基于三維混沌與小波變換的彩色圖像加密方法研究

潘文歆

摘要：通過(guò)圖像加密可以保證圖像信息的安全存儲(chǔ)和傳輸，本文對(duì)彩色圖像首先進(jìn)行小波變換，使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來(lái)對(duì)圖像對(duì)應(yīng)的低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進(jìn)行隨機(jī)分塊和對(duì)矩陣元素的位置進(jìn)行移動(dòng)與置亂，獲得對(duì)應(yīng)的加密矩陣，之后對(duì)加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明，這種方法的密鑰空間大，密鑰的敏感度較高，可以獲得較大的加密強(qiáng)度。

關(guān)鍵詞：彩色圖像;三維混沌系統(tǒng);加密算法;小波變換;Arnold變換

中圖分類(lèi)號(hào)：TP309.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2020）08-0123-03

0 引言

隨著圖像和多媒體信息的廣泛使用，保障圖像信息的安全存儲(chǔ)和傳輸已經(jīng)成為人們關(guān)注的一個(gè)重要方面，對(duì)此的一種有效方法是對(duì)圖像進(jìn)行加密操作[1-3]。在對(duì)圖像做加密時(shí)，可以針對(duì)圖像的像素直接進(jìn)行加密操作，也可以先對(duì)圖像進(jìn)行一些變換例如小波變換，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行加密操作[4]。

小波變換是把圖像的像素矩陣變換到頻域，然后對(duì)頻域的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的處理，其特點(diǎn)是可以對(duì)圖像信號(hào)的局部細(xì)節(jié)信息進(jìn)行細(xì)致分析。離散小波變換的定義如下：

設(shè)，a0是大于0的常數(shù)，離散小波為 ，這里j， kZ。對(duì)一個(gè)給定的函數(shù)f（t），它對(duì)應(yīng)的離散小波變換為：。

當(dāng)信號(hào)f（t）取離散值f（k） 時(shí)，這時(shí)它的離散二進(jìn)小波變換為：。

離散小波逆變換為：。

把一副圖像進(jìn)行小波分解后，該圖像就變成了四個(gè)不同的部分：LL、LH、HL和HH，其中LL為圖像的近似部分即低頻部分，LH為水平方向上圖像的近似部分，HL為垂直方向上圖像的近似部分，HH為對(duì)角方向上圖像的近似部分，除了LL之外，LH，HL和HH都對(duì)應(yīng)于圖像的細(xì)節(jié)部分。

對(duì)經(jīng)過(guò)小波變換的一副彩色圖像，本文首先使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來(lái)對(duì)低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進(jìn)行隨機(jī)分塊，然后對(duì)這些矩陣元素的位置進(jìn)行移動(dòng)和置亂，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)彩色圖像的加密。

1 混沌映射

由混沌映射或混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的序列具有對(duì)初值和參數(shù)的敏感性、隨機(jī)性、遍歷性等一些獨(dú)特的性質(zhì)。當(dāng)輸入的初始參數(shù)值發(fā)生微小變化時(shí)，就會(huì)引起輸出序列的值有很大的不同，差異較大;若混沌序列迭代次數(shù)越多，其序列在一定范圍內(nèi)能遍歷趨近無(wú)窮的狀態(tài)數(shù)[5-6]。本文使用如下的三維混沌系統(tǒng)，它的定義如下：

其中當(dāng)λ=35，β=3和j=28時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)。把該系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域離散化之后，得到的三個(gè)輸出序列{xn}，{yn}和{zn}都是無(wú)規(guī)律分布的混沌序列。在本文中將使用這三種混沌序列來(lái)進(jìn)行彩色圖像的加密。

2 加密的過(guò)程與步驟

對(duì)給定的一幅大小為N×N圖像，可以進(jìn)行多種數(shù)字化處理，并獲得一個(gè)二維離散的數(shù)字矩陣。在這種矩陣中的每個(gè)元素就代表了圖像的相關(guān)信息。如果把該矩陣中元素的位置進(jìn)行移動(dòng)和置亂，就可以得到一個(gè)與原圖像相比混亂無(wú)章的圖像，從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的加密。對(duì)元素的位置的移動(dòng)和置亂，本文使用Arnold變換，該變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

