電感簡單精確數(shù)學(xué)模型解決方案

摘 要：本文分析了多個平面電感表達式，經(jīng)與三維場求解器預(yù)測模型進行比較，為方形、六角形、八角形和圓形螺旋電感器的電感計算提出了簡單而精確的新表達式。新的電感表達式與場求解器的電感值匹配通常在3%左右以內(nèi)，比先前電感表達式高大約一個數(shù)量級。新電感表達式的匹配度在5%左右，而先前電感表達式的誤差在20%左右。新的電感簡單表達式能夠滿足準確設(shè)計和優(yōu)化電感器或包含電感器的電路。

關(guān)鍵詞：電感;集成電路;精確;簡單

低成本射頻集成電路（RF-IC）不斷增長的需求為片上無源元件帶來大發(fā)展。片上無源元件為電阻、電容和電感，片上電阻和電容易于建模和實現(xiàn)。片上電感器的實現(xiàn)相對較困難，對于電感器實現(xiàn)的設(shè)計和建模投入了大量精力，片上電感器實現(xiàn)較可行的方案是引線鍵合和平面螺旋幾何形狀。盡管引線鍵合可以實現(xiàn)較高的品質(zhì)因數(shù)（Q，Quality），但典型的Q值在20至50范圍內(nèi)，電感值易受到限制，并且易對生產(chǎn)波動非常敏感。另一方面，平面螺旋電感器具有有限的Q，但是其電感在廣泛的工藝變化范圍內(nèi)具有很好的穩(wěn)定性。平面螺旋電感器已成為通信電路塊的基本元件，例如壓控振蕩器（VCO，Voltage Controlled Oscillator），低噪聲放大器（LNA，Low Noise Amplifier），混頻器（Mixer）和中頻濾波器（IFF，IF Filter）。

使用集總電路對螺旋電感器進行建模，可以通過求解來精確麥克斯韋方程計算電感。一個非常精確的數(shù)值解可能通過使用三維（3-D）有限元獲得模擬器，例如MagNet。但是，3D模擬器計算量大，需要較長的運行時間，因此更適合驗證電感的設(shè)計。另一種技術(shù)是使用溫室方法計算電感，溫室方法提供了足夠高的準確性和足夠快的速度，但不能直接提供電感器設(shè)計規(guī)格的限制，并且對于初始設(shè)計而言很繁瑣。在設(shè)計中可以使用一個簡單的近似值電感表達式，雖然簡單表達式能夠計算出正確的電感數(shù)量級，但典型誤差為20%或更大，這對于電路設(shè)計和優(yōu)化而言是難以接受的。

本文中建立了方形、六角形、八邊形和圓形的電感平面電感器新的近似表達式。近似表達式由三個表達式組成：（1）近似值基于修改后的惠勒開發(fā)的表達規(guī)范;（2）通過近似地從電磁原理得出螺旋的側(cè)面作為電流表;（3）從擬合到大型數(shù)據(jù)庫中得出的單項式表達式電感的數(shù)量及精確的電感值。這三個表達式都是準確的，典型誤差為2～3%，并且非常簡單，因此非常適合用于電感設(shè)計和綜合。

近似表達式的準確性可以通過兩種方式進行評估：使用場求解器模擬以及使用測量數(shù)據(jù)。使用ASITIC程序?qū)崿F(xiàn)了仿真，ASITIC程序是一種簡化的現(xiàn)場求解器，用于設(shè)計電感器和變壓器。仿真時電感器的dout在100～480μm之間變化，L在0.5～100nH之間變化，w在2μm～0.3dout之間變化，s變化范圍在2μm～3μm，din在0.1～0.9dout之間變化。使用ASITIC程序?qū)﹄姼衅鬟M行模擬，涵蓋了用于RF電路設(shè)計的整個設(shè)計空間。

1 電感模型優(yōu)化

1.1 優(yōu)化惠勒公式

惠勒電感器模型提出了平面螺旋線的公式，公式可用于離散的電感器。對惠勒電感器模型進行修改，以獲得對平面螺旋集成電感器有效的表達式公式1。

Lmw=K1μ0n2davg1+K2ρ（1）

其中ρ是先前定義的填充率，表示電感器空心程度。對于數(shù)值較小的ρ，電感器為一個空心電感（dout≈din），對于數(shù)值較大的ρ，則可以得到完整電感器（doutdin）。具有相同平均直徑但填充率不同的兩個電感器將具有不同的電感值。完整的電感具有較小的電感，因為其內(nèi)部匝數(shù)更接近螺旋的中心，因此表現(xiàn)表現(xiàn)出較小的正互感和較大的負互感。

1.2 平面螺旋電感幾種近似的精確表達方式

平面螺旋電感的簡單而精確的表達式還可以等效電流密度的對稱電流表來確定螺線。例如，在正方形的情況下，獲得四個相同的當(dāng)前工作表。相對極板上的電流板彼此平行，而相鄰的板正交。基于對稱性和具有正交電流極板間的互感為零，可以將電感的計算簡化為計算一塊板的自感和相對電流板之間的互感。自感和互感使用幾何平均距離（GMD，Geometrical Mean Distance）、算術(shù)平均距離（AMD，Arithmeticl Mean Distance）和算術(shù)平均平方距離（AMSD，Arithmeticl Mean Square Distance）的概念進行評估。表達式如公式（2）所示：

