大口徑平頂彈體擊水動力學方程研究

2020-10-09 01:05:34吳茂林戴文留孫玉松陸澤平

彈道學報 2020年3期

汪振,吳茂林,戴文留,孫玉松,陸澤平

(1.海軍工程大學兵器工程學院,湖北武漢 430033;2.海軍裝備部駐上海地區第一軍事代表室,上海 201913;3.江南工業集團有限公司,湖南湘潭 411207)

入水沖擊問題[1-3]廣泛存在于海上各種兵器的作戰使用過程中,包括空投魚雷入水、深水炸彈入水、水下無人航行器(UUV)布放、反潛導彈入水、炮彈入水等。

彈體入水沖擊載荷與入水速度大小和彈體姿態有著密切的關系。傳統的航空深彈、空投魚雷等武器的入水速度均在較低水平,入水沖擊載荷的瞬時峰值不大。隨著技術的發展,未來深彈入水速度將很容易達到200 m/s以上。在高速入水初期的幾毫秒瞬間,彈體會受到巨大的沖擊載荷,入水時的沖擊載荷可能會造成彈體結構損傷,內部電子器件失靈,入水彈道失穩、忽撲、跳彈等不良后果。

為了增加殺傷效果,需要增加戰斗部裝藥量,所以彈體的質量較大;同時為了防止深彈小角度入水跳彈問題,彈體通常采用平頂彈頭設計;這種大口徑、大質量的平頂彈頭彈體高速入水時將受到高幅值的瞬時沖擊載荷。目前,針對這種大口徑、大質量的平頭彈體高速入水問題的研究較少。

目前有眾多學者針對該問題采用試驗、理論和數值模擬的方法進行了研究。陳誠等[4]對超空泡航行器20°角傾斜入水沖擊載荷特性進行了試驗研究。理論研究自馮卡門[5]提出的附加質量的楔形體入水模型開始,魏卓慧等[6]采用附加質量法建立了截錐形彈體垂直入水沖擊載荷的理論計算模型。隨著計算機技術以及有限元方法的發展,另有學者采用數值模擬的方法研究該問題。孫琦等[7]基于LS-DYNA軟件運用ALE方法對彈體撞水過程進行了分析。

由于彈體高速入水物理過程極其復雜,要從理論上建立一個完全相同的模型較為復雜。本文對彈體入水過程進行一定簡化,根據流體動量定理對具有平頂頭型的大口徑彈體入水沖擊動力學方程組進行了理論推導。

1 穩定流體的動量、動量矩定理

根據流體力學[8],假設穩定流動流體的某一質點系中一質點的質量為dm1,它的運動速度為v1,則質點系的動量為

(1)

若此質點到空間中一定點O1的矢徑為rO1,則此質點的動量對定點O1的矩為

(2)

質點系的動量對時間的變化率等于質點系所受外力矢量和,即

(3)

質點系對O1點的動量矩對時間的變化率等于質點系所受外力對于O1點力矩的矢量和,即

(4)

設流體中某一質點系的控制面積為S1,流體控制域為Ω,那么該控制面上所受到的外力矢量和為

(5)

式中:vn為垂直于控制面的速度大小。

從方程(5)中可以看出外力矢量和F由兩項組成:前一項為單位時間內通過控制面的流體動量代數和;后一項為控制體內流體動量對時間的變化率,當控制體固定并且是定常流動時,該項為0。后者反映了流體運動的非定常性,是由控制體內流體動量隨時間變化而產生的一種力。

本文不考慮彈體擊水時流體的非定常性,即不考慮方程(5)中的第二項,僅考慮通過控制面的流體動量代數和。則該控制面上的外力對于某一定點O1的力矩矢量和為

(6)

2 大口徑彈體擊水過程力與力矩方程

2.1 條件假設

對于大口徑彈體擊水問題,對其初始條件以及相關因素做如下假設:

①水面平靜無涌浪,即水面為平面;

②彈體擊水瞬間,彈體速度方向與彈軸重合,即無攻角;

③擊水過程中,彈體無繞彈軸自轉,即無橫滾;

④彈體擊水瞬間,水同時撞擊彈體表面,即水與深彈的接觸面為控制面;

⑤在擊水過程極短時間內,接觸面上無空泡現象;

⑥不考慮水的壓縮性與彈體的彈性;

⑦不考慮水的黏性。

2.2 直角坐標系中動力學方程

彈體直角坐標系:設置直角坐標系原點O與彈體質心重合;x軸與彈軸重合,指向彈頭方向;y軸與x軸垂直,指向彈體上方;z軸由笛卡爾坐標系右手法則獲取。

由牛頓第三定律,彈體對水的撞擊力與水對彈體的撞擊力大小相等、方向相反。為了方便分析,將水以速度v對彈體表面上趨于某一點P的微元面積ΔS上的撞擊力FP投影在xOy和yOz平面上。

