變ε3的函數表達式為

其中，A3、B3為由圓管邊界條件確定的待定常數。圓波數k3、圓頻率ω、縱波波速c3的計算方式為。

(4)磨料層

磨料層形狀近似圓管狀，因此也用忽略徑向振動的一維縱振理論進行簡化計算。磨料層縱振位移ξ4和其應變ε4的函數表達式為

其中，A4、B4為由磨料層邊界條件確定的待定常數。圓波數k4、圓頻率ω、縱波波速c4的計算方式為。

1.2 頻率方程

圓錐桿的大端面和換能器的輸出面通過螺紋緊固連接，但換能器處于懸空狀態，圓錐大端無限制其位移的固定約束，為自由端，因此大端面上應力為零，即E1ε1|z=0=0，將式(2)代入得

圓錐桿z=L、r=R2處與圓盤r=R3處通過螺母緊固連接，該接觸面上滿足受力相等和位移相等的連續條件，即

將式(1)～(5)代入得

杯形砂輪通過螺母緊固在圓錐桿小端后，其連接可近似視為剛性連接，圓盤無徑向轉動，故其在r=R3處的徑向轉角βr為零，即βr|r=R3=0，將式(3)代入得

當杯形砂輪變幅器工作時，圓盤在圓錐桿縱向振動激勵下做橫向彎曲振動，無徑向轉動，故其r=R5處的徑向轉角βr為零，即βr|r=R5=0，將式(3)代入得

圓盤和圓管同屬杯形砂輪的金屬基體，故在兩者間假想的接合面處滿足受力相等和位移相等的連續條件，即

將式(3)～(7)代入得

杯形砂輪中，磨料通過結合劑固結在金屬基體上，因此圓管和磨料層的在連接面處滿足受力相等和位移相等的連續條件，即

將式(6)～(9)代入得

磨削加工中，杯形砂輪磨料層表面與工件相接觸并受到磨削力的作用。然而，加工過程中的磨削力是動態變化的，現階段難以對其進行建模及計算。為方便計算，將磨料層的右端簡化為自由端，受力為零，即E3ε4|z=L+t1+t2=0，將式(9)代入得

聯立式(10)～(19)，經過整理可以得到一個齊次方程組：

其中，

ζ10×1=[C1C2A1A2B1B2A3B3A4B4]T.

Dpq(p,q=1,2,···,10)為式(10)～(19)中的待定常數Ai、Bi、Cj(i=1,2,3,4；j=1,2)的系數，可由變幅器各部分幾何尺寸、材料性能參數和工作頻率求得。列向量ζ10×1中的元素全部為零時，變幅器處于靜止不振動的狀態，與實際情況不符。因此，列向量ζ10×1應取非零解，其充要條件為

式(21)即為杯形砂輪變幅器的頻率方程。若變幅器有一個尺寸未知，則根據變幅器的已知幾何尺寸、材料性能參數和設計頻率，可由頻率方程求得該未知尺寸，完成變幅器的設計。

2 杯形砂輪變幅器設計

2.1 變幅器設計軟件

為簡化設計流程，基于上述理論利用Matlab開發了杯形砂輪變幅器設計軟件，如圖3所示。

軟件流程圖如圖4所示。首先在界面中輸入杯形砂輪變幅器的材料性能參數、尺寸參數、諧振頻率，并選擇默認求解區間或自定義求解區間。然后單擊“計算”鍵，程序將輸入參數代入至求解函數中進行計算。若有解，則將結果顯示在“變幅桿長度求解結果”一欄中，同時給出對應的求解曲線圖；若無解，則提示求解無效，需調整參數重新計算。

圖3 軟件人機交互界面Fig.3 Human-computer interface of the software

圖4 軟件流程圖Fig.4 Folwchart of the software

2.2 變幅器設計

利用上述軟件對杯形砂輪變幅器進行設計，頻率為20 kHz，圓錐變幅桿材料為45#鋼，杯形砂輪金屬基體材料為鋁，磨料層材料為金剛石。各材料的性能參數如表1所示。將圓錐變幅桿桿長L作為待求尺寸，圓錐桿其余尺寸及砂輪尺寸等已知尺寸如表2所示。將上述參數輸入至變幅器設計軟件中求解，得圓錐變幅桿桿長L為137.1 mm。

