三體問題，究竟是否可解？

夏志宏

通過這么多年的觀測和研究，人們越來越認識到，在物理世界中，穩定的現象其實是罕見的，不穩定才更常見。

今天我要講的是“三體問題和天體運動”。大家可能都知道一本名為《三體》的小說，小說中的很多內容都涉及了三體運動的一些性質。今天我想從科學的角度講一下三體和與之相關的一些很有趣的問題。

三體問題的由來

近代科學是從牛頓開始的。牛頓是一個非常了不起的科學家，他發現了微積分，發現了萬有引力定律，奠定了牛頓力學的基礎。

據說，牛頓在劍橋大學的一棵蘋果樹下睡午覺的時候，一個蘋果掉下來砸在了他的頭上，結果觸發了他的靈感，讓他發現了萬有引力定律。當然，這只是一個傳說。事實上，萬有引力定律的發現，經過了牛頓之前幾百年來眾多科學家的共同觀測和辛勤勞動，它是根據許多對太陽系行星的運動觀測數據總結得來的，其中最著名的科學家應該是開普勒。

開普勒提出了“行星運動三大定律”。這三大定律又是從哪兒來的呢？是從一個叫第谷的天文學家那里得來的。

第谷這個人非常有意思，他是一位丹麥天文學家，脾氣暴躁，年輕的時候跟人打架，還被人削掉了鼻子。他于是為自己做了一個金屬的假鼻子，粘在自己臉上，并且一生都粘著這個假鼻子。第谷脾氣不好，但是他跟國王的關系比較好，國王還專門給了他一座島，方便他在島上進行天文觀測。第谷也是人類歷史上最后一位用肉眼觀測行星運動的天文學家。那時的觀測任務非常艱難，不過國王給了他很多資源，甚至為他在島上建了一家造紙廠，專供他研究需要使用的紙張。

進行天文研究工作一段時間后，新國王上位了，但新國王不喜歡第谷，第谷只好前往捷克繼續他的天文學研究，因為那時捷克的國王很喜歡他。

第谷經常出入捷克王宮。不過意外的事情發生了，到達捷克后的第4年，有一天，他從王宮回來后居然死了。當時人們都在討論為什么第谷從王宮回來就死了。雖然有人懷疑他可能是被毒死的，但更普遍的看法是，他在王宮喝了太多酒，出于作為一個貴族的禮節，他不好意思上廁所，結果憋尿憋死了。他可能是歷史，上唯一一個被尿憋死的科學家。

當然，這種說法一直存在爭議。所以在第谷死后300年，也就是1901年，人們把他的尸體挖了出來，想確定他是否真的是被毒死的。結果發現，第谷確實沒有中毒，他真是因為憋尿導致膀胱破裂而死的。

特別倒霉的是，又過了100年，到了2001年，人們又開始爭論關于第谷的另一件事——第谷因為打架讓人給削了鼻子，那后來他給自己做的假鼻子是什么材料的呢？一部分人認為是金子做的，一部分人認為是銀子做的。所以很不幸，第谷的尸體又被挖了出來。經過檢查，他的假鼻子是銅做的。

這樣一個人，真是有趣又倒霉，但就是他，奠定了萬有引功定律的基礎。

剛才說到，牛頓發現了微積分、牛頓力學和萬有引力定律，這三個發現恰好把一個天文學問題變成了一個數學問題。為什么這么說呢？因為我們可以根據這些物理定律來精確計算行星運行的軌跡。

我畢業于南京大學天文系，但到美國后就開始做數學，其實我所做的一部分工作跟天文和數學都有關系。

大家可能知道，方程有代數方程，也有微分方程。天文學問題變成數學問題，從某種程度，上說，就是將預測天體運行變成了解組微分方程。

當然，這其中最簡單的是二體問題，比如預測太陽和一個行星的運行軌跡。這時候要解的微分方程相對比較容易，人們可以把它的解寫出來，而且經過簡單訓練的人，都可以通過微分方程得出二體問題的解。它的解是比較規范的，因為星體的運動相對規則。

但三體問題就比較復雜了，這也是我們今天要說的主題。舉一個三體問題的例子，比如研究太陽和兩個行星的運行軌跡，這就構成了一個三體問題。當然，也有可能是兩個太陽一樣的恒星外加一個行星那樣的三體問題。當你看到一個三體問題的軌跡，你會發現，這三個點在空間中的運轉呈現出一種非常復雜的形狀，而且毫無規則。這也是三體問題非常基本的一個性質——三個天體的運動毫無規則可循。