這里（x，y）和（x′，y′）分別表示一個(gè)元素在變換前和變換后的位置坐標(biāo)，mod表示求余運(yùn)算，它是保證與圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣在進(jìn)行Arnold變換后仍然落在原先的圖像區(qū)域內(nèi)。Arnold變換的參數(shù)a，b，c和d需要滿足如下條件：|ad-bc|=1。例如，a=2，b=5，c=1，d=3。如果對(duì)一幅圖像進(jìn)行多次Arnold變換，而且每一次都對(duì)參數(shù)a，b，c和d選取不同值時(shí)，就可以達(dá)到較滿意的效果。

對(duì)Arnold變換的參數(shù)值的選取，我們采用的方法如下：對(duì)參數(shù)a，b和c的值，分別從三維混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列{xn}，{yn}和{zn}中選取，由于這種混沌序列的值是實(shí)數(shù)，因此在選取之后需要對(duì)它們進(jìn)行取絕對(duì)值和取整運(yùn)算，然后再作為參數(shù)a，b和c的值。在確定了這三個(gè)參數(shù)a，b和c的值之后，通過(guò)使用表達(dá)式 |ad-bc|=1，來(lái)求出參數(shù)d的值。

對(duì)一副彩色圖像，加密的過(guò)程為：首先對(duì)原圖像進(jìn)行小波變換，得到它的頻率系數(shù)矩陣;其次，對(duì)頻率系數(shù)矩陣的子矩陣進(jìn)行Arnold變換，以對(duì)這些子矩陣進(jìn)行置亂，實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的加密，并由此獲得加密矩陣;第三，對(duì)加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。具體的算法實(shí)現(xiàn)步驟如下。

第1步：對(duì)一副給定的大小為N×N彩色圖像，通過(guò)小波變換，得到它的頻率系數(shù)矩陣。

第2步：從圖像對(duì)應(yīng)的頻率系數(shù)矩陣中提取出低頻子帶系數(shù)矩陣LL和高頻子帶系數(shù)矩陣HL、LH和HH。

第3步：使用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)正整數(shù)m，其方式如下：首先使用混沌系統(tǒng)（1）產(chǎn)生三個(gè)混沌序列{xn}，{yn}和{zn}，然后從這三個(gè)序列中分別隨機(jī)選取一個(gè)值出來(lái)，并把所選出的這三個(gè)值取絕對(duì)值然后再相加，之后取整，就作為m的值。

第4步：對(duì)矩陣LL、HL、LH和HH，把每個(gè)矩陣分塊成多個(gè)即2m個(gè)子矩陣。

第5步：對(duì)上一步中所獲得的矩陣LL、HL、LH和HH的每個(gè)子矩陣，使用Arnold變換對(duì)它們進(jìn)行置亂，以實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的加密，把使用的加密密匙分別記為KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，該加密密匙即是在Arnold變換中的參數(shù)a，b，c和d，它們是根據(jù)混沌系統(tǒng)（1）所產(chǎn)生的混沌序列來(lái)進(jìn)行選取的。

第6步：把在第5步中所得到的每個(gè)經(jīng)加密的子矩陣組合起來(lái)，就構(gòu)成了LL、HL、LH和HH的加密矩陣。

第7步：對(duì)LL、HL、LH和HH的加密矩陣使用小波逆變換，就生成了原彩色圖像的加密圖像。

在算法的第5步中，由混沌系統(tǒng)（1）所產(chǎn)生的值需要進(jìn)行取整操作，才能作為參數(shù)a，b，c和d的值，并且滿足 |ad-bc|=1。同時(shí)，對(duì)每一個(gè)子矩陣都設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的不相同的密匙KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，以進(jìn)一步提高加密的強(qiáng)度。

對(duì)算法的加密圖像進(jìn)行解密，解密的過(guò)程是算法的逆過(guò)程，其步驟如下：首先分別從加密圖像中提取出LL、HL、LH和HH的加密矩陣，然后使用加密的密匙KeyLL，KeyHL，KeyLH和KeyHH，以及進(jìn)行Arnold逆變換，來(lái)獲得矩陣LL、HL、LH和HH的每個(gè)子矩陣，之后把這些子矩陣組合起來(lái)，得到圖像的四個(gè)子帶系數(shù)矩陣LL、HL、LH和HH，使用這四個(gè)子帶系數(shù)矩陣和小波逆變換即小波重構(gòu)來(lái)得到原彩色圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

