常見均勻分布參數的最大似然估計教學小結

馬驍

摘要：均勻分布參數的最大似然估計一直是概率論與數理統計教學中的一個難點和重點，為了幫助學生掌握最大似然估計方法的內容，本文歸納整理并給出了四類常見均勻分布參數的最大似然估計量的求解過程，有助于增強學生運用最大似然估計方法的能力

關鍵詞：均勻分布;最大似然估計;點估計

最大似然估計方法是數理統計點估計中的一類重要方法，其參數估計值的選取以似然函數取得最大值為標準，相較于炬估計的方法，最大似然估計因為對總體的信息要求較高，故得到的結果可靠性更高^[1]。在概率論與數理統計教學中參數的最大似然估計方法一直是參數估計教學中的一個難點和重點^[2-3]，其困難之處主要是似然函數最大值點的求取，而在這部分內容中，均勻分布參數似然函數最大值點的計算和常規的求極值的方法有所不同^[4]，有一定的教學難度，根據教學實踐經驗來看對似然函數一取對數，二求導數的求極值方法普遍掌握較好，但均勻分布參數的最大似然估計對上述方法并不適用，需要借助順序統計量得到參數估計量的表達式，故本文歸納整理常見均勻分布參數的最大似然估計量的計算結果，并用統一的方法給出求解過程，有一定的教學指導意義。

一、第一類常見均勻分布參數最大似然

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數的最大似然估計量。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數為：，

可以看出是關于的減函數，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x₂，…x_n和參數滿足：≥max（x₁，x₂，…x_n）

故參數的最大似然估計量

二、第二類常見均勻分布參數最大似然估計

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數的最大似然估計量。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數為：，

可以看出是關于的減函數，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），-≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數的最大似然估計量

三、第三類常見均勻分布參數最大似然估計

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數，b的最大似然估計量和。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數為：，

可以看出是關于的減函數，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數，b滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），b≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數的最大似然估計量，

第四類常見均勻分布參數最大似然估計

假設，x₁，x_2，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數的最大似然估計量

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數為：，

可以看出是不含參數，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數滿足：

+1/2≥max（x₁，x₂，…x_n），-1/2≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數的最大似然估計量

結語

為了降低學生學習均勻分布參數估計的難度，本文歸納整理常見均勻分布參數的最大似然估計量的計算結果，并用統一的方法給出求解過程，在作者的教學實踐中顯示這種模式較容易為學生掌握和理解，幫助學生掌握了極大似然估計的內容

參考文獻

[1]李裕奇.概率論與數理統計第4版[M].北京.國防工業出版社，2014.

[2]李明泉.對最大似然估計法教學的探討[J].牡丹江大學學報，2010（07）：117-119.

[3]王星.最大似然估計法淺談[J].試題與研究：教學論壇，2019（6）：119-120.

[4]劉銳.一類均勻分布參數極大似然估計及優良性的討論[J].吉林師范大學學報：自然科學版，2008，29（4）：95-96.