基于給定非線性剛度的柔順驅動器設計及性能評估

宋智斌，胡秀棋

（天津大學機械工程學院機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津300072）

近年來，隨著機器人技術的發展，人機共融的場景逐漸增多，這對人機交互的安全性提出了較高的要求［1-3］，機器人關節的柔順性顯得尤為重要。此外，仿生機器人關節更須具有一定的柔順性，才能實現適應環境的仿生運動［4］。

機器人關節的柔順性可以通過力/力矩控制來實現（即主動型柔順），也可以利用機械結構的固有柔性來實現（即被動型柔順），本文主要討論后者。串聯彈性驅動器（series elastic actuator，SEA）作為典型的被動型柔順驅動器，通過在驅動端和負載端之間串聯恒定剛度的彈性元件使機器人關節獲得柔順性［5］。該類驅動器具有較低的輸出阻抗及較好的力控制性能，但其控制帶寬和對不同工況的適應性因剛度恒定而受到限制［6］。

為彌補SEA的缺陷，學者們提出了變剛度驅動器（variable stiffness actuator，VSA）［7］。但是，VSA除了需要驅動關節運動的電機外，還需要額外的電機來調節關節剛度，以至于其結構復雜、能耗增加［8］。同時，由于VSA剛度調節與負載變化之間的非耦合關系，在特定工況下，剛度與負載間可能會匹配不合理，例如在需要承受大負載時匹配低剛度會導致關節失穩［9］。另外，VSA剛度的調節速度受限于控制效率和電機等的響應速度，這在一定程度上會削弱人機交互的安全性。

實際上，從生物力學角度來看，人體關節周邊肌肉組織的剛度與其被拉伸的程度呈非線性關系［10］，這種關系可以總結為“大負載下采用大剛度，小負載下采用小剛度”。從實際應用角度來看，這種剛度選擇機制具有較強的合理性：當負載較大時，為保證運動精度和控制帶寬，驅動器需要較大的剛度；當負載較小時，為保證力/力矩分辨率，提高對環境感知的靈敏度，應采用小剛度以使驅動器產生足夠的形變，從而便于檢測［11-12］。非線性剛度驅動器（nonlinear stiffness actuator，NSA）正是基于這種自然界的剛度選擇機制來設計的，利用負載與剛度之間的非線性耦合關系，根據負載大小自動調節驅動器剛度，從而不需要額外的調節剛度的電機。目前，國外很多學者已針對NSA開展了相關研究。例如：高麗大學的Park等人［13］設計了一款基于彈簧和雙滑塊機構的非線性剛度裝置，其剛度在負載大于安全值之后驟降，以實現安全碰撞，但這會使機構難以承受較大的負載，且在剛度調節過程中機構的轉角（以下簡稱為“剛度調節角度”）較大（40°），不適用于對運動精度要求較高的場合；意大利技術研究院的Thorson等人［14］利用內擺線機構和拉簧設計了非線性剛度裝置，用于機器人在跳躍過程中的緩沖和儲能，但其力矩—轉角關系曲線局限于近似二次函數與近似線性函數之間，且綜合尺寸較大；得克薩斯大學的Kuo等人［15］設計的柔順機械手關節是采用滑輪組扭轉壓迫張緊的特殊柔性材料，以模仿人手部關節的柔性，該柔順機械手關節的剛度曲線呈雙重指數函數型，但其承載能力較弱，且對材料的要求較高。目前，大部分非線性剛度裝置存在剛度調節角度過大、結構緊湊性低及剛度曲線類型單一等問題［16-18］。

為此，筆者擬基于“大負載下采用大剛度，小負載下采用小剛度”的剛度選擇機制，設計一種新的非線性剛度柔順驅動器，采用“凸輪+扭簧”機構結合齒輪的緊湊設計，實現可選剛度特性曲線的函數類型無特殊限制，且剛度調節角度較小。首先，介紹非線性剛度機構的工作原理、凸輪有效輪廓曲線的計算方法以及非線性剛度柔順驅動器的工作原理；其次，針對所設計的驅動器樣機，通過力學仿真和試驗對其剛度特性進行評估，并與相近的驅動器進行對比；最后，利用具有不同峰值和頻率的正弦力矩信號跟蹤試驗對驅動器的控制性能進行評估。

