有關(guān)一元一次同余方程組的若干基本定理（或說(shuō)若干基本內(nèi)容）

梁自溫

摘要：鑒于諸多文獻(xiàn)（如文獻(xiàn)[1]～[5]）中對(duì)于一元一次同余方程（組）的解的有關(guān)內(nèi)容（如如何定義其解與解數(shù)及解所屬同余類(lèi)的模等等問(wèn)題）或與之關(guān)聯(lián)較近的其它有關(guān)內(nèi)容，或說(shuō)法不規(guī)范（也即不統(tǒng)一），或其說(shuō)無(wú)定理根據(jù)，甚至定理錯(cuò)誤（如文獻(xiàn)[2]中的p128中的定理5.2.4的陳述與證明均錯(cuò)誤），從而認(rèn)為很有必要提出這些問(wèn)題，并加以澄清。

關(guān)鍵詞：一元一次同余方程組;基本定理

中圖分類(lèi)號(hào)：O156.1 ????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1兩個(gè)定義

定義1：設(shè)為一元一次同余方程，，，則稱(chēng)模的同余類(lèi)中的是同余方程的解（簡(jiǎn)稱(chēng)是同余方程的解），而稱(chēng)是同余方程關(guān)于模的一個(gè)解（即中的任意數(shù)均使得）。若在的一個(gè)完全剩余系中只有整數(shù)時(shí)，中任兩數(shù)關(guān)于模不同余才是同余方程的解，則稱(chēng)其關(guān)于模有個(gè)解（以后規(guī)定所言一元一次同余方程的解數(shù)均是指模而言的）。

注意：可仿上類(lèi)似定義關(guān)于模的解及解數(shù)等問(wèn)題。同時(shí)我們約定以后凡提一元一次同余方程的解或解數(shù)均是關(guān)于模而言的。

定義2：設(shè)為一元一次同余方程組，，則稱(chēng)模的同余類(lèi)中的是同余方程組的解，（簡(jiǎn)稱(chēng)是同余方程組的解），而稱(chēng)是同余方程組關(guān)于模的一個(gè)解（即中的任一數(shù)均使得），若在模的一個(gè)完全剩余系中只有整數(shù)才是同余方程組的解，則稱(chēng)其關(guān)于模有個(gè)解，即等（以后規(guī)定所言一元一次同余方程組的解及解數(shù)均是關(guān)于模而言的）。

注意：可仿上類(lèi)似定義關(guān)于模的解及解數(shù)等問(wèn)題。

2七個(gè)引理

引理1：若整數(shù)，這里，，，則且該式唯一。

證：設(shè)則，由于，，那么即得，且易知該式唯一。現(xiàn)設(shè)，則，由于，且，那么，那么，即得且易知該式唯一。由上即知定理成立。

推論1：若整數(shù)則，這里證 若，命題成立。設(shè)命題對(duì)成立，即得到當(dāng)，，，時(shí)，則且該式唯一。由于，則，且該式唯一。由于，于是即得，那么，且該式唯一。

推論2：若整數(shù)是一元一次同余方程組的解，則必屬于

證：是一元一次同余方程組的解，則得，那么必屬于于是據(jù)引理得結(jié)論。

推論3：若兩兩互素，則

證：易證而略。

引理2：若為模的一個(gè)同余類(lèi)，則，且當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)

證：只證的情況。

，又，那么當(dāng)取遍時(shí)，則不能取遍，那么，由于，那么，由于，那么，即得，由于，那么，于是得，證畢。

引理3：若為模的一組完全剩余系，則存在使

證：，又因?yàn)闉槟５囊唤M完全剩余系，那么存在使，由于，即得，那么

推論：若為模的一組完全剩余系，為模的一個(gè)同余類(lèi)，則

證：由定理可知，當(dāng)時(shí)，存在使中的任一數(shù)即存在使中的任一數(shù)，即得，畢。

引理4：若為模的一組完全剩余系，，則，且時(shí)，為模的個(gè)互不相同的同余類(lèi)

證：只證上半部分，且只證的情況，據(jù)設(shè)及引理2得，由于，那么 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????（1）