假設彈體頭部P點的切平面與彈體的夾角為α;則過P點的切平面與xOy平面的交線夾角也為α;假設β為FP在yOz平面上的投影與y軸的夾角,由于FP指向彈軸,所以該投影通過x軸。如圖1所示。

圖1 直角坐標投影圖

根據上述坐標系以及假設參量,則由方程(5)得到水對深彈表面P點微元面上的法向撞擊力FP大小的標量方程:

ΔFP=ρv2(sin2α)ΔS

(7)

則撞擊力ΔFP在x,y,z軸上的投影分別為

(8)

對式(8)進行積分,則有:

(9)

同理,根據方程(6)可求出對x,y,z軸的矩Mx,My,Mz。因為

(10)

式中:rP為P點到x軸的距離,即P點所在截面圓的半徑;xP為P點x方向坐標,即P點所在截面圓距質心O的距離。因為速度v與P點的微元面成α角,所以FP的作用點在距P點距離為e的Q點上。

(11)

rQ=rP-esinα

(12)

xQ=xP+ecosα

(13)

因為ΔS→0,所以e→0;

所以,rP≥esinα,xP≥ecosα。

因此,rP≈rQ,xP≈xQ。

根據方程(6),有下列方程:

(14)

式中:r表示彈體頭部母線方程,即

r=f(x)

(15)

2.3 坐標變換

由于彈體是回轉體,所以采用柱面坐標系(x,r,β)來簡化求解Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz的過程。建立柱面坐標系:設柱面坐標系的原點與彈體質心重合;x軸與彈軸重合,指向彈頭方向;r軸與x軸垂直,指向回轉半徑方向;β角以直角坐標系y軸反向為基準,在原直角坐標系yOz平面上,按照逆時針旋轉為正。

積分微元變換:因為彈體頭部母線方程為r=f(x),設r′=dr/dx,則

(16)

由于彈體頭部任意一點與水相切時夾角為α;根據建立的柱坐標系以及幾何關系,則有:tanα=dr/dx=r′,如圖2所示。

圖2 彈體切線圖

則推導出:

(17)

2.4 積分域的確定

因為r=f(x),所以彈體頭部母線在直角坐標系xOy平面上的方程為

(18)

在不考慮彈體擊水的瞬間水面隆起的情況下,假設水面為一條直線，彈體擊水的過程即水面方程相對彈體向上運動的過程,如圖3所示。圖中,d為彈體頂點到質心即坐標原點O的距離;a為彈體頭部椎體與彈體圓柱部后段交面所在x軸上的坐標,即錐頭與圓柱交面到質心的距離。

圖3 彈體水面相交圖

該過程水面方程在直角坐標系xOy平面上的表達式為

y=(x-xC)tan(θ-δ)

(19)

式中:θ為彈體擊水過程中任一瞬間速度矢量與水平面的夾角;δ為任一瞬間彈軸線與速度矢量的夾角,即攻角;φ=θ-δ,為任一瞬間彈軸與水平面的夾角。

xC為彈軸與水面交點到彈體質心(O點)的距離(坐標),有

(20)

當t=0時,xC0=xC1,表示彈體第一點與水面接觸時彈軸與水面的交點到彈體質心O點的距離。

由圖3可知,變量x的積分區間可按照下列步驟求得。

聯立彈體頭部母線方程與水面方程(18)第2式、方程(19),即

(21)

解得x1;再聯立方程(18)第1式、方程(19),即

(22)

解得x2。

則積分區間分別為:x1≤x≤x2和x2≤x≤d。

對于變量β的積分區間,因為彈體是回轉體,考慮其中心對稱性,所以彈體關于入水時xOy平面對稱。在任一截面上β總是與y軸對稱,分別為-β和β,如圖3所示。所以,當x1≤x≤x2時,根據幾何關系可知:

(23)

同時,可以推導出:

(24)

當x2≤x≤d時,彈體頭部完全浸沒在水中,此部分彈頭任意x處截面的表面圓周均沾水。此時,則有β1=-π,β2=π。

2.5 彈體擊水力和力矩方程

將dS,sinα,cosα,sinβ,cosβ對應表達式(16)、式(17)、式(24),代入Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz方程組(9)、方程組(14)中,經過嚴格的數學推導以及坐標變換,得到彈體擊水力和力矩方程,具體數學推演過程如下。

①Fx。

(25)

當x2≤x≤d時,式(25)為

當x1≤x≤x2時,式(25)為

②Fy。

(26)

當x2≤x≤d時,式(26)為

當x1≤x≤x2時,式(26)為

③Fz。

④My。

⑤Mz。

(27)

當x1≤x≤x2時,式(27)為

當x2≤x≤d時,式(27)為

綜上數學推導過程,則有

(28)

式中:

3 平頂彈體擊水力與力矩

對于部分彈體,為解決小著角的跳彈問題,均采用平頂結構設計。目前正在設計的部分懸浮式彈體,為增加戰斗部裝藥,彈體結構通常也需要采用平頭結構。

對于這種結構,平頂部分的擊水力以及力矩方程可采用分區間積分的方式。對于具有母線方程的部分仍采用前文所推導的公式,對于平頂部分仍然根據式(11)～式(13)、式(20)～式(22)進行推導。