1 非線性剛度柔順驅動器的設計方案

1.1 非線性剛度機構的工作原理

如圖1所示，采用“凸輪+扭簧”機構實現非線性剛度。該機構工作原理為：滾子在驅動力矩T1的作用下繞O1旋轉，并推動凸輪繞O2旋轉；扭簧的一端與凸輪相連，另一端與機架相連，其中心與凸輪旋轉中心重合，凸輪旋轉迫使扭簧扭轉，扭簧對凸輪產生阻力矩T2，使系統達到平衡狀態。在該過程中，凸輪的有效輪廓直接影響滾子與凸輪之間的傳動比及其相互作用力的方向，進而影響滾子的旋轉角度θr。因此，可通過設計凸輪的有效輪廓曲線，實現給定的力矩—轉角關系，即實現剛度的非線性變化。

1.2 凸輪有效輪廓曲線的計算方法

圖1 “凸輪+扭簧”非線性剛度機構示意Fig.1 Diagram of"cam+torsion spring"nonlinear stiffness mechanism

如圖1所示，點P是滾子與凸輪的接觸點，也是凸輪有效輪廓曲線上的點。在凸輪旋轉中心處分別建立慣性坐標系O2-xy和凸輪坐標系O2-x0y0。根據“反轉法”原理［19］，若能求得在任意凸輪轉角θc下點P在坐標系O2-xy中的坐標（xP，yP），結合式（1）則可得到點P在坐標系O2-x0y0中的坐標（x0P，y0P），進而可以擬合出凸輪有效輪廓曲線。

根據圖1所示的幾何關系，可得：

式中：l、r分別為滾子繞O1的旋轉半徑和滾子的半徑；d、e分別為O1相對于O2的水平距離和豎直距離；α為滾子和凸輪間相互作用力與水平方向的夾角。

在實際計算過程中，l、r、d和e是預設的尺寸參數，可視為已知量。結合式（1）和式（2）可知，求解凸輪輪廓點坐標時須先得到θc與θr的對應關系。

首先，對“凸輪+扭簧”機構進行靜力學分析，在平衡狀態下，可得：

式中：F1、F2分別為凸輪對滾子的作用力和反作用力；a、b分別為F1相對于O1的力臂和F2相對于O2的力臂；T1、T2分別為滾子的驅動力矩和凸輪受到的阻力矩。

在式（3）中，T1是關于θr的顯函數，根據給定的力矩—轉角關系曲線進行計算；T2根據扭簧的彈性系數K和凸輪轉角θc進行計算，T2=Kθc；a、b則根據圖1所示的幾何關系進行計算。

聯立式（2）至式（4）可得：

式（5）包含3個變量：θr、θc和α，其中α不僅會對滾子和凸輪的受力情況產生影響，而且會對其傳動規律產生影響。因此，為求出θc與θr的關系，還應從傳動的角度建立α、θc與θr的對應關系。

根據滾子與凸輪的傳動關系，可得：

式中：μr為滾子與凸輪之間的瞬時傳動比，可以根據“瞬心法”進行計算。

聯立式（4）和式（7），可得：

由式（8）可知，式（6）包含θr和α兩個變量，它們之間存在一定的耦合關系，但無法直接求出顯式解，因此無法直接對式（6）進行積分運算。為此，采用離散化方法，將θr均勻分割化成m+1段，即式（6）可以離散為：

綜合式（5）、式（8）和式（9），可以計算傳動過程中各離散點處的θc和α，從而獲得α、θc與θr的對應關系。

結合式（1）和式（2），可求解出凸輪的有效輪廓曲線，相關計算流程如下：

1）初始化θr0、θc0、α0和迭代次數m；

2）按i從0至m依次取整數值循環進行以下步驟①至④的計算：

①將θri、αi和θci先后代入式（2）和式（1）求得輪廓點P0i；

②將θri和αi代入式（8）求得μri；

③將θci和μri代入式（9）求得θc（i+1）；

④將θc（i+1）和θr（i+1）=θri+Δθr代入式（5）求得αi+1。

由上述流程可知，在計算凸輪的有效輪廓曲線時，須先確定各變量的初始值θr0、θc0、α0和迭代次數m。在運算過程中，迭代次數決定了求解精度，理論上m越大，求解精度越高，但求解時間會增加，因此m的值須根據實際情況選取。顯然，在運動的初始位置處，θr0和θc0均為0°，而α0取決于驅動器的初始剛度，即給定的力矩—轉角關系曲線起始點處的斜率。當驅動器的初始剛度為0 N?m/°時，滾子在初始位置處的運動方向應與凸輪輪廓切線的方向平行，即α0=0°，此時滾子的轉動幾乎不受阻礙；當驅動器的初始剛度不為0 N?m/°時，由式（5）、式（6）和式（8）可推導得到T1關于θr和α的顯式表達式。將T1對θr求導可得：