又據(jù)引理3之推論得 （2）

于是由（1），（2）式得，證畢。

推論：若是個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，，則

證：據(jù)定理得，

，

，

由于，中任兩數(shù)對(duì)模不同余，于是本推論成立。從上易知，這個(gè)推論與引理1之推論是完全相同的，另外順便說(shuō)一句，上引理之上半部分可見(jiàn)于文獻(xiàn)[1]，但其證法不可取。

引理5：一元一次同余方程組有解的充要條件是

證：先證必要性。因?yàn)橥喾匠探M有解，則有解，那么存在整數(shù)使，即得

同理又可得

上式中的為存在的整數(shù)。于是由（1），（2）兩式得，即得

（3）

由于，那么

，于是由 （3）式得

下證充分性：

，那么由不定方程性質(zhì)知存在使，這時(shí)若結(jié)論不成立，則不存在使，也就是說(shuō)當(dāng)為任意整數(shù)時(shí)恒有，即恒有，便與（4）式矛盾，證畢。

引理6：若是一元一次同余方程的解，，則亦是的解

證：是一元一次同余方程的解，得，，即得，由于，則，那么，由于，那么，即得

推論：若是一元一次同余方程的解，則是同余方程關(guān)于模的一個(gè)解

證：略。

引理7：若是一元一次同余方程組的解，，則亦是同余方程組的解

證：一元一次同余方程組的解，則得，即得 ，由于，則，那么，由于，那么，即得，同理可得，于是亦是方程組的解。

推論：若是一元一次同余方程組的解，則是方程組關(guān)于模的一個(gè)解

證：略。

3十一個(gè)定理

有解，便可設(shè) ????????????????????????????????????（4）

上式中的，那么是同余方程組（3）的一個(gè)解。

于是由（2）（4）得 ??????????????????????????????（5）

由（5）的 ???????????????????????????????????（6）

這是若，則由（6）式得 ??????（7）那么由（7）式得 ???????????????????????????????????（8）

由于，據(jù)引理4得

（9）

同理可得

（10）

于是由（8），（9），（10）式得

（11）

于是由（11）式知中的一個(gè)與中的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)相等（即一個(gè)只能與一個(gè)對(duì)應(yīng)相等）

現(xiàn)在我們證明（為證明方便，先可令及）若結(jié)論不成立，則據(jù)（11）式知存在正整數(shù)使，即得，矛盾，那么據(jù)得

（12）

由于，則由引理4得

（利用同余類(lèi)之表達(dá)式亦可得此結(jié)論） ?????????????????????????????????????????????????????????（13）

同理可得 ??????????????（14）

于是當(dāng)時(shí)，由引理7之推論及（2），（4），（12），（13），（14）得，這就證明了時(shí)命題成立。

下只證之情況

若，就可把劃為，于是由與的解完全相同知同余方程組與同余方程組的解完全相同，再據(jù)及有解

有解時(shí)，即得證明（注意上面第一個(gè)等價(jià)號(hào)可用反證法證明而得）

推論1：一元一次同余方程組有解的充要條件是

證：略。

推論2：若，則一元一次同余方程組有解。

證：略。

容易看出上面的推論2的應(yīng)用范圍較文獻(xiàn)中p128之定理5.2.4的應(yīng)用范圍要廣得多，因此本推論可以完全取代它。

定理10：若又有解，則一元一次同余方程組有解。

證：因?yàn)橐辉淮瓮喾匠探M有解，，則可設(shè)為的一個(gè)解，由于，則由不定方程性質(zhì)知有關(guān)于的整數(shù)解，那么，即說(shuō)明有解，于是可設(shè)其解為，由于，則，那么，于是仍由不定方程性質(zhì)知，即知有解，這樣繼續(xù)下去，定理得證。

定理11：若是個(gè)非零整數(shù)，，，，則同余方程組有唯一解，其中

證：據(jù)引理1之推論1及定理5可證。

很容易看出，中國(guó)剩余定理就是上定理之一特殊情況，因此可把這一定理稱(chēng)為第二中國(guó)剩余定理罷了。

很多文獻(xiàn)在中國(guó)剩余定理的證明中根本沒(méi)有證出其解所屬同類(lèi)的模（其它一些定理的證明也有類(lèi)似情況），倘要難求出其模，而易找到其解，則，即為一元一次同余方程組的一個(gè)解。

參考文獻(xiàn)

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