公式（3）非常準確且非常簡單，它的實際用途可以通過使用地磁前饋法來優(yōu)化電感器和包含電感器的電路的設(shè)計，這是一種使用單項式模型的優(yōu)化問題。

2 誤差分布分析

圖1①顯示了與使用場解算器ASITIC計算出的電感相比，先前電感表達式的誤差分布。將電感L的近似值L^的絕對百分比誤差定義為100（L^-L）/L。水平軸給出絕對百分比誤差水平，垂直軸顯示誤差超過指定水平的電感器比例。誤差分布曲線越接近到y(tǒng)軸，則表達式越精確。可以從曲線確定一些重要的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。通過在50%的水平線上跟隨水平線，可以讀取每個近似值的中值誤差。通過以一定誤差水平跟隨一條垂直線，可以找到近似值相對準確的電感值，最大誤差由曲線到達x軸的點給出。

這與克洛斯的表的情況相對應(yīng)。中位數(shù)誤差約為18%;還可以看到最大誤差約為25%。上述所有表達式均具有明顯的平均失調(diào)誤差，傾向于高估或低估電感。但是，即使將表達式縮放為零平均誤差（通過將每個表達式乘以一個恒定的校正因子或添加一個固定的偏移量），誤差通常仍可達15～20%，在某些情況下會更大。

圖②顯示了絕對誤差分布的表達式。在圖①中，由于這里的誤差較小但是水平誤差較小。該圖顯示典型誤差在1～2%的范圍內(nèi)，并且大多數(shù)誤差小于3%，幾乎比先前文獻記載的表達式高一個數(shù)量級。新的電感表達式雖然在復(fù)雜性上可以與以前報道的表達式相比，但是卻顯示出更好的準確性。

圖③將實驗值與先前文獻記載的表達式預(yù)測的電導(dǎo)率進行了比較，圖④將實驗值與本文公式以及ASITIC預(yù)測的電感進行比較。顯然與以前文獻記載的表達式相比，新的表達式表現(xiàn)出的誤差要小得多。尤其在實驗與表達式之間的誤差接近20%的這一少數(shù)情況下，這表明在校準或參數(shù)提取中存在大量測量誤差。

3 測量結(jié)果分析比較

將所有近似表達式預(yù)測的電感值與30個測得的電感值進行比較。在表3中，將測得的電感值與各種表達式預(yù)測的值進行了比較。表3所示的前5個電感器是使用0.35μm CMOS工藝的最高金屬水平（厚度為0.9μm）制造的。其余電感器的數(shù)據(jù)是從以前發(fā)表的文獻中獲得。

還可以將公式的準確性放在螺旋電感器的其他變化和不確定性的背景下進行討論。對于螺旋電感設(shè)計，建模和仿真的主要限制是由于工藝變化而導(dǎo)致的氧化物厚度不確定性。工藝變化可能導(dǎo)致電感器模型中的寄生電容變化約5%～10%。這些變化轉(zhuǎn)化為螺旋線阻抗的不確定性，其大小與新的表達式所引入的誤差相同。這種局限性表明，沒有必要使用比所獲得的精度更高的電感表達式，并且表達式可以用于電路設(shè)計和優(yōu)化。

4 結(jié)論

在本文中，為方形、六邊形、八邊形和圓形的螺旋電感器提供了三個簡單的近似匹配表達式。公式（1）表達式為修改后的Wheeler表達式，是通過修改Wheeler為分立電感器獲得的表達式獲得的。該表達式很簡單，并且具有非常好的準確性。公式（2）是從電磁原理得出的，方法是用電流分布均勻的電流板近似螺旋的側(cè)面。該表達式是直觀的，并且在形式上類似于用于更常規(guī)的元件的電感表達式。公式（3）是通過數(shù)據(jù)擬合技術(shù)獲得的。盡管它缺乏其他兩個近似值的直觀推導(dǎo)，但它非常適合使用幾何編程進行電路優(yōu)化。

參考文獻：

[1]謝自美.電子線路設(shè)計·實驗·測試[M].2006.

[2]唐曉莉，蘇樺，張懷武.一種新型無芯PCB平面電感器研究[J].電子器件，2002（04）：8-12.

[3]王西寧，趙小林，周勇，等.RF平面螺旋微電感的物理模型[J].微細加工技術(shù)，2003（01）：58-61.

[4]李力南，錢鶴.RF集成電感的設(shè)計與寄生效應(yīng)分析[J].固體電子學(xué)研究與進展，2002（02）：23-27.

[5]黃志忠，殷曉星，崔鐵軍，等.硅基平面螺旋電感的等效電路模型和參數(shù)提取[J].電波科學(xué)學(xué)報，2005，20（6）：777-783.

[6]楊卓，董天臨.射頻平面螺旋電感的性能分析與設(shè)計仿真[J].電子元器件應(yīng)用，2007，009（009）：26-29.

作者簡介：鄒玉東（1971—），男，漢族，河南安陽人，本科，電氣技術(shù)中級，研究方向：電力電子。