在初始位置處，θr0=θc0=0°，將其代入式（10）即可求得α0。

1.3 非線性剛度機構預設參數的優化選擇

在求解凸輪有效輪廓曲線的過程中，尺寸參數l、r、d、e以及扭簧彈性系數K是需要預先設定的，它們取值的不同會導致凸輪有效輪廓曲線求解結果的不同，因此需要根據一定的標準進行優化選擇。為保證驅動器輸出端的運動精度，滾子的旋轉角度θr應較小，即凸輪的有效輪廓長度較短，但由于加工精度的影響，過短的凸輪有效輪廓長度會產生較大的相對誤差，影響驅動器的剛度曲線擬合精度。因此，在一定的約束條件下，以凸輪的有效輪廓長度（由相鄰輪廓點之間的距離之和代替）最長為優化目標，對非線性剛度機構的預設參數進行優化選擇。其中，約束條件包括驅動器整體尺寸的限制以及避免產生機械干涉。上述優化問題的數學模型如下：

式中：S為凸輪有效輪廓的長度；l、d、e的上下限可以根據驅動器整體尺寸的限制及避免產生機械干涉等要求進行選擇；由于滾子及扭簧采用的是工業系列產品，因此r和K應取系列值，在實際計算中可先將其取值范圍設為連續區間，然后根據計算結果選取最接近的系列值。

式（11）所示優化問題屬于多元約束優化問題，可用MATLAB軟件優化工具箱中的fmincon函數進行求解。

1.4 非線性剛度柔順驅動器的工作原理

圖1所示的“凸輪+扭簧”非線性剛度機構僅在單方向上具有所需的剛度特性。為了使驅動器可承載不同方向的外負載，同時使其內部整體受力均勻，設計了采用具有對稱結構的雙向非線性剛度機構的驅動器，如圖2所示。

圖2 采用雙向非線性剛度機構的驅動器的平面示意圖Fig.2 Plane schematic diagram of actuator with bidirectional nonlinear stiffness mechanism

雙向非線性剛度機構的4個凸輪（C1、C2、C3和C4）和2個滾子（R1和R2）均對稱分布，相鄰的凸輪共用1個滾子。為了節省驅動器外圍空間，增強緊湊性，將安裝在凸輪旋轉中心處的扭簧轉移到驅動器的中心位置處。同時，利用齒輪的傳動，使4個凸輪共用1個扭簧，避免了因使用4個扭簧而可能帶來的性能偏差。此外，通過齒輪傳動還可以增大扭簧的轉角，減小間隙誤差的影響。周邊齒輪和中心齒輪均采用殘缺齒設計方式，并配以限位釘和彈性系數較小的止動拉簧，以保證當其中一對周邊齒輪處于正常工作狀態（如圖2（b）中的G1和G3，負責傳遞扭矩），另一對周邊齒輪處于非工作狀態而位于固定位置處（如圖2（b）中的G2和G4）時，不對正常工作的構件造成運動干擾，即拉簧僅須克服周邊齒輪和凸輪自身的慣性力矩，該力矩相比于中心扭簧產生的力矩和外負載力矩可以忽略不計。

基于雙向非線性剛度機構對驅動器進行方案設計，主要構件在驅動器中的安裝位置如下：滾子的轉軸安裝在蝸輪上；凸輪與周邊齒輪固連，且其轉軸通過軸承安裝在驅動器的輸出端；凸輪的限位釘也固定安裝在驅動器輸出端；中心齒輪與蝸輪和驅動器輸出端擁有共同的旋轉中心，但彼此均無固連關系；中心扭簧的一端與中心齒輪相連，另一端與驅動器輸出端相連。驅動器的工作原理是：電機通過蝸桿蝸輪驅動滾子帶著雙向非線性剛度機構及驅動器輸出端旋轉，當驅動器輸出端遇外負載時，雙向非線性剛度機構產生隨滾子轉角非線性變化的平衡力矩，從而使驅動器表現為非線性剛度。

相較于圖1所示的單向非線性剛度機構，雙向非線性剛度機構的構型發生了變化。為了計算該機構中凸輪的有效輪廓曲線，須對扭簧的彈性系數K和驅動力矩T1進行等效換算。設從周邊齒輪到中心齒輪的傳動比為μg，中心扭簧的彈性系數為Ks，則可得到中心扭簧的扭轉角θs和扭矩Ts分別為：

