焊接殘余應力對矩形薄板非線性因素忽略條件的影響

唐果，李志高，舒慧，龔帥

焊接殘余應力對矩形薄板非線性因素忽略條件的影響

唐果1,2，李志高2，舒慧2，龔帥3

（1.湖南軟件職業學院，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大學，湖南 湘潭 411201；3.岳陽宇翔科技有限公司，湖南 岳陽 414012）

以具有對接焊接殘余應力的非線性矩形薄板為研究對象，根據非線性振動理論，研究得出了在薄板和薄板結構的設計和計算分析時，具有焊接殘余應力矩形簿板非線性因素忽略的條件和矩形薄板非線性因素忽略的分界線；通過分析獲得了矩形薄板的固有頻率在一定的范圍內，可以不考慮非線性因素；不考慮非線性因素的范圍隨殘余應力的增大而增大；等值的增大殘余應力，隨殘余應力增大不考慮非線性因素的區域的增大越來越快等結論。提出了在要求允許的前提下，通過提高構件殘余應力增加不考慮非線性因素的固有頻率范圍的方法。

焊接殘余應力；矩形薄板；非線性因素；忽略條件

薄板是工程結構中常見的元件之一，廣泛應用于機械、化工、造船和宇航等領域。在土建結構中板、板粱、箱形梁、箱形基礎、水閘閘門以及施工機械、大型薄壁容器、船舶、飛行器等結構物中都大量采用薄板結構，這其中矩形薄板的應用尤為普遍[1]。在構成薄板結構時，通常要進行焊接，所以在薄板內存在焊接殘余應力，其對薄板的性能與可靠性、動力學特性與參數將產生影響[2]。因此，有必要研究焊接殘余應力對薄板的動力特性和參數的影響。目前，相關文獻主要研究了焊接殘余應力對構件固有頻率[3]、非線性矩形薄板奇點[4]和解的穩定性[5]、非線性構件固有頻率和幅值的極大值[6]的影響；給出了具有焊接殘余應力的矩形薄板固有頻率計算方法[7]；對振動時效效果評定的參數曲線觀察法進行了理論說明[6]；研究了磁法檢測不銹鋼殘余應力的方法[8]；探討了高速列車地板焊接變形及殘余應力影響[9]。一般情況下薄板是非線性的，在對薄板和薄板結構進行設計和計算時，就要考慮其非線性因素忽略的條件，因此有必要研究殘余應力對非線性因素忽略條件的影響，所以本文將以具有對接焊接殘余應力的非線性矩形薄板為研究對象，在已有研究的基礎上，對該問題進行研究，為薄板和薄板結構的設計和計算提供參考。

1 具有焊接殘余應力矩形簿板的非線性運動方程

板動力學方程；文獻[13]在文獻[11-12]的基礎上得出了具有焊接殘余應力矩形簿板四邊為簡支邊的非線性運動方程為：

式中：為位移，m；為角速度，rad；、均為中間變量；為應變；為激勵1的幅值，GPa；為平行接合方向（平行于軸）的殘余應力幅值，GPa；為垂直于接合方向（垂直于軸）的殘余應力幅值，GPa；為材料彈性模量，GPa；為材料常數，其值為正；為板的厚度，m；為材料密度，kg/m3；為阻尼系數，N·s/m；為泊松比；為薄板抗彎剛度，Pa·m3。

2 非線性因素忽略的條件

設式（1）的穩態近似解為：

式中：為幅值，m；為相位，rad。

將式（3）代入式（1）[6]，利用諧波平衡法得出頻率響應方程；在頻率響應方程的基礎上，再利用隱形函數求導和求極值的方法，得出幅值的極大值B與對應固有頻率0的關系為式（4），由式（4）得固有頻率對應的幅值的極大值B為式（5），由式（5）得式（6）。