我們通過(guò)MATLAB編程對(duì)算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，并對(duì)一些彩色圖像進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，所使用的微型計(jì)算機(jī)的處理器和內(nèi)存分別為2.80GHz和8GB。圖1是對(duì)彩色lena圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖1（a）是原圖像，圖1（b）是使用算法進(jìn)行加密后的圖像，圖1（c）是對(duì)圖1（b）做解密之后還原的圖像。圖2（a）和圖3（a）分別是House圖像和Horse圖像，圖2（b）和圖3（b）是采用算法對(duì)原圖像進(jìn)行加密后的圖像，圖2（c）和圖3（c）是對(duì)圖2（b）和圖3（b）進(jìn)行解密之后還原的圖像。

如上的這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的算法具有較高的加密強(qiáng)度，可以取得良好的加密效果。由于在對(duì)彩色圖像的加密過(guò)程中對(duì)原始圖像進(jìn)行了分塊，對(duì)各個(gè)子圖像所對(duì)應(yīng)的矩陣LL、HL、LH和HH采用了不同的多個(gè)密匙進(jìn)行置亂，使圖像的各方向相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)達(dá)到很小，接近于0，從而大大增加了加密的強(qiáng)度。

由于上文算法是同時(shí)對(duì)四個(gè)矩陣LL、HL、LH和HH進(jìn)行操作和加密處理，這就避免了常規(guī)方法中只對(duì)矩陣LL進(jìn)行加密處理所帶來(lái)的加密強(qiáng)度不高的問(wèn)題，因此本文的算法也具有較強(qiáng)的抗攻擊能力。此外，在采用混沌系統(tǒng)的圖像加密的早期研究中，人們主要使用低維混沌系統(tǒng)，由于這種混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而且參數(shù)較少，導(dǎo)致了相應(yīng)加密算法的密鑰空間比較小并且容易被攻破。本文對(duì)彩色圖像的加密采用的三維混沌系統(tǒng)，由于具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，因此可以使得加密算法的密鑰空間得到擴(kuò)大，從而可以進(jìn)一步提高密鑰的敏感度。

4 結(jié)語(yǔ)

對(duì)彩色圖像的加密，本文對(duì)圖像先進(jìn)行小波變換，然后使用三維混沌系統(tǒng)和Arnold變換來(lái)對(duì)低頻子帶系數(shù)矩陣和高頻子帶系數(shù)矩陣進(jìn)行隨機(jī)分塊和對(duì)矩陣元素的位置進(jìn)行移動(dòng)和置亂，這種方法由于采用了具有較大的參數(shù)空間和較復(fù)雜結(jié)構(gòu)的三維混沌系統(tǒng)，從而可以提高密鑰的敏感度并增大加密的強(qiáng)度。

參考文獻(xiàn)

[1] Abdullah Alghafis，F(xiàn)aiza Firdousi，Majid Khan.An efficient image encryption scheme based on chaotic and deoxyribonucleic acid sequencing[J].Mathematics and Computers in Simulation，2020，177：441-466.

[2] Ali Mansouri，Xingyuan Wang.A novel one-dimensional sine powered chaotic map and its application in a new image encryption scheme[J].Information Sciences，2020，520：46-62.

[3] 胡春杰，嵇海祥，牛智星，等.基于改進(jìn)Arnold映射二次置亂的圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)與數(shù)字工程，2019，47（7）：1783-1787.

[4] 陳娜，毋江波.基于離散小波變換的離散正交S變換域圖像加密算法[J].光學(xué)技術(shù)，2019，45（3）：348-354.

[5] 李付鵬，劉敬彪，王光義，等.基于混沌集的圖像加密算法[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2020，42（4）：981-987.

[6] 馬聰，李國(guó)東.基于L-K雙混沌系統(tǒng)的彩色位級(jí)圖像加密算法[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2020，37（3）：322-326.