表1 材料性能參數Table 1 Mechanical properties of materials

表2 杯形砂輪變幅器尺寸Table 2 Parameters of cup wheel transformer

3 變幅器有限元分析及修正

根據理論設計所得的變幅器尺寸，建立了變幅器的三維模型并對其進行了模態分析。其結果如圖5(a)所示，此時變幅器的諧振頻率為18.824 kHz，比預期的設計頻率20 kHz 小1176 Hz，誤差為5.56%，需對變幅器進行進一步修正。造成理論計算與有限元模態分析之間存在誤差的原因有：(1)當杯形砂輪變幅器圓管部分的直徑超過四分之一波長時，其實際振動表現為縱向、徑向耦合振動，求解該振型的理論非常復雜，難以得到解析解。為了簡化分析，忽略了其徑向振動，采用了一維縱振理論來建立圓管部分的理論模型，因而會導致一定的誤差。(2)頻率方程是基于理想狀態下的圓錐桿縱向振動、圓盤橫向彎曲振動、圓管一維縱向振動的理論公式推導而得，與仿真過程中模擬實際所設置的條件并不完全一致，因而會造成一定的誤差。(3)由于小端螺紋、緊固螺母等部分體積較小，在建立變幅器理論模型時將其忽略不計，而在ANSYS模態分析中為了更加接近實際情況，添加了這些結構，因而會導致一定的誤差。

修正時，將圓錐變幅桿桿長縮短至128 mm，其余尺寸均保持不變。建立修正后的三維模型并導入ANSYS 中進行模態分析，其結果如圖5(b)所示。此時變幅器的諧振頻率為19.942 kHz，與設計頻率20 kHz 相差58 Hz，誤差為0.29%，滿足設計要求。至此，變幅器主要尺寸已設計完成。

圖5 變幅器模態分析結果Fig.5 Modal analysis results of the transformer

變幅器主要尺寸設計完成后，需在圓錐桿上添加法蘭盤，用以連接超聲輔助磨削裝置的BT40 刀柄一體化外套筒。為避免將超聲振動傳遞到套筒上引起能量耗散，降低系統穩定性，法蘭盤的位置應設在圓錐桿的節點上，使其保持靜止不振動的狀態。但是，變幅桿軸線上的節點和外表面的節點存在位置偏差，針對法蘭盤設置在哪個節點上更為準確這一問題，許多學者進行了研究。趙明利等[16]借助有限元軟件對變幅桿節點進行分析研究，結果表明帶工具頭變幅桿外廓線與軸線上節點位置不重合，按軸線節點位置安裝的法蘭存在較大的振動位移。陳俊波[17]研究了圓柱形階梯變幅桿的法蘭最佳位置，發現應在變幅桿外圓面位移為零的節點添加法蘭，而非軸線上位移為零的節點。趙波等[18]發現軸線上位移為零的節點位置所對應的外廓線處位移并不為零，通過Matlab 得出軸線到外輪廓之間所有零節點的位置并不在同一個平面上，而是形成一個曲面。以上研究表明，在變幅桿上設置法蘭盤時，其位置應選擇在變幅桿外表面的節點上，而非軸線的節點上。將所設計的變幅器的三維模型導入ANSYS 中進行諧響應分析，在圓錐桿大端端面施加6 μm 的軸向位移載荷，頻率設置為19.942 kHz，定義路徑設置在圓錐桿外表面的母線上，通過諧響應分析得到圓錐桿母線上的縱振振幅分布如圖6所示。

圖6 圓錐桿母線方向振幅分布Fig.6 Displacement distribution of the conical horn along the generatrix

圖7 杯形砂輪變幅器模態分析結果Fig.7 Modal analysis result of the cup wheel transformer

圓錐桿的節點位于沿母線方向距大端58 mm處，應在此處添加法蘭盤。在Solidworks中建立添加了法蘭盤及連接螺栓的三維模型并導入到ANSYS中進行模態分析，其結果如圖7所示。所添加的法蘭完全處在節點位置，不發生振動。變幅器在添加了法蘭及圓錐桿大端的連接螺栓后，模態分析所得的諧振頻率有所降低，由19.942 kHz 變為19.357 kHz，與設計頻率20 kHz相差643 Hz，誤差為3.2%，在所允許的誤差范圍內。在模態分析得到的全部模態結果中，所需頻率19.357 kHz 的上下相鄰兩階頻率分別為18.797 kHz 和20.333 kHz，分別相差560 Hz和976 Hz，不會對該頻率造成干擾。

4 試驗分析

依據上述尺寸設計結果加工了變幅桿，并購置了20 kHz 換能器及金剛石杯形砂輪。將三者與BT40 刀柄一體化外套筒和導電滑環裝配在一起(在換能器、變幅桿、杯形砂輪的連接面處涂一層凡士林，減少能量損失)，組成如圖8所示的杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統。該超聲振動系統的電能傳輸由導電滑環完成，所使用的滑環最高轉速為3000 r/min，工作壽命為2 億轉。工作時，超聲波發生器產生的高頻電能通過導線流入滑環轉子，繼而從滑環定子通過導線流入壓電換能器，產生超聲振動。