我們的太陽系除了太陽，還有八大行星，還有冥王星這類的矮行星，還有幾百萬顆小行星，有的行星還有衛星，還有現在沒發現的其他大行星……所以，僅太陽系這組微分方程就非常龐大、非常復雜了，遠遠超過三體問題，是多體問題了。我們現在連三體問題都很難解決，要解決多體問題就更難了。

三體問題是否可解？

三體問題是否可解？也就是說，有沒有一個可解的公式？很遺憾，一般的微分方程都不存在一個解的公式，因為我們所掌握的函數太有限，用初等方法是沒有辦法寫出解的。

學習過微積分的人可能知道，代數方程比微分方程要簡單得多。一個二次方程誰都可以解，三次方程稍微看一下書的人也可以解，四次方程可能比較復雜，但也還是可以解的。到了五次方程以后，就再也不存在初等的解了。也就是說，無法用一個公式把五次方程的解寫出來。當然，這并不是說五次方程無解。五次方程肯定有五個根，也肯定是有解的，但是我們沒有辦法把它的解用公式的形式寫出來。著名的伽羅瓦理論和阿貝爾定理，都在講五次方程不存在一個初等形式的解。

但是在牛頓所處的時代，還是有很多人試圖解微分方程，他們最想做的事就是找首次積分，也叫經典解。

解方程需要找首次積分。能量積分、角動量積分、動量積分，這都是首次積分。人們花了幾百年的時間想找三體問題的其他首次積分，但非常遺憾的是，直到現在，現代數學還是證明不存在其他的首次積分。

也就是說，用這種經典的方法去解三體問題是不可能的，在經典意義下，三體問題是不可解的。這反映到實際應用中是什么意思呢？

舉個例子，比如你想知道100萬年以后太陽系是什么樣子的，因為我寫不出來公式，所以就無法告訴你答案。不過，這并不等于沒有解，解還是有的，只是我寫不出它的公式。當然，我們可以讓計算機來算，但這涉及另一個問題一誤差。這種誤差短期內很小，時間越長就越大。所以，幾千年、幾萬年、幾百萬年以后，到底會發生什么，用現在的計算機得出的值做解答，是不可信的。這就說明，我們沒有辦法預測行星運動的未來。

雖然沒法預測，但我們還是想知道行星運動的大概情況。比如，太陽系是不是穩定的？我們寫不出解，但能否用其他數學分析方法得出太陽系是否穩定的答案呢？畢竟這對我們來說還是挺重要的。如果太陽系不穩定，地日距離就不穩定，離太陽太遠地球會太冷，離太陽太近又會太熱。

太陽系是穩定的嗎？

牛頓（1642-1727）

不是的，行星運動是不穩定的。

上帝控制著行星運動，每隔一段時間就推一下，使其在固有的軌道上運轉。

可能牛頓的腦袋給蘋果砸壞了！

18世紀沖破宗教束縛后，牛頓的思想受到了科學家萊布尼茨等人的激烈批判。

小說《三體》中就描述了這樣一個世界：它有3個太陽，而且運轉得非常沒有規律，有時候3個太陽會同時出現，過高的溫度把行星上的人全都燒死了，甚至燒成另外一種生命形態。所以，我們對這類問題還是很感興趣的。

牛頓就認為行星運動是不穩定的。他非常相信上帝，后半生一直試圖用數學方法證明上帝的存在。他同時認為，太陽系不穩定，但如果有，上帝幫忙，每隔一段時間來推動一下地球，就可以解決系統紊亂的問題了。

現在的，人們很難想象，牛頓居然花了很長時間，用數學公式去推導，上帝哪天會來推地球。雖然牛頓生活在文藝復興時期，那時大家的思想都比較開放，但牛頓的這種想法仍然受到了眾多科學家的批判。

那時候，基本上所有的大科學家都想研究三體問題，因為這是一個大到沒法解決的問題。每個科學家都有自己的想法，有的認為行星運動是長期穩定的，有的認為不穩定，他們都有自己的證明方法。

但是，通過這么多年的觀測和研究，人們越來越認識到，在物理世界中，穩定的現象其實是罕見的，不穩定才更常見。這種不穩定現象，套用一個現代的詞匯，就叫作“混沌”。

什么是混沌？

下面我要告訴大家什么是混沌，希望聽完之后，你們也可以輕松地告訴其他人什么是混沌。

提到混沌，就不得不說一段有趣的歷史。生活在19世紀的奧斯卡二世，是當時瑞典的國王，同時也是挪威的國王。他是一個很有意思的人，非常喜歡藝術和科學，讀的數學書也很多，經常請一些科學家去為他做講座。

