有心圓錐曲線的焦點三角形性質及解題策略

張吉華

摘要：眾所周知，圓錐曲線是高中學習的重點內容，也是難點內容之一，而有心圓錐曲線的焦點三角形又是設計考題的熱點知識，于是弄清焦點三角形的性質和解題策略就顯得非常必要. 以下就作者結合教學經驗，列舉一些焦點三角形的基礎性質和拓展性質，并舉例說明這類問題的一般解題策略，供大家參考。

關鍵詞：有心圓錐曲線;焦點三角形;性質;策略

中圖分類號：G633.65 ????文獻標識碼：A

定義：在有心圓錐曲線上，焦點所在直線上的頂點除外的任意一點P和兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為有心圓錐曲線的焦點三角形，簡稱焦點三角形。

為研究方便，以下在沒有特指的前提下，有心圓錐曲線均是焦點在x軸上，中心在原點的標準曲線，即：橢圓方程為，雙曲線方程為，其中點P坐標為（x0，y0），焦距| F1F2|=2c，離心率為e，焦參數（焦點到相應準線的距離）為p，∠F1PF2=，∠PF1F2=，∠PF2 F1=。

1焦點三角形的基礎性質

2焦點三角形的拓展性質

下面以橢圓為例對拓展性質加以證明。

證明：由橢圓第二定義得，∴ ，同理可得 。

由三角形余弦定理得 = ┄┄①，由橢圓定義得，兩邊平方得=4a2┄┄②，②-①得

2| PF1| ?| PF2|（1+ cos）=4（a2-c2）=4b2，

∴。

∴

由三角形正弦定理得，

∴，即，

∴

，

∴。

要證明橢圓的光學性質，只要證明直線PF1和PF2關于點P所在的切線對稱即可。

橢圓方程化為，兩邊對x求導，化簡得，∴切線的斜率，直線PF1、PF2的斜率分別為、，設從直線PF1到切線的角為，則，結合，化簡得。同理，設從切線到直線PF2的角為，則。這就證明了直線PF1和PF2關于點P所在的切線對稱，即橢圓的光學性質得證。

至于雙曲線的拓展性質，依樣可證，這里就不再詳述。

3焦點三角形的解題策略

在解決有心圓錐曲線的焦點三角形問題時，通常用到基礎性質就可以，但必要時能用拓展性質會顯得更加快捷，以下舉例說明：

例1：已知F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為1的正三角形，求b的值。

策略1：利用點P坐標代入橢圓方程求解，簡稱坐標代入法。

由△POF2是面積為1先求出c= |OF2|=和點P坐標（，），把P坐標代入橢圓方程，結合，解方程組便可求出b的值。

策略2：利用橢圓第一定義求解a，簡稱定義法。

同樣先求出c后，在△POF1中通過三角形余弦定理求出|PF1|，再利用橢圓定義求2a=|PF1|+|PF2|，最后由求出b的值。

策略3：利用拓展性質求解，簡稱拓展法。

由|OF1|=|OF2|=|OP|得△PF1F2是∠F1PF2為直角的直角三角形，△PF1F2的面積是△POF2是面積的2倍，即：，由拓展性質得，，∴b=。

顯然，策略1的坐標代入法計算量大，通過解方程組，相對繁瑣;策略2的定義法計算有所簡化;策略3的拓展法非常簡便，口算就能得出答案。

例2：（2020屆江西省紅色七校高三年級第一次聯考（理）16題）雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上，且，O為坐標原點，則|OP|= ????????。

策略1（坐標代入法）：設P點坐標（x0，y0），先求出PF1和PF2的斜率和，由到角公式建立一個方程，與點P坐標代入雙曲線方程得到的方程聯立，通過解方程組得出x0，y0，再去求|OP|的值。

策略2（定義法）：先由已知求出的值，設|PF1|=m，|OF2|=n，在焦點三角形中，由余弦定理列出一個關于m，n的方程，再由雙曲線定義列出另一個關于m，n的方程，聯立求出m，n.再利用托萊梅定理（平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方和）求出|OP|。

策略3（拓展法）：由已知可求出，利用拓展公式求面積，繼而求出的高，即點P縱坐標，并代入雙曲線方程求橫坐標，最后求出|OP|=。

策略1的計算非常麻煩，策略2會好一些，但比起策略3還是比較瑣碎。

例3：（2016年高考全國卷Ⅱ（理）11題）已知F1，F2是雙曲線E：的左右焦點， 點M在E上，M F1與x軸垂直，，則E的離心率為（ ?）A. ????B. ???C. ???D. 2

策略1：由得，∴中，，于是可得到點M的坐標（），代入雙曲線方程便能求出離心率。

策略2：同上先求出，并求出，由雙曲線定義得，最后可求離心率。

策略3：由拓展公式，其中，，于是很容易求得，∴。

本例說明定義法比坐標代入法簡單，拓展法又比定義法簡便。

綜上所述，在解決有心圓錐曲線的焦點三角形△PF1F2問題時，通常有三種解題策略。問題如果涉及焦點三角形的頂點P坐標時可用策略1——坐標代入法，否則可設出焦點三角形的兩邊|PF1|=m，|PF2|=n，利用三角形余弦定理和曲線第一定義列式求解，即策略2——定義法，當問題涉及焦點三角形的拓展性質時，用策略3——拓展法解題會顯得更加簡便、快捷。