設彈體平頂平面半徑為R0,在平頂平面上,平面擊水時α=90°。此時水面與平頂圓周的交點與平頂圓心的連線與y軸負方向的夾角為Φ,根據平頂擊水時與水面相交的幾何關系,則有

(29)

根據以上假設以及數學推導,得到平頂平面擊水時彈體受力公式:

(30)

結合彈頭平頂平面擊水公式以及彈頭母線部分擊水公式,得到平頭彈體擊水力和力矩方程:

(31)

4 彈體擊水過程運動方程

在彈體擊水過程中,大部分表面與空氣接觸,仍然存在著空氣動力和空氣動力矩,但是遠小于擊水時力與力矩。在建立入水瞬間彈體的運動方程時,僅考慮彈體自重以及擊水時的力與力矩。由前文所述力學方程可知,在彈體擊水過程中只需要在二維坐標系上建立其運動方程[9]。建立大地坐標系與彈體坐標系中彈體運動示意圖,如圖4所示。

圖4 彈體運動示意圖

則其運動學方程組為

(32)

式中:Fx,Fy分別為彈體所受軸向力和徑向力;Mz為彈體所受力矩;m為彈體質量;Iz為彈體的赤道轉動慣量;g為重力加速度;φ為彈軸傾角;δ為攻角;θ為彈道傾角;X為彈體在平面內水平位移;Y為彈體在平面內豎直位移;v為任一時刻速度大小。

初始條件:速度v0,彈道傾角θ0,攻角δ=0,彈軸傾角φ0。

5 彈體擊水三自由度方程組

結合平頂彈體運動學及動力學方程組,在不考慮側偏、側擺以及橫滾3個自由度的情況下,假設母線方程為圓弧的彈體,建立平頂彈體擊水三自由度方程組,計算彈體擊水瞬間各個參數。平頂彈體擊水三自由度方程組為

(33)

(34)

式中:A,B,D,E,G,H同前文。

已知數據如下。頭部曲面與圓柱面交線的x坐標:a;平頂平面x坐標:d;彈體圓柱段半徑:R2;彈體質量:m;彈頭曲面母線半徑:R3;彈體赤道轉動慣量:Iz;海水密度:ρ;彈軸傾角:φ0;彈體初始速度:v0;彈頭平頂面半徑:R0;彈頭母線方程式:r。

彈體表面第一點觸水零時刻,彈軸與水面方程交點x坐標:xC0=d+R0tanφ。

根據幾何關系,則有

(35)

(36)

6 計算過程分析

彈體入水過程如圖5所示。

圖5 彈體入水過程

對彈體擊水分階段進行積分,根據圖5幾何關系,計算各階段水面與軸線交點坐標:

(37)

①當水平面與彈軸交點C在圖5中C1到C2區間時,水平面與xOy平面的上下母線交點由方程組確定:

(38)

其中必有一解xa在a與d之間,所以取x1=xa;由于水平面與上母線不相交,取x2=d。

②當水平面與彈軸交點C在圖5中C2到C3區間時,水平面與下母線交于圓柱段;而且與上母線不相交,所以取x1=a,x2=d。

③當水平面與彈軸交點C在圖5中C3到C4區間時,水平面與下母線交于圓柱段,取x1=a;水平面與上母線交點由方程確定:

(39)

其中必有一解xb在a與d之間,所以取x2=xb;同時在該區間內R1=(xC-d)tan(θ-δ)<-R0,所以取R1=-R0,則Φ=arccos(-1)=π。

進一步考慮入水沖擊時水面抬升現象,如圖6所示,引入水面抬升因子,采用等效水面來計算xC值。

圖6 彈體擊水等效水面

根據圖6中的幾何關系,有

(40)

式中:Ca為xC的實際值。

假設Z為單位入水深度,Zw為水面抬升因子,則有:

xC=Ce=xCw=xC1-Zw(xC1-Ca)

(41)

式中:Ce為xC的等效值。

在計算過程中采用xC等效值Ce判斷積分區域,進行計算。

根據文獻[10]說明,水面抬升因子Zw在1.48～1.36之間。

7 Simulink程序計算

利用Matlab/Simulink模塊對上述方程進行計算分析。

按照流程圖7進行計算。

按照此程序計算如下算例。彈體長度:1 900 mm,彈體圓柱段半徑:150 mm,頭部曲面母線半徑:300 mm,彈體圓頂半徑:73.6 mm,彈體質量:150 kg,彈體體積:1.304 5 m3,彈體密度:1 153 kg/m3,質心距彈頭端面距離:976.5 mm,質心距彈頭與圓柱段截面距離:776.5 mm,彈體赤道轉動慣量:43.72 kg/m2,水面抬升因子:1.42,海水密度:1 025 kg/m3,彈體入水速度:170 m/s,彈體入水角度:π/4,攻角:0°,重力加速度:9.81 kg·m/s2。