在他七十大壽的前兩年，有個叫米塔格·萊夫勒的數學家建議他成立一個科學大獎，在兩年后國王七十大壽的宴會上頒發。這個獎就是為誰能解決三體問題而設置的。當然，我們現在知道三體問題不可解，所以這個獎其實是白設的。

很多人疑惑，為什么諾貝爾獎不設立數學獎，據說就是因為這個米塔格·萊夫勒，把諾貝爾心儀的女孩子搶走了。當然，這也只是一個坊間傳聞。

前面提到，奧斯卡二世特別喜歡科學。某一天，他請巴黎大學的一個數學家來宮廷做講座，這個數學家叫潘勒韋。潘勒韋是第84屆和第92屆法國總理，同時他還是一個數學家。

在為奧斯卡二世做講座的時候，潘勒韋提出了一個猜想一在幾個星體通過萬有引力相互作用時，其中某個星體可能會在有限時間內，被其他星體甩到無限遠的地方去。潘勒韋猜想提出近100年后，我在我的博士論文里終于把這個問題給解決了。

為什么我能解決呢？其實是因為我們現在對三體或者多體的系統有了更進一步的認識，我們知道了一種叫“混沌”的結構，我就是用混沌的機理去解決潘勒韋猜想的。

回到剛才說的奧斯卡二世設置的大獎。跟潘勒韋一起參與奪獎的還有另一位數學家龐加萊。龐加萊對數學的影響也非常大。

當時，龐加萊寫了一篇文章參加大獎的角逐，宣稱自己解決了三體問題，于是評獎委員會將奧斯卡二世的大獎頒給了他。結果，龐加萊的一個學生很快就發現他的文章里有一個致命的錯誤。這就麻煩了，大獎居然頒給了發表錯誤文章的龐加萊。龐加萊開始意識到三體問題的復雜性，于是他重新寫了一篇文章。在這篇文章里，他首次提到了混沌現象。

最后，評委會主席魏爾斯特拉斯認為，盡管龐加萊沒有解決三體問題，但因為重寫的新文章非常重要，所以仍然決定把大獎頒給他。

有趣的是，大獎金額約是龐加萊兩個月的工資，但因為他寫錯了一篇文章，就必須自己重新寫、重新印刷、重新發行印有文章的那期雜志，結果這一折騰，花了他4個月的工資。算下來，他還虧了兩個月的工資呢。

混沌與不穩定性

什么叫混沌？我們從一個故事講起。一位印度數學家發明了國際象棋，國王決定給他一個獎賞。數學家說很簡單，我要的獎賞是：你在國際象棋棋盤的第一格上放1顆麥子，在第二格上放2顆麥子，在第三格上放4顆麥子，在第四格，上放8顆麥子.....以此類推，你只要把這個棋盤的格子都放滿就行了。

國王一聽，心想這很簡單，不過就是幾顆麥子而已。但我們來看一看，如果要滿足數學家的要求，到底需要多少顆麥子呢？

國際象棋的棋盤上一共有64個格子，那就需要2”'-1顆麥子！我們換算一下，看看這些麥子一共是多少升。是140萬億升！

從人類種麥子到現在，全球生產的麥子也沒有這么多。按照現在的產量，估計要再等2000年才能把這么多的麥子生產出來。

這個例子說明，經過一次次加倍，加到倍數是63次方以后，這個數字將變成一個天文數字。所以，任何數據都不能一次次加倍。比如，想要GDP每7年就增加1倍，如果真按這個速度算下去，那將是一個無法想象的數字。所以，幾何級數的增長速度是特別快的。

那么這跟我們的物理系統有什么聯系呢？舉個例子，假如我在一個盒子里放幾個空氣分子，我先測量這些分子的初始位置和初始速度，并且我的測量只有很小的誤差。通過觀察這些分子的運動情況，你會發現，因為分子運動是非常不穩定的，所以不到1秒鐘，之前的測量誤差就會加倍，再隔1秒鐘，誤差又會加倍。我說1秒鐘，其實這種加倍根本不需要1秒鐘就會發生。那么在60秒后，原來的誤差值就可能變成剛才你們看到的那個天文數字了。