圖8 杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統Fig.8 Spindle accessory UAG device with cup wheel

4.1 阻抗特性試驗

為分析該超聲振動系統的阻抗特性，使用PV70A型阻抗分析儀進行了阻抗分析試驗，測試裝置如圖9所示，測得結果如圖10所示。

圖9 阻抗分析試驗Fig.9 Impedance analysis test

阻抗分析結果表明，該超聲振動系統的導納曲線(粉色線)為一個完整的單圓，對數坐標圖中紅色線只有一對極小值和極大值，藍色線呈現明顯的“幾”字形，說明該超聲振動系統內部結構合理，壓電陶瓷換能器和杯形砂輪變幅器阻抗匹配效果較好。在圖10的參數欄中，該超聲振動系統的諧振頻率Fs為20.2344 kHz，與換能器實測頻率19.9096 kHz 相比(利用阻抗分析儀對試驗所使用的20 kHz 換能器進行測試，實際測得的諧振頻率Fs為19.9096 kHz)，兩者相差324.8 Hz，誤差為1.63%。這說明該超聲振動系統的工作頻率與換能器本身的工作頻率相差很小，當該超聲振動系統處于諧振點時，換能器將處在一個較為理想的工作狀態。此外，該超聲振動系統反諧振頻率Fp為20.5021 kHz，頻率帶寬Δf(Fp-Fs)為267.7 Hz，動態電阻R1為47.3 Ω，機械品質因素Qm為522.652，說明該超聲振動系統振動效率較高。

圖10 杯形砂輪超聲輔助磨削系統阻抗測試結果Fig.10 Result of impedance analysis test

4.2 超聲諧振試驗

為研究該超聲振動系統的諧振特性，進行了超聲諧振實驗，如圖11所示。將超聲波發生器與滑環轉子間的導線相連接，啟動電源，按下聲波運行按鈕，通過調頻螺母調節超聲波發生器輸出的電信號頻率，使超聲振動系統處于諧振狀態并保持穩定，此時，超聲波發生器顯示頻率為20.151 kHz(通過調節調頻螺母，該頻率的值可在小范圍內變化)。在砂輪表面均勻撒上碳化硅顆粒(砂輪以下部件用白色塑料紙包裹，以免碳化硅顆粒落入其中)，開啟超聲波發生器后，碳化硅顆粒在砂輪振動的作用下迅速聚集為兩個圓環，如圖12所示，表明砂輪底部呈現出節圓型彎曲振動，與理論設計中的彎曲振動假設和仿真模態結果相符。超聲諧振試驗證明所研制的杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統諧振效果較好，為進行超聲加工實驗奠定了基礎。

圖11 超聲諧振試驗Fig.11 Ultrasonic resonance test

圖12 超聲諧振試驗結果Fig.12 Result of ultrasonic resonance test

5 結論

(1)推導了杯形砂輪變幅器的頻率方程，建立了杯形砂輪變幅器設計理論，開發了杯形砂輪變幅器設計軟件。利用該軟件設計了20 kHz 杯形砂輪變幅器，并對其進行了模態分析，理論與仿真兩者間的誤差為5.56%。造成該誤差的主要原因是，圓管部分的一維縱振理論模型無法完全準確地描述圓管實際的縱徑耦合振動模態，因而導致設計結果存在一定誤差。但該誤差小于10%，仍滿足工程應用的要求。

(2)在理論設計的基礎上，利用有限元軟件對所設計的變幅器進行了分析及修正，確定了杯形砂輪變幅器的最終尺寸。根據該尺寸加工了杯形砂輪變幅器實物，將其與刀柄一體化外套筒、導電滑環一起組裝成了杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統。

(3)對所研制的杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統進行了阻抗分析試驗和超聲諧振試驗。結果表明：該超聲振動系統內部結構合理，壓電陶瓷換能器和杯形砂輪變幅器阻抗匹配效果較好，能夠實現穩定的超聲振動，為進行超聲磨削實驗奠定了基礎，為主軸附件式超聲磨削裝置的設計提供了理論參考。

(4)所研制的杯形砂輪超聲輔助磨削主軸附件式工具系統在經過后續的動平衡調整合格后，即可對杯形砂輪的振幅進行測量，并進行超聲磨削加工實驗，對該超聲磨削裝置的性能(振幅、頻率、發熱、切削力、刀具壽命等)及工件加工質量(粗糙度、加工紋理、表面損傷等)進行研究。