由于中心扭簧的扭矩是通過中心齒輪均勻施加到周邊齒輪，則：

結合式（12）至式（14）及T2=Kθc，可推導得到扭簧彈性系數K可等效換算為：

設驅動器的整體驅動力矩為Td，該力矩由2個對稱的滾子共同傳遞給輸出端，則：

2 非線性剛度柔順驅動器樣機設計

基于上文的設計方案，設計了“大負載下采用大剛度，小負載下采用小剛度”的非線性剛度柔順驅動器樣機，其結構如圖3所示。

由圖3可知，非線性剛度柔順驅動器樣機的機械結構主要由驅動端、雙向非線性剛度機構以及輸出端三大部分組成。其中：驅動端包括電機基座、直流電機（型號為Maxon RE40）和蝸輪蝸桿減速器（減速比為150∶1）；輸出端為雙向非線性剛度機構除滾子外的部件提供安裝位置，并為驅動器外接構件提供了接口。

圖3 非線性剛度柔順驅動器樣機的三維模型Fig.3 Three-dimendional model of nonlinear stiffness compliant actuator prototype

為了便于控制非線性剛度柔順驅動器，須實時獲得其輸出端的位置信息和負載力大小。其中，位置可以通過驅動器輸出端的絕對轉角θa表征，負載力大小可以基于滾子的旋轉角度θr（非線性剛度機構的變形量），通過對照力矩—轉角關系曲線獲得。在非線性剛度柔順驅動器直流電機的尾部安裝旋轉編碼器（型號為HEDS-5540），用于測量電機輸出軸的轉角θm，同時采用磁柵尺傳感器（型號為MSR 500）測量驅動器輸出端的旋轉位移并結合圓周半徑計算輸出端的絕對轉角θa。其中，磁柵尺傳感器包括安裝在驅動器輸出端外圓輪廓上的磁柵尺和安裝在電機基座上的磁讀頭，具有成本低、靈敏度高的優點。根據傳動關系，由公式θr=θm/150-θa計算得到滾子的旋轉角度θr。

3 非線性剛度柔順驅動器的性能評估

為了對基于給定非線性剛度的柔順驅動器進行性能評估，分別對驅動器的剛度特性進行仿真分析和試驗驗證，同時對驅動器的力矩控制性能進行試驗評估。

3.1 非線性剛度柔順驅動器剛度特性評估

3.1.1 仿真分析

預設的非線性剛度特性曲線（力矩—轉角關系曲線）方程為：

柔性驅動器中非線性剛度機構的預設參數如表1所示。將其代入1.2節所述的凸輪有效輪廓曲線的計算流程中，利用MATLAB R2015b軟件求解凸輪的有效輪廓曲線，結果如圖4所示。依據計算得到的凸輪輪廓曲線，利用UG NX10.0建立凸輪及其對應的驅動器的三維模型，再將模型導入ADAMS 2016軟件進行力學仿真，根據仿真結果繪制剛度特性曲線，如圖5所示。結果表明，仿真值與理論值基本吻合，兩者的平均相對誤差僅為0.24 N?m?？紤]到止動拉簧客觀上會增加一定的阻力矩，這種誤差是合理且可接受的。

表1 非線性剛度機構的預設參數Table 1 Preset parameters of non-linear stiffness mechanism

圖4 凸輪有效輪廓曲線求解結果Fig.4 Solution of the effective profile curve of cam

3.1.2 實驗分析

非線性剛度柔順驅動器實物如圖6所示。在試驗中，除了在電機尾部安裝旋轉編碼器和磁柵尺傳感器用于測量角度外，還采用力矩傳感器（型號為ZNNT-30NM）用于測量外負載力矩。驅動器輸出端外殼是通過3D打印制成的，無法承受較大的力矩，因此將力矩傳感器安裝在強度較高的電機基座底部中心位置處。

圖5 非線性剛度柔順驅動器剛度特性曲線對比Fig.5 Comparison of stiffness characteristic curves of nonlinear stiffness compliant actuator

圖6 非線性剛度柔順驅動器實物圖Fig.6 Physical picture of nonlinear stiffness compliant actuator

非線性剛度柔順驅動器試驗平臺的信號傳遞如圖7所示。電機尾部旋轉編碼器及磁柵尺傳感器的信號經DSP（digital signal processing，數字信號處理）板卡（型號為TMS320F28335）接收并處理后傳輸給ESCON電機驅動器，并由該驅動器發送PWM（pulse width modulation，脈沖寬度調制）信號以驅動電機。數據采集卡（型號MPS-010602）采集旋轉編碼器、磁柵尺傳感器及力矩傳感器的信號并發送給PC（personal computer，個人計算機），用于數據分析和處理。

