構造函數法的巧妙應用

崔純

摘要：構造函數法是高中數學解題的重要方法之一，本文力圖通過三個例題介紹構造函數法在求最值、不等式、方程中的應用，恰當的構造函數往往能使解題過程化繁為簡，起到事半功倍的效果。

關鍵詞：構造函數;解題

在高中數學各分支形形色色的問題中，將非函數問題的條件或結論，通過觀察、分析、抽象、恰當地構造出熟知的函數，再利用函數思想和方法使原問題獲解，這是函數思想解題的高明之處。構造函數法解決一些非函數問題，也是近年來高考中的熱點。如何構造輔助函數是關鍵，特別需要注意的是，構造時，要認真剖析問題，充分挖掘題設中隱含條件、開拓解題思路，促進思維遷移^[1]。

一、構造函數在求解最值問題中的應用

例1.（2017年全國高中數學聯賽天津預賽試題）已知實數a、b滿足|a|≤1，|a+b|≤1，求（a+1）（b+1）的最值。

解一道數學題，首先要進行觀察，按常規方法很難奏效時，應該根據題設想辦法把問題轉化為另一個易于解決的問題。對于本題我們可以嘗試通過構造函數的方法來求其最值。

解析：令t=a+b，則|t|≤1，且

（a+1）（b+1）=（a+1）（t-a+1）=（a+1）t-a²+1

構造函數f（t）=（a+1）t-a²+1，t∈[-1，1]

則f（t）是關于t的一次函數，其一次項系數a+1≥0，因此其最大值、最小值分別在t=1和t=-1時取到。

當t=1時，原式成為（a+1）（2-a），其最大值在a=時取得，[（a+1）（b+1）]_max=。

當t=-1時，原式成為（a+1）（-a），其最小值在a=1時取得，[（a+1）（b+1）]_min=-2。

因此，（a+1）（b+1）的最大值、最小值分別為和-2。

體會：對于線性約束條件下求非線性的最值問題，理性地選擇好函數，是解決此類問題的切入點和著手點，然后利用函數求最值，使問題化繁為簡。

二、構造函數在求解方程中的應用

例2.求方程x²⁰²⁰+3^x+3^-x=的解。

函數與方程之間有著密切的關系，通常可以用函數的觀點來處理方程的問題，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點。

解析： 顯然x=1是方程的一個解，構造函數f（x）=x²⁰²⁰+3^x+3^-x，易證f（x）為偶函數。

下面探討f（x）在（0，+∞）上的單調性，先考察在（0，+∞）上（除去1以外）f（x）=是否還有其他的解。因為g（x）=x²⁰²⁰在（0，+∞）上是增函數，只需考察h（x）=3^x+3^-x在（0，+∞）是否是增函數。

任取01