RS碼的性能分析與仿真

魯芳旭 劉翠海

摘要：主要介紹RS碼的編譯碼原理，并基于Matlab進行仿真實現，同時構建了含有BPSK調制的通信系統，對有無編碼的通信系統進行仿真和性能分析，發現該碼型對通信系統的傳輸特性有一定程度的改善。通過比較分析，對該碼型的糾錯性能有了更全面的認識，有利于更好的研究和應用RS碼。

關鍵詞：信道編碼;RS碼;糾錯性能

中圖分類號：TN911.22 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2020）08-0025-03

0 引言

RS碼是一類糾錯能力很強的多進制BCH碼[1]，其糾錯能力和編碼效率在線性分組碼中是最高的。RS碼特別適合用于多進制調制的場合[2]，同樣適用于在衰落信道中糾正突發性錯碼[3]。與此同時，RS碼能用來構造其他碼類，如級聯碼。由于其具有以上優良性能，目前已被廣泛應用在各種通信系統和計算機存儲系統中。

1 RS碼的編譯碼原理及數學模型構建

RS碼是一種特殊的多進制BCH碼。設p為素數，q=pm，那么由伽羅華域GF（q）產生的碼就稱作q進制碼。二進制BCH碼的碼長為n=2m-1，若要糾正t個錯碼，則需要2t個監督碼元。同理在q進制碼中，碼長為n=qs-1，若要糾正t個錯碼，則需要2st個監督碼元，當s=1時的q元BCH碼稱為RS碼，屬于非二元BCH碼。

1.1 RS碼的編碼

RS碼是循環碼的一種，因此其編碼方式與一般循環碼的編碼方式一致。

一個（n，k）RS碼的生成多項式g（x）為：

g（x）=（x-α）（x-α2）…（x-a2t）=（x-αi）

其中αi是伽羅華域GF（2m）={0，α0，α1，…，α2m-2}中的一個元素，t為RS碼能夠糾正的錯碼個數。

信息多項式m（x）為：

m（x）=mk-1xk-1+mk-2xk-2+…+m1x1+m0

用m（x）除以g（x），所得余式為校驗多項式h（x），將h（x）置于m（x）之后，即生成了RS碼。

編碼后的碼字多項式c（x）為：

c（x）=xn-km（x）+h（x）=xn-km（x）+[xn-km（x）]modg（x）

1.2 RS碼的譯碼

RS碼是一種非二元循環碼，它不再具備特征為2的域運算等性質[4]，本文RS碼譯碼算法基于PGZ譯碼算法，主要分為以下4步：

1.2.1 計算伴隨式sk

RS碼的伴隨式是接收碼字r（x）除以生成式g（x）所得的余式。對于RS碼共有2t個伴隨式。

假設r（x）=r0+r1x+…+rnxn-1

則錯誤圖樣為：

e（x）=r（x）-c（x）=e0+e1x+…+en-1xn-1

設e（x）含有v個錯誤（非零元素）且分別位于 ，則e（x）=++…+

RS碼的2t個伴隨式通過把αi代入r（x）得出，即：

若sk=0，則認為接收無誤，否則由sk找出錯誤圖樣。

1.2.2 計算錯誤位置多項式σ（x）

由于上式直接求解比較困難，故轉化為-組線性方程進行求解。令Xi=αji（i=1，2，…，v）表示第i個錯誤位置數，e1，e2，…，ev表示錯誤值。定義錯誤位置多項式σ（x），它的根是錯誤位置數的倒數，即：

σ（x）=（1+X1x）（1+X2x）…（1+Xvx）=σ0+σ1x+ σ2x2+…+σvxv

計算σ（x）的通用方法是BM迭代算法，通過Matlab編程即可實現。

1.2.3 確定錯誤位置

計算得到上式的系數后，令σ（x）=0求得其根，就可以得到錯誤位置。由于分解因式的復雜性，一般通過錢氏搜索法求解σ（x）的根，得到錯誤位置數，確定出錯誤位置。

接受碼字由高位至低位逐位譯碼，為了譯rn-1，碼器測試αn-1是否為錯誤位置數，也就是檢查其倒數α是否為σ（x）的根，若α是σ（x）的根，則：

1+σ1α+σ2α2+…+σvαv=0

因此，譯碼器計算σ1α，σ2α2，…，σvαv，若滿足上式，則αn-1為錯誤位置數，rn-1為錯誤碼元，這樣就由錯誤位置數確定了錯誤位置。

1.2.4 計算錯誤數值

上一步確定了錯誤位置，接下來需要計算錯誤數值，設z（x）=1+（s1+σ1）x+（s1+σ1s1+σ2）x2+…+（sv+σ1sv-1+ …+σv-1s1+σv）xv

求解后根據錯誤位置和錯誤數值得出錯誤圖樣e（x），根據發送碼字c（x）=e（x）+r（x），完成譯碼。

2 仿真實現

2.1 伽羅華域及其基本運算的仿真實現

前面介紹的RS碼的編譯碼數學模型都是在伽羅華域內進行，因此在仿真實現中首先要構造伽羅華域。由于RS碼的編譯碼進行了大量多項式元素的加法、乘法、倒數運算，這些運算均在伽羅華域GF（2m）中進行，因此其加法運算對應的是模2運算，其乘法運算對應的是指數模2m相加，上述運算可以通過編程實現。

2.2 RS碼編碼的仿真實現

編碼方式選擇RS（15，11），利用11個符號得到長度為n=15能糾正t=2個錯誤的編碼，碼元符號取自域GF（24），即m=4。其編碼的仿真實現調用了Matab函數polydiv_rs，該函數的矢量參數表示多項式各項的系數，按照多項式次數從低到高的順序排列。

2.3 RS碼譯碼的仿真實現

相較于編碼，RS 碼的譯碼過程較為復雜，通過前文介紹已知主要分為四個步驟：（1）計算伴隨式sk;（2）計算錯誤位置多項式σ（x）;（3）確定錯誤位置;（4）計算錯誤數值。其中第（2）步的實現基于BM算法，第（3）步的實現基于錢氏搜索法，均可通過Matlab編程來完成。

2.4 仿真結果

本文選擇了二進制相位調制（BPSK），用高斯信號源仿真噪聲，在該通信系統下，觀察有無RS碼兩種條件下的信噪比-誤碼率（SNR-BER）曲線圖，得到仿真結果由圖2所示。

3 結語

本文較為詳盡的介紹了RS碼的編譯碼原理，通過構建數學模型，利用Matlab平臺完成了RS碼編譯碼的仿真實現。與此同時，構建了含有BPSK調制的通信系統，通過對有無RS碼的通信系統進行仿真和性能分析，發現在相同SNR條件下，有RS碼的BER明顯低于無RS碼的BER，說明RS碼能有效提高信號傳輸的可靠性，這為合理設計RS碼的編譯碼方案提供了理論基礎，更為進一步研究和利用RS碼的抗突發干擾能力提供了有益參考。

參考文獻

[1] 樊昌信，曹麗娜.通信原理（第7版）[M].北京：國防工業出版社.2014：375.

[2] 劉翠海，溫東，姜波.無線電通信系統仿真及軍事應用[M].北京：國防工業出版社，2013：141.

[3] 鄭相全，段文.Reed-Solomon碼性能增強譯碼算法[J].無線電工程，2019，49（2）：128-132.

[4] 郭潔，唐磊.Reed-Solomon碼的編譯碼實現及仿真[J].中國科技縱橫，2009（11）：622-625.