根據試驗結果繪制剛度特性曲線，并與仿真結果、預設的剛度特性曲線進行對比，如圖5所示。結果表明：試驗值與理論值也較為接近，兩者的平均相對誤差為0.7 N?m，大于仿真值的誤差，這與止動拉簧的細微影響、摩擦力及加工裝配誤差有關。

3.1.3 相近驅動器的剛度特性對比

為了進一步驗證所設計的非線性剛度柔順驅動器的剛度特性，選取具有與“大負載下采用大剛度，小負載下采用小剛度”類似的剛度特性，且采用“非線性傳動+線性彈性元件”方式的轉動關節驅動器——HypoSEA（hypocycloid series elastic actuator，內擺線串聯彈性驅動器）［14］和 PVEJ（passive visco elastic joint，被動黏彈性關節）［17］，進行剛度等特性參數對比，結果如表2所示。

圖7 非線性剛度柔順驅動器試驗平臺信號傳遞示意Fig.7 Signal transmission diagram of nonlinear stiffness compliant actuator experimental platform

表2 不同驅動器的特性參數對比Table 2 Comparison of characteristic parameters of different actuators

由表2可知：在整體尺寸和質量方面，本文NSA處于HypoSEA和PVEJ的中間水平；在負載能力方面，本文NSA可承受的峰值力矩與PVEJ相近，但均小于HypoSEA，這是因為HypoSEA常用于跳躍機器人的腿部關節部位，需承受的沖擊負載比在一般的交互場景（如正常行走）大；在剛度調節能力方面，本文NSA在具有較大的剛度范圍的同時具有較小的剛度調節角度范圍，這說明本文NSA的剛度調節更靈敏，可保證驅動器具有更好的運動精度；在剛度曲線擬合誤差方面，本文NSA的剛度曲線擬合誤差最小，HypoSEA的剛度曲線擬合誤差最大可達到約80%，PVEJ的剛度曲線擬合誤差為3%～50%［17］，這表明本文NSA的精度更高。由此可知，本文所設計的非線性剛度柔順驅動器的綜合特性較優。

3.2 驅動器控制性能評估試驗

力矩控制是人機交互設計中的重要環節，對期望動態力矩的跟蹤效果可以反映驅動器的力矩控制性能。以正弦波作為期望信號進行力矩跟蹤試驗，選擇力矩峰值（2和8 N?m）和頻率（1和1/3 Hz）不同的正弦信號進行對照，跟蹤時間持續9 s，結果如圖8所示。

圖8 驅動器正弦力矩跟蹤試驗結果Fig.8 Experimental results of sinusoidal torque tracking for actuator

圖8所示結果表明，整體上各組試驗的力矩響應值與期望值都較為吻合，響應值與期望值之間存在細微的相位遲滯，且程度有所不同。對比圖8（a）和圖8（b）發現，頻率大的信號比頻率小的信號相位遲滯更明顯，即頻率比越大，相位延遲越大；對比圖8（b）和圖8（c）發現，期望信號的峰值越大，相位遲滯現象越不明顯，這是因為所設計的非線性剛度柔順驅動器的剛度是隨負載增大而增大的，即力矩信號峰值越大則剛度越大，響應越迅速。綜合來看，在信號力矩峰值和頻率不同的條件下，非線性剛度柔順驅動器的力矩跟蹤的相位遲滯現象雖存在但均不明顯，由此可證明本文所設計的非線性剛度柔順驅動器具有良好的力矩控制性能。

4 結論

1）針對人機交互安全性和自然交互特性，基于“大負載下采用大剛度，小負載下采用小剛度”的剛度選擇機制，設計了一種新的非線性剛度柔順驅動器，利用“凸輪+扭簧”機構結合齒輪傳動，可實現雙向對稱非線性剛度。

2）通過仿真和試驗可知，該驅動器具有較好的剛度特性，可按給定的非線性剛度特性曲線進行剛度調節。

3）從尺寸、質量、負載能力、剛度調節角度、剛度范圍和剛度曲線擬合精度等方面與相近的驅動器進行了比較，結果表明所設計的非線性剛度柔順驅動器具有優良的綜合特性。

4）通過試驗測試了非線性剛度柔順驅動器對力矩峰值和頻率不同的正弦力矩信號的跟蹤效果。結果顯示，雖然存在細微的相位遲滯現象，但驅動器對不同力矩信號的整體跟蹤效果良好，初步證明了所設計的非線性剛度柔順驅動器具有良好的力矩控制性能。