通過式（1）和式（2）可知，材料常數的大小反映了的大小；的大小反映了矩形薄板非線性的強弱。所以材料常數的大小反映矩形薄板非線性的強弱。只有在材料常數很小的情況下，矩形薄板的非線性因素才能忽略。因此通過式（6）可得矩形薄板的非線性因素忽略的條件為式（7）。

因此在對具有焊接殘余應力矩形簿板進行設計和計算分析時，只有在各個參數滿足式（7）的情況下才可以不考慮其非線性因素的影響，否則就不能忽略矩形薄板的非線性因素。

3 焊接殘余應力對非線性因素忽略條件的影響

將式（7）中的不等號用等號代替，得矩形薄板非線性因素忽略的分界線方程為式（8）。

取參數[6]：＝0.01 m、＝＝0.5 m、＝0.3、＝0.01、＝69.7 GPa、＝2.78×103kg/m、＝39.2×106N/m2、＝19.6×103N/m2。利用MATLAB軟件，在以B為縱坐標、固有頻率0為橫坐標軸的坐標平面上對式（8）畫曲線，得出矩形薄板非線性因素忽略的分界線如圖2和圖3所示。

圖2和圖3中，每條曲線的左邊是非線性因素可以忽略的區域；右邊是非線性因素不能忽略的區域。分析圖2和圖3可知，固有頻率在分界線與橫坐標的交點到坐標原點之間取值時，無論幅值的極大值B取什么值，都不考慮非線性因素；并且非線性因素忽略的分界線隨殘余應力的增大向右移動，說明不考慮非線性因素的區域增大。通過圖2和圖3還可知，等值的增大殘余應力幅值或，不考慮非線性因素的區域的增大越來越快。

圖2 非線性因素忽略的分界線隨殘余應力幅值F變化的曲線

圖3 非線性因素忽略的分界線隨殘余應力幅值G而變化的曲線

由以上分析可知，焊接殘余應力對矩形薄板非線性因素忽略條件將產生很大的影響，并由此得出了在要求允許的前提下，采用提高構件殘余應力增加不考慮非線性因素的范圍的方法。該方法為構件的設計和計算分析提供幫助。

4 結論

通過以上討論可得知，矩形薄板的固有頻率在一定范圍內時，可以不考慮非線性因素。固有頻率不考慮非線性因素的范圍隨殘余應力的增大而增大；范圍增大的速度隨殘余應力增大而增大。在對矩形薄板進行設計和計算時，在要求允許的前提下，可以采用提高構件殘余應力的方法，增大不考慮非線性因素的范圍。

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Influence of Welding Residual Stress on the Range Where the Non-Linear Factors of Rectangular Thin Plate Is Not Considered

TANG Guo1,2，LI Zhigao2，SHU Hui2，GONG Shuai3

( 1.Hunan Software Vocational Institute, Xiangtan 411201, China; 2.Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China; 3.Yue Yang Yu Xiang Technology Co.,Ltd., Yueyang 414012, China )

In this paper, the nonlinear rectangular plate with butt welding residual stress is taken as the research object, and on the basis of the nonlinear vibration theory, it is found out that it is possible to ignore the nonlinear factor of the rectangular plate with welding residual stress in the design and calculation analysis of the plate and the plate structure under specific condition, and also the critical point is obtained; The analysis result shows that the nonlinear factor of rectangular plate can be ignored in a certain range of the natural frequency; the range where the non-linear factor is not considered increases with the increase of residual stress.; with the increase of residual stress, the range where the non-linear factor is not considered increases faster and faster. Finally, the method of increasing the residual stress to increase the range where the non-linear factors is not considered when conditions permit is proposed

welding residual stress；rectangular thin plate；nonlinear factor；condition that the nonlinear factor is not considered

TG404；O327

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.09.006

1006－0316 (2020) 09－0040－04

2020－04－09

國家自然科學基金面上項目（51675174）

唐果（1957－），女，湖南湘潭人，碩士，副教授，主要研究方向為應用數學，E-mail：